第1章 集合与常用逻辑用语 章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

的两根)，所以ac<0, 章末优化提升 充分性：由ac<0,可推得b-4ac>0及x= <0 [考点聚焦] 考点一集合的概念及基本关系 所以方程ax2十bx十c=0有两个相异实根，且两根 「跟踪训练] 异号， 1.D当m=0时，方程mx一6=0无解，B=0,满足 即方程ax十x十c=0有一正根和一负根 综上可知，一元二次方程ax十bx十c=0有一正根和一 BEA:当m0时，B=(品}，因为BEA,所以品-2 负根的充要条件是a<0. 或5=3，解得m=3或m=2.综上，m=0或2或3. 探究三充要条件的应用 [例3][解]由方程ax十2x+1=0的解集中有且最 考点二集合的基本运算 多有一个负实数的元素得，若a=0,附x=一 2·特合 [跟踪训练] 2.解(1)因为A=1,3,4,5},B={3,5,6,7,8}, 题意： 因此AUB={1.3,4,5,6,7,8,A∩B=(3,5). 若a≠0，方程a.x2十2x十1=0有实数根， (2)因为全集U={x∈N|x≤10}=(1,2,3,4.5,6,7， 则△=4一4a≥0，解得a≤1. 8,9,10},所以CA={2.6.7.8.9,10},CB=1.2.4,9, 当a=1时，方程有两个相等的负实数根x1=无，=一1， 10,因此(CA)∩(CB)={2,9.10. 特合题意： 考点三全称量词命题与存在量词命题 当a<1且a≠0时，若方程有且最多有一个负实数根， [跟踪训练] 则日<0，中a<0, 3.解(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命 所以当a≤0或a=1时，关于x的方程ax十2.x十1=0 题是全称量词命题.又图为“任意的”的否定为“存在一 的解集中有且最多有一个负实数元素 个”，所以其否定是：存在一个x∈R,使x+x十1=0成 综上，“方程a,x十2x十1=0的解集中有且最多有一个 立，即p:“3x∈R,使x十x十1=0”，因为△=一3 负实数元素”的充要条件为“a0或a=1” 0,所以方程x十x十1=0无实数解，此命题为假命题. [跟踪训练] (2)由于“3x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有 5.解设A=(xx<-2或>3，B={<-}: 存在量词“存在一个”，周此，该命题是存在量词命题，又 因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是： 因为p是日的必要不充分条件， 对任意一个实数x,都有x+3x十5>0成立，即g: 所以B医A.所以-<-2，即m≥8. “Vx∈R,有x+3x+5>0”.因为△=一11<0，所以对 所以m的取值范围为[8，十©). Vx∈R.x十3x十5>0总成主，此命题是真命题. 【随堂巩固促应用】 考点四充分条件，必要条件 L.C因为{x-1<x<3}≠{xx<3},所以p是g成立 [跟踪训练] 的必要不充分条件 4.解(1)由9：一元二次方程x2一2x十c=0有两个实数 2.A若x=1,则x一4x十3=0，是充分条件.若，x一4.x 根，得4-4c≥0，即q:c≤1，则p:c<0→9：c≤1，但p:c 十3=0，则x=1或x=3,不是必要条件，故选A. <0<q:≤1，所以p是q的充分不必要条件. 3.解析当m=一2时，y=x-2x+1,其图象关于直线 (2)p:+b+c=ab+bc+ca, x=1对称，反之也成立，所以函数y=x2十mx十1的图 即a+6+d-ab-c-a=名e+26-ab+2a计 象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2. 答案m=一2 -a++2-c=a-b+a-e+ 4.解析若x=2且y=3,则x十y=5成主.可知p一g,反 之当x=1,y=4时，满足r+y=5.但x=2且y=3不 2b-c0=0. 成立，p→g,户p,故p是g的充分不必要条件. ,p:a=b=c,q:△ABC是等边三角形，所以，p曰q,p 答案充分不必要 是q的充要条件. 9第一章 集合与常用逻辑用语 D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.设 :x<3,q:-1<x<3,则 是q成立的 B.必要不充分条件 ( C. 充要条件 A.充要条件 D.既不充分又不必要条件 B.充分不必要条件 3.函数=x^}十nx十1的图象关于直线x=1 C.必要不充分条件 对称的充要条件是 D.既不充分又不必要条件 4.已知x,y为两个正整数,:x=2且y=3 q:x十y-5,则是9的 条件。 2.“x-1”是“x*-4x+3-0”的 _ ) A.