专题02 基本不等式归类（17题型+提分快招）2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题2 基本不等式归类 目录 题型01 均值公式“取等”基础 1 题型02 基本型：“1”的代换 4 题型03 基本型：凑配型 6 题型04 基本型：分离常数构造“对勾”型 8 题型05 “1”的代换扩展：同除型 10 题型06 “1”的代换扩展：构造分母型 11 题型07 “1”的代换扩展：双分母构造型 14 题型08 “1”的代换扩展：分离常数型构造 16 题型09 有和有积有常数整体化解不等式型 18 题型10 假“1”的代换扩展：反解代入型 20 题型11 因式分解型 21 题型12 换元化归型- 23 题型13 万能“k”型 25 题型14 三元变量均值型 28 题型15 均值裂项构造型 30 题型16 无条件构造型 32 题型17 超难压轴综合小题 34 优先选取2024各地模拟试题 38 题型01 均值公式“取等”基础 【解题规律·提分快招】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 【典例1-1】 （24-25高一上·天津和平·期中）若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，因为，则，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，A对C错； 对于BD选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立， 所以，即没有最小值，BD都错. 故选：A. 【典例1-2】 （22-23高三下天津嘉诚中学阶段练习）下列选项正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解. 【详解】当与为负数时，显然不成立，选项A不正确； 因为x不一定为正数，当为负数时，显然不成立，选项B不正确； 令，所以的最小值为3，当且仅当时，取到最小值，选项C不正确； ，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，选项D正确． 故选：D． 【变式1-1】 （24-25高一上·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可 【详解】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C 【变式1-2】 （23-24高一上·天津·期中）设，则下面的不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，结合特例法逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，，由，当且仅当时，等号成立，正确； 对于B，取，，不正确； 对于C，由，当且仅当时，等号成立，正确； 对于D，由不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，两边同除，可得成立，正确； 故选：B 【变式1-3】 （23-24高三下·天津滨海新区塘沽一中·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 题型02 基本型：“1”的代换 【解题规律·提分快招】 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 【典例1-1】 （24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再将不等式恒成立转化为最值问题，解不等式可得结果. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为4， 所以恒成立，可化为， 即，解得. 故选：B. 【典例1-2】 （24-25高三上·天津滨海新·期中）已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为正数满足，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式1-1】 （23-24高一上·天津和平·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若正实数，满足，则的最小值为25 B．若，，且，则的最大值为 C．若，为正实数，且，则的最小值为6 D．若，，则的最小值为3 【答案】C 【分析】利用基本不等式的方法与技巧分别判断各个选项即可得出结果. 【详解】A选项：因为， 所以， 当且仅当时取“=”，故A选项错误； B选项：因为， 所以，当且仅当时取“=”， 则，所以，故B选项错误； C选项：因为，，所以 所以， 当且仅当时取“=”，故C选项正确； D选项：， 当且仅当，即时取“=”，故D选项错误； 故选：C. 【变式1-2】 （2024·天津第二南开中学）已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】易知，则 ， 当且仅当，即时取得等号. 故选：B 【变式1-3】 （24-25高三上·天津南开·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先利用等差数列的性质得到，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故答案为： 题型03 基本型：凑配型 【解题规律·提分快招】 (1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 【典例1-1】 （24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】将目标式化为，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由，则、所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6.故选：C 【典例1-2】 （22-23高二下·天津南开·期末）函数的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由，根据基本不等式， 得， 当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为4. 故答案为：4 【变式1-1】 （24-25高一上·天津西青区张家窝中学阶段练习）若实数，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】用配凑法结合基本不等式求解即可； 【详解】实数 ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最大值为， 故选：A. 【变式1-2】 （24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知，求的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式1-3】 （22-23高一上·天津·期末）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于，可将原式整理为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当,即时，取得最小值. 故答案为：. 题型04 基本型：分离常数构造“对勾”型 【解题规律·提分快招】 对勾型： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 【典例1-1】 （19-20高一·天津东丽·期中）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故，的最小值为6． 故选：C． 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河北·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先将式子化简消去分子的，进而利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式1-1】 （2022·天津红桥·二模）设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，且，所以， 所以 当且仅当，即，或时取等号； 故选：D 【变式1-2】 （20-21高一上·天津武清·阶段练习）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【解析】构造基本不等式即可得结果. 【详解】∵，∴，∴， 当且仅当，即时，等号成立， 即有最小值2.故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于较易题. 【变式1-3】 （24-25高一上·天津·阶段练习）已知，则函数的最小值是 【答案】/ 【分析】利用换元法与基本不等式即可得解. 【详解】因为，则，令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型05 “1”的代换扩展：同除型 【解题规律·提分快招】 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 【典例1-1】 （2022天津耀华中学·期末）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到，解一元二次不等式求范围即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 【典例1-2】 （24-25高一上·天津和平·期中）若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是 ． 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值即得. 【详解】由正数满足，得， 则，当且仅当时取等号， 由使恒成立，得， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 【变式1-1】 （2024天津双菱中学·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再解一元二次不等式即得. 【详解】由两个正实数x，y满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 由不等式 有解，得，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 【变式1-2】 （21-22高一上·天津武清区杨村三中·阶段练习）已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，则m的最大值为（    ） A．11 B．15 C．26 D．3﹣1 【答案】A 【分析】将用表示，代入，变形后利用基本不等式求出最小值，利用恒成立求出的范围，可得结果. 【详解】由得，因为，所以，所以， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以，所以的最大值为. 故选：A 【变式1-3】 （24-25高一上·天津卓越中学·阶段练习）设，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，得，又，由乘法，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，且，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 题型06 “1”的代换扩展：构造分母型 【解题规律·提分快招】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 【典例1-1】 （22-23高一上·天津·期末）若实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【典例1-2】 （24-25高一上·天津·阶段练习）已知，且满足，对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，从而得到在上恒成立，再利用二次函数的性质与恒成立问题的解法即可得解. 【详解】因为，且满足， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为对于，不等式恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，其在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-1】 （2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号， 故的最小值为9； 故选：B 【变式1-2】 （2025·天津八中模拟）已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】设，则，故，其中， ， 由， 当且仅当，时等号成立， 此时，满足， 故的最小值为， 故选：D. 【变式1-3】 （23-24高一上·天津静海·模拟）已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，所以， ， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以的最小值是9. 故答案为： 题型07 “1”的代换扩展：双分母构造型 【解题规律·提分快招】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 【典例1-1】 （22-23高三上·天津南开中学·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河西·期中）已知实数，且，则的最小值是 . 【答案】16 【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为，且，故， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值是16. 故答案为：16 【变式1-1】 （22-23高二下·天津南开·期末）已知，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D． 【答案】D 【分析】将转化为已知等式分母的形式，利用常数1代换，进而用基本不等式求得的最小值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为为， 故选：D. 【变式1-2】 （2022·天津重点学校联考）已知，均为正数，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】确定，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】当时，，，故，不符合题意，故， ，当，即时等号成立. 故选：B 【变式1-3】 （23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 题型08 “1”的代换扩展：分离常数型构造 【解题规律·提分快招】 分子分母都有变量型，可以通过常数代换来分离常数，达到消去分子上变量的目的。 【典例1-1】 （2022高二下·天津北辰区南仓中学）已知正实数，且，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变为，即可得，因此将变为，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数，，故， 所以， 故， 当且仅当时取得等号，故选：C 【典例1-2】 （23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值. 【详解】，由，故， 则 ，当且仅当，即、时，等号成立，则. 故答案为：. 【变式1-1】 （20-21高一上·天津·期末）若，且，则的最小值为（    ） A．