充分不必要条件 提示 请完成《素能提升训练》训练九 章末优化提升 ■网络构建 集合的元素特点 -集合的概念一 -常见数集的符号 -区间及其表示 -列举法 集合的表示方法 +描述法 维恩图 子集 -集合间的关系 子集 -两集合相等 集 全称量词V 全称量词命题 全称量词 命题与 命题与存 量词 到 存在量词王 存在量词命题 在量词命 题的否定 p是q的充分条件p→ 充分条件、必要条件、 p是的必要条件→p 充要条件 p是q的充要条件 p D考点聚焦 [解析] 考点一 集合的概念及基本关系 由2EA可知;若m=2,则m{}-3m$$ +2-0,这与n^{}-3m+20相矛盾;若n [例1] (1)(多选)已知集合A=(0,m,m}-3m -3m+2-2,则m=0或m=3,当m=0时, 十2,且2EA,则实数n不可能为 ) C 与m去0相矛盾,当n一3时,此时集合A B.2 C.3 D.1 A.0 (0,3,2),符合题意. [答案] ABD 25 高中数学·必修 第一册(RJB) (2)已知集合A=(xx<-1或x1),B= D跟踪训练 x 2a<x<a+1,a 1,BCA,则实数a的 2.设全集U={xN'x10),A=1,3,4 取值范围为 [解析] 5.B-(3,5,6,7,8).求 因为a<1,所以2a<a十1,所以 B关,画数轴如图所示,由B二A知,a+1 (1)AUB,AOB; (2)(A)O(CB). #。 因为a<1,所以a<-2或<a<1,即所求 (-~0,-2[,1) 考点三 [答案] 全称量词命题与存在量词命题 [例3] 写出下列命题的否定,并判断其真假. I|归纳提升lI. (1)在集合的小题中,很多时候是考查集合元素的互异 (1)VxER,x+x+1>0; 性,所以很多时侯求出字母的值之后一定要回带检验 (2)xR,x-x+1-0; 是否满足互异性。 (2)处理集合间关系问题的关键点 (3)所有的正方形都是矩形 已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的 [解] (1)xR,x2十x十1<0,真假性; 关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关 系,解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助 假命题. 分析,同时还要注意“空集”这一“陷阱”。 (2)VxR,x*一x十1文0,真假性:真命题 C跟踪训练 (3)至少存在一个正方形不是矩形,真假性; 1.已知集合A=2,3),B=x mx-6=0),若 假命题. B二A,则实数m等于 ( ) A.3 B.2 II归纳提升lI C.2或3 (1)掌握全称量词的否定是存在量词,存在量词的否定 D.0或2或3 是全称量词是解题关键. 考点二 集合的基本运算 (2)判断全称量词命题为真,需要证明;为假,需要举出 [例2] 全集U=R,若集合A=(x3<x< 反例;判断存在量词命题为真,需要举出正例;为假,需 要证明. 8 ,B-x2<<6 ,C=(xx>a). (1)求(fA)O(fB) C跟踪训练 (2)若ACC,求a的取值范围 [解](1):A=l3<<8 ,B={xl2< 3.判断下列命题是全称量词命题还是存在量 <6}..AUB-(2,8),得(CA)O(CB) 词命题,请写出它们的否定,并判断其真假 f(AUB)-(-o.2]U[8,+o). (1):对任意的xER,x2十x十1去0都 (2):A-{xl3<x<8),C-(xlxa},又A 成立; CC,如图, (2)q:xR,使x*+3x+5<0 'a的取值范围为ala3). I|I归纳提升lI 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常 见的运算,在运算过程中往往由于运算能力差或考虑 不全面而出现错误,不等式解集之同的包含关系通常 用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用维恩图法 运算时特别注意对的讨论,不要遗漏 26 第一章 集合与常用逻辑用语 考点四 充分条件、必要条件 D跟踪训练 [例4] 下列命题中,判断p是a的什么条件, 4.在下列命题中,试判断?是。的什么条件. 并说明理由. (1):c<0,9;一元二次方程x2-2x十c= (1):x=|yl,q:x=y 有两个实数根; (2):△ABC是直角三角形,a;△ABC是等 (2)已知△ABC的三边为a,b,c,p:a^{}十^{}十 腰三角形; c*=ab十bc十ca,g:△ABC是等边三角形 (3):四边形的对角线互相平分,a:四边形 是矩形. [解](1).x-lylx=y,但x=y→ 1x-lyl, '.力是。的必要条件,但不是充分条件,即必 要不充分条件. (2);△ABC是直角三角形△ABC是等 腰三角形, △ABC是等腰三角形少△ABC是直角三 角形, ..力既不是q的充分条件,也不是9的必要 条件,即既不充分也不必要条件. (3)·四边形的对角线互相平分四边形是 矩形, 四边形是矩形→四边形的对角线互相平分, 心力是o的必要条件,但不是充分条件,即必 要不充分条件. |归纳提升lI 充分、必要条件的判断方法 利用定 直接判断“若力,则q”“若q,则p”的真 义判断 假,在判断时,确定条件是什么、结论是 什么 从集合的 利用集合中包含思想判定,抓住“以小推 角度判断 大”的技巧,用小范围推得大范围,即可 解决充分必要性的问题 提示请完成《素能提升训练》章末检测卷一 27