8 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据，得，将变形为， 再与相乘，利用基本不等式即可求解. 【详解】，又，，则 ， 又，所以所以 ，当且仅当，且， 即时不等式取最小值2.故选：C 【变式1-2】 （2023·天津耀华中学大统练）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值. 【详解】，且,为非负实数，， 则 则，解得，，解得， ， 当且仅当即，时,即时等号成立， 故，故选：B. 【变式1-3】 （23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【分析】由题意，原式可化简为：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】由题意，， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 题型09 有和有积有常数整体化解不等式型 【解题规律·提分快招】 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： 【典例1-1】 （2023·天津第一中学滨海学校）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6，y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 【典例1-2】 （22-23高三上·天津河北·期末）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将已知等式化为，利用基本不等式可构造不等式求得结果. 【详解】由得：，又，， （当且仅当时取等号）， ，解得：（舍）或， 当时，取得最小值. 故答案为：. 【变式1-1】 （2023高三下·天津一中阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得，从而可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 即，则， 所以，又，所以，所以最大为3. 故选：C. 【变式1-2】 （24-25高一上·天津·期中）已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由基本不等式和一元二次不等式，得到，不等式化为在上恒成立，由对勾函数单调性得到最小值为，从而得到答案. 【详解】，由基本不等式得， 令，则，解得或（舍去）， 在上恒成立， 故在上恒成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故. 故选：C 【变式1-3】 （2023天津和平·一模）若实数x、y满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用不等式求最值即可. 【详解】，解得，当时，取得最大值.故答案为：. 题型10 假“1”的代换扩展：反解代入型 【解题规律·提分快招】 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 【典例1-1】 （23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 【典例1-2】 （2022·天津·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由题干条件得到且，对变形得到，利用基本不等式求解最小值. 【详解】由得：，因为，，所以， 其中，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为25. 故答案为：25 【变式1-1】 （2023天津耀华中学·期末）已知a，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用a和b的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出． 【详解】∵，∴．即． 当且仅当时取等号． ∴的最小值为.故选：C 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力. 【变式1-2】 （天津滨海新区汉沽第一中学）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由得到，推出，根据基本不等式即可求出结果. 【详解】因为正数满足，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故选A 【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 【变式1-3】 （2023高三上·天津武清·模拟）已知，，且，则的最小值是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题由已知可得，可以先通过得到关于的解析式，再代入中，即可得到，进行变形后利用基本不等式即可求得结果． 【详解】因为，，且，所以，所以， 则，当且仅当即时取等号， 所以的最小值等于，故选． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，考查了推理能力以及计算能力，考查了隐含条件思想以及整体思想，解题过程中要注意对题目所给条件进行分析和配凑． 题型11 因式分解型 【解题规律·提分快招】 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解模型：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 【典例1-1】 （2022高一上·天津静海·期末）若正数满足：，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】把化为，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，为正数，所以，从而. 又可化为， 故，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2.故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 【典例1-2】 （2022天津重点中学二模）已知，为正实数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意化简得到，进而得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由为正实数，且，可化为， 则 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：. 【变式1-1】 （天津新华中学·阶段练习）若正数a，b满足：＋＝1，则的最小值为 A．16 B．9 C．6 D．1 【答案】C 【详解】法一、因为，所以， 所以. 法二、因为，所以，. 法三、因为，所以，所以，故选C. 【变式1-2】 （24-25天津九十六中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】，，配凑得：， 两边同时除以4得：，即， 令，，则，，， 所以 （当且仅当即时，等号成立）. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题. 【变式1-3】 （24-25高三天津南开区南开中学·阶段练习）若正数，满足，则的最小值 . 【答案】6 【分析】正数，满足，可得，且；即，且；由变形为；化为应用基本不等式可求最小值． 【详解】解：正数，满足，，且； 变形为，，，，； ，， 当且仅当，即时取“”（由于，故取， 的最小值为6； 故答案为：． 题型12 换元化归型- 【解题规律·提分快招】 换元型： 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元， 【典例1-1】 （23-24天津河西区）已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【详解】因为，即， 设，则，且， 原式， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：4 【典例1-2】 （23-24天津耀华中学）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得，设，其中. 则，从而， 记，则，不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：. 【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题. 【变式1-1】 （2021·天津宝坻·模拟预测）若，且，则的最小值为 【答案】 【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解. 【详解】令，则，则，即， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令，化简得出利用基本不等式求解. 【变式1-2】 （天津·一模）若，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为，故答案为： 【变式1-3】 （23-24天津崇华中学·阶段练习）若实数m，n满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】通过换元使变量系数相同，巧用“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】解析：令，则，因为，所以.从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. 题型13 万能“k”型 【解题规律·提分快招】 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 【典例1-1】 （2024天津南开中学 模拟）已知实数，满足，且.则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】将已知等式变形为 ，对等式两边同乘，构造关于所求式子的不等式，进行求解即可. 【详解】由，得 ， 则 ，当且仅当， 即时成立，令，则有， 解得，故的最大值为. 故答案为9. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式将已知等式进行不等化是解决此类题常用的方法，属于难题. 【典例1-2】 （2020·天津北辰·二模）已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】先利用基本不等式化已知等式为关于的不等式，然后解不等式得结论． 【详解】∵，，当且仅当时等号成立， ，，， 所以的最大值为4，此时． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，此时解题时是利用基本不等式得出不等关系然后解不等式得出结论．当然要注意等号成立的条件． 【变式1-1】 （2023天津西青区杨柳青一中·）已知正实数m，n满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】，利用基本不等式，可求得，再结合，可得，从而可求出的取值范围，即可得到的最小值. 【详解】由题意，，当且仅当时，等号成立， 又，所以， 令，则，解得， 所以，即的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出，再根据，可得到只包含的关系式，从而可求出的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题. 【变式1-2】 （23-23天津滨海新区塘沽一中末）已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由，， 利用均值不等式得， 解得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】由，，得，即 又，当且仅当，即时，取等， 故，解得或（舍）故，即的最大值为， 故答案为：. 【变式1-3】 （2021·天津和平·二模）已知正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】等式两边同时乘以，利用均值不等式建立关于的二次不等式求解即可. 【详解】, , ,当且仅当，即时等号成立， 即， 整理得， 解得或（舍去） 故的最小值为8， 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等式两边同乘以的技巧，形成可使用均值不等式的条件，转化为关于的二次不等式求解. 题型14 三元变量均值型 【解题规律·提分快招】 处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 【典例1-1】 （21-22高一上·天津和平·期中）正实数满足，当取得最大时，的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用均值不等式得到最值时，代入数据化简得到，根据二次函数性质得到最值. 【详解】，故， ， 当且仅当，即时等号成立，此时，故， ， 故当，即，，时有最大值为.故选：C. 【典例1-2】 （21-22高三上·天津河北·期中）已知正实数x，y，z满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用凑配法，结合基本不等式，化简求得的最大值. 【详解】依题意， 故，当且仅当时等号成立.故答案为：2. 【变式1-1】 （2025天津第一中学阶段练习）已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法结合基本不等式可求最小值. 【详解】设题中代数式为M，令，则， ， ， 于是 ， 等号当时，也即时取得， 因此代数式的最小值为． 故选：A. 【变式1-2】 （19-20高一上·天津和平·期中）设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把代数式整理成，然后利用基本不等式可求出原式的最小值. 【详解】，当且仅当时，即当，，时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题. 【变式1-3】 （2021·天津南开·一模）已知，，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据已知的等式得出代入等式中，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，所以，代入中，得， 由（当且仅当时取等号）， 于是有（当且仅当时取等号）， 因为，，所以， 因此有（当且仅当时取等号）， ，（当时取等号，即时，取等号）， 所以有（当且仅当时取等号）， 即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式进行消元变形；二是通过重要不等式，得到，进而应用基本不等式进行解题. 题型15 均值裂项构造型 【解题规律·提分快招】 利用对称型，构造均值裂项，在凑配均值不等式 【典例1-1】 （天津·二模）已知为正实数，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：， 结合不等式的性质有：，当且仅当时等号成立，即，的最大值为. 本题选择C选项. 【典例1-2】 （22-23高三上·天津静海·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答. 【详解】因为，则，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当，时取等号， 所以当，时，的最小值为2. 故答案为：2 【变式1-1】 （23-24高三天津宝坻阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用基本不等式进行形式的转变进而找到分子和分母的关系，可以求出最小值，根据对勾函数以及，对分母进行放缩，进而求出最大值. 【详解】因为，当且仅当时等号成立. ，由对勾函数性质，所以， 则，同理 则， 故的取值范围是.故选：B. 【变式1-2】 （23-24高三天津静海阶段练习）已知实数，，不全为0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对式子变形后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意实数，，不全为0， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 【变式1-3】 （2024·天津第二南开·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将变为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x，y，z均为正实数， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 题型16 无条件构造型 【典例1-1】 （23-24天津静海一中阶段练习）已知，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当时，等号成立，故选C. 【典例1-2】 （高三上·天津·阶段练习）设，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题得不能同时为零，当时，先令，原式=，再，原式=，再利用导数求的最小值得解. 【详解】由题得不能同时为零，当时，原式=1, 当时，可令，原式=，令，原式=，当且仅当时取等. 设，所以，所以函数在单调递增，在单调递减， 所以，所以原式≥.(当且仅当x=1时取等) 所以最小值是.故答案为 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 【变式1-1】 （22-23天津第二中学 阶段练习）已知为正实数，则的最小值为 A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】试题分析：,当且仅当时取等号，故选D. 考点：基本不等式. 【变式1-2】 （19-20高三上·天津南开·期末）若a，b均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数， 则， 当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等 即则的最大值为， 故选B． 【点睛】本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，是难题. 【变式1-3】 （高三上·天津滨海新·期末）已知，，则的最大值是 . 【答案】 【解析】将化简、变形为，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解. 【详解】由题意， ，设，则，当且仅当，即取等号，又由在上单调递增，所以的最小值为，即， 所以，所以的最大值是.故答案为：. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 题型17 超难压轴综合小题 【典例1-1】 （23-24高三上·天津南开·期中）对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分离，构造关于的函数，然后画出图像，根据图像有三个交点，求出参数的取值范围. 【详解】 ， 令，则， 令，解得或者， 令，解得， 所以在和单调递增，在单调递减，如图所示，    要使得直线与函数有3个交点，则直线要在点上方， 而， 当且仅当时取到等号，所以， 所以只需满足即可， 故选：A 【点睛】方法点睛：分离参数后再构造函数，由解的问题转化为两个函数交点问题是处理含参导数问题的常用方法. 【典例1-2】 （21-22高三上·天津河北·阶段练习）设，则当 时，取到最大值． 【答案】/2.5 【分析】巧妙利用换元得到， 将取对数运算得到，将所求问题转化为求的最大值问题， 由使用两次基本不等式可求出的最大值，考查等号取得条件即可. 【详解】设，则，设 ，则， 可知，. ，(当且仅当，即时取等号.) 所以，故有最大值， 所以就有最大值，即有最大值. 故答案为: . 【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①及，为求最大值做准备;② 通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积， ，产生了与上面遥相呼应，可以使用基本不等式. 【变式1-1】 （2023·天津实验中学滨海学校模拟预测）已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案. 【详解】已知 由正弦定理可知：， ， 整理得：， 两边同除得：， 根据余弦定理得：，即， ，，，当且仅当，即时等号成立. 又，当且仅当时，等号成立. 综上所述：且， 故得：，此时且， ，. 故选：B 【变式1-2】 （22-23天津滨海新区塘沽一中联考）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断. 【详解】设，则, ∴ 对A：，A正确； 对B：由题意可得：，同理可得： ∵ ∴，则，B错误； 对C：∵ ∴，C正确； 对D： ∴，D正确； 故选：B. 【变式1-3】 （2023·天津武清·模拟预测）已知，，则最小值为 . 【答案】6 【分析】利用对数运算找出，的关系，利用导数求出的最小值，再利用基本不等式即可求出最值. 【详解】由，，， 得，所以，即，因为，所以； 所以，即， 令，，则， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以时，取最小值3，即. 因为，所以， 因为， 当且仅当，且，即，，时等号成立； 故的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是利用对数的运算性质求出的关系；二是利用导数求出的范围；三是利用放缩法及基本不等式求出最小值. 1.（23-24高三江苏宿州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 2.（2023·江西名校协作体联盟 阶段练习）实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵，，令，则 易知与均不为且符号相同，∴，解得或. （此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.） 又∵，，，， ∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， ∴， 又∵， ∴，（当时，）， ∴解得，即，当且仅当时，等号成立. ∴综上所述，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项. 3.（22-23高三上海复旦附属中学·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果. 【详解】由，则，且， 所以， 令，则，且， 所以，即，仅当时等号成立， 对于恒成立，仅当，即时等号成立， 综上，若，则， 而，则，只需， 所以，仅当，即时等号成立， 综上，，仅当，即时等号成立. 所以目标式最小值为. 故选：C 4．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 5.（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式可得.利用导数证明不等式，进而，则，解出a、，得，再次利用基本不等式计算即可求解. 【详解】由基本不等式，得， 即，当且仅当，即时等号成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 基本不等式归类 目录 题型01 均值公式“取等”基础 1 题型02 基本型：“1”的代换 2 题型03 基本型：凑配型 3 题型04 基本型：分离常数构造“对勾”型 4 题型05 “1”的代换扩展：同除型 5 题型06 “1”的代换扩展：构造分母型 6 题型07 “1”的代换扩展：双分母构造型 6 题型08 “1”的代换扩展：分离常数型构造 7 题型09 有和有积有常数整体化解不等式型 8 题型10 假“1”的代换扩展：反解代入型 9 题型11 因式分解型 9 题型12 换元化归型- 10 题型13 万能“k”型 11 题型14 三元变量均值型 12 题型15 均值裂项构造型 13 题型16 无条件构造型 13 题型17 超难压轴综合小题 14 优先选取2024各地模拟试题 15 题型01 均值公式“取等”基础 【解题规律·提分快招】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 【典例1-1】 （24-25高一上·天津和平·期中）若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【典例1-2】 （22-23高三下天津嘉诚中学阶段练习）下列选项正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式1-1】 （24-25高一上·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】 （23-24高一上·天津·期中）设，则下面的不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三下·天津滨海新区塘沽一中·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 基本型：“1”的代换 【解题规律·提分快招】 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 【典例1-1】 （24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津滨海新·期中）已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 【变式1-1】 （23-24高一上·天津和平·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若正实数，满足，则的最小值为25 B．若，，且，则的最大值为 C．若，为正实数，且，则的最小值为6 D．若，，则的最小值为3 【变式1-2】 （2024·天津第二南开中学）已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1-3】 （24-25高三上·天津南开·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是 ． 题型03 基本型：凑配型 【解题规律·提分快招】 (1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 【典例1-1】 （24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【典例1-2】 （22-23高二下·天津南开·期末）函数的最小值为 . 【变式1-1】 （24-25高一上·天津西青区张家窝中学阶段练习）若实数，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式1-2】 （24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知，求的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （22-23高一上·天津·期末）若，则的最小值为 ． 题型04 基本型：分离常数构造“对勾”型 【解题规律·提分快招】 对勾型： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 【典例1-1】 （19-20高一·天津东丽·期中）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河北·期末）已知，则的最小值为 . 【变式1-1】 （2022·天津红桥·二模）设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】 （20-21高一上·天津武清·阶段练习）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【变式1-3】 （24-25高一上·天津·阶段练习）已知，则函数的最小值是 题型05 “1”的代换扩展：同除型 【解题规律·提分快招】 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 【典例1-1】 （2022天津耀华中学·期末）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【典例1-2】 （24-25高一上·天津和平·期中）若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是 ． 【变式1-1】 （2024天津双菱中学·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高一上·天津武清区杨村三中·阶段练习）已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，则m的最大值为（    ） A．11 B．15 C．26 D．3﹣1 【变式1-3】 （24-25高一上·天津卓越中学·阶段练习）设，，且，则的最小值为 . 题型06 “1”的代换扩展：构造分母型 【解题规律·提分快招】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 【典例1-1】 （22-23高一上·天津·期末）若实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高一上·天津·阶段练习）已知，且满足，对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为 【变式1-1】 （2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 【变式1-2】 （2025·天津八中模拟）已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【变式1-3】 （23-24高一上·天津静海·模拟）已知，且，则的最小值是 . 题型07 “1”的代换扩展：双分母构造型 【解题规律·提分快招】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 【典例1-1】 （22-23高三上·天津南开中学·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河西·期中）已知实数，且，则的最小值是 . 【变式1-1】 （22-23高二下·天津南开·期末）已知，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D． 【变式1-2】 （2022·天津重点学校联考）已知，均为正数，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【变式1-3】 （23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 题型08 “1”的代换扩展：分离常数型构造 【解题规律·提分快招】 分子分母都有变量型，可以通过常数代换来分离常数，达到消去分子上变量的目的。 【典例1-1】 （2022高二下·天津北辰区南仓中学）已知正实数，且，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 【变式1-1】 （20-21高一上·天津·期末）若，且，则的最小值为（    ） A．8 B．3 C．2 D． 【变式1-2】 （2023·天津耀华中学大统练）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】 （23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 题型09 有和有积有常数整体化解不等式型 【解题规律·提分快招】 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： 【典例1-1】 （2023·天津第一中学滨海学校）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【典例1-2】 （22-23高三上·天津河北·期末）已知，，且，则的最小值为 . 【变式1-1】 （2023高三下·天津一中阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】 （24-25高一上·天津·期中）已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023天津和平·一模）若实数x、y满足，则的最大值是 ． 题型10 假“1”的代换扩展：反解代入型 【解题规律·提分快招】 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 【典例1-1】 （23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2022·天津·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为 . 【变式1-1】 （2023天津耀华中学·期末）已知a，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （天津滨海新区汉沽第一中学）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023高三上·天津武清·模拟）已知，，且，则的最小值是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 题型11 因式分解型 【解题规律·提分快招】 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解模型：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 【典例1-1】 （2022高一上·天津静海·期末）若正数满足：，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例1-2】 （2022天津重点中学二模）已知，为正实数，且，则的最小值为 . 【变式1-1】 （天津新华中学·阶段练习）若正数a，b满足：＋＝1，则的最小值为 A．16 B．9 C．6 D．1 【变式1-2】 （24-25天津九十六中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】 （24-25高三天津南开区南开中学·阶段练习）若正数，满足，则的最小值 . 题型12 换元化归型- 【解题规律·提分快招】 换元型： 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元， 【典例1-1】 （23-24天津河西区）已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 . 【典例1-2】 （23-24天津耀华中学）若实数满足，则的最大值为 . 【变式1-1】 （2021·天津宝坻·模拟预测）若，且，则的最小值为 【变式1-2】 （天津·一模）若，，，，则的最小值为 ． 【变式1-3】 （23-24天津崇华中学·阶段练习）若实数m，n满足，则的最小值是 . 题型13 万能“k”型 【解题规律·提分快招】 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 【典例1-1】 （2024天津南开中学 模拟）已知实数，满足，且.则的最大值为 ． 【典例1-2】 （2020·天津北辰·二模）已知，，且，则的最大值为 ． 【变式1-1】 （2023天津西青区杨柳青一中·）已知正实数m，n满足，则的最小值是 ． 【变式1-2】 （23-23天津滨海新区塘沽一中末）已知，，且，则的最大值为 ． 【变式1-3】 （2021·天津和平·二模）已知正实数，满足，则的最小值是 . 题型14 三元变量均值型 【解题规律·提分快招】 处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 【典例1-1】 （21-22高一上·天津和平·期中）正实数满足，当取得最大时，的最大值为（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （21-22高三上·天津河北·期中）已知正实数x，y，z满足，则的最大值为 ． 【变式1-1】 （2025天津第一中学阶段练习）已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】 （19-20高一上·天津和平·期中）设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2021·天津南开·一模）已知，，，则的最大值是 ． 题型15 均值裂项构造型 【解题规律·提分快招】 利用对称型，构造均值裂项，在凑配均值不等式 【典例1-1】 （天津·二模）已知为正实数，则的最大值为 A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三上·天津静海·期末）已知，则的最小值为 ． 【变式1-1】 （23-24高三天津宝坻阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三天津静海阶段练习）已知实数，，不全为0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2024·天津第二南开·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 . 题型16 无条件构造型 【典例1-1】 （23-24天津静海一中阶段练习）已知，则的最小值为 A． B． C． D． 【典例1-2】 （高三上·天津·阶段练习）设，，则的最小值是 . 【变式1-1】 （22-23天津第二中学 阶段练习）已知为正实数，则的最小值为 A． B． C． D．3 【变式1-2】 （19-20高三上·天津南开·期末）若a，b均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 【变式1-3】 （高三上·天津滨海新·期末）已知，，则的最大值是 . 题型17 超难压轴综合小题 【典例1-1】 （23-24高三上·天津南开·期中）对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【典例1-2】 （21-22高三上·天津河北·阶段练习）设，则当 时，取到最大值． 【变式1-1】 （2023·天津实验中学滨海学校模拟预测）已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-2】 （22-23天津滨海新区塘沽一中联考）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·天津武清·模拟预测）已知，，则最小值为 . 1.（23-24高三江苏宿州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·江西名校协作体联盟 阶段练习）实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高三上海复旦附属中学·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 4．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 5.（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$