预习07 数列基础（九大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习07 数列基础 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征； 2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义； 3．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律； 4．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养 知识点一、数列的概念与表示 1.数列的概念 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列. （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项. （3）分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 2.数列的表示方法 （1）一般形式:数列的一般形式是简记为. （2）其他方法:解析式法、表格法、图象法. 3.数列的通项公式 （1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. （2）数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线. 4.数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值. 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点二、数列的递推公式 1.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 2.数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 考点一：数列的概念及分类 例1．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 变式1-1．数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【详解】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点. 故选：B 变式1-2．（多选）下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【答案】ABD 【详解】对于A，不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误. 故选：ABD. 变式1-3．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1)是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 【详解】（1）错误．是集合，不是数列． （2）正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． （3）错误．当，代表数时为项数为8的数列； 当，中有一个不代表数时，便不是数列， 这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成． 考点二：根据规律求数列的项 例2．已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 变式2-1．数列的第100项是（    ） A．2 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】由数列，可化为， 所以数列的第100项为. 故选：A. 变式2-2．已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，数列，可化为， 所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是. 故选：D. 变式2-3．根据下列数列的特点，用适当的数填空：，， ，，， ，. 【答案】 【详解】由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的正整数，所以第一空需要填，第二空需要填， 故答案为：，. 考点三：根据数列的前几项求通项 例3．已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 变式3-1．数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将，，，可以写成成，，， 所以的通项公式为. 故选：C 变式3-2．（多选）已知，下列选项能正确表示数列的公式有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A，当为奇数时，，不符合数列，故A错误； 对B，由，可得， 由可得，故， 由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时，. 故该递推公式符合数列，故B正确； 对C，当时，，不符合数列，故C错误； 对D，当为奇数时，，当为偶数时，， 符合数列的通项公式，故D正确. 故选：BD. 变式3-3．写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为， 所以它的一个通项公式为． （2）这个数列的前4项可写为，， 所以它的一个通项公式为． （3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为， 分子依次为， 所以它的一个通项公式为. （4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为， 对于分母联想到数列可得分母的通项公式为， 所以原数列的一个通项公式为． 考点四：根据通项公式求值 例4．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【详解】，令，解得. 故选：B. 变式4-1．已知数列，则它的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，数列的通项公式为， 所以它的第8项的值为. 故选：D. 变式4-2．（多选）若数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．该数列有3个负数项 B．该数列有无限多个正数项 C．该数列的最小项大于函数的最小值 D．该数列中的所有项均为奇数或4的倍数 【答案】ABD 【详解】对于和，令，解得， 所以数列前3项为负数项，从第5项开始后面的项均为正数项，故A正确，B正确； 对于C，由二次函数的性质可知，，故C错误； 对于D，，与同为奇数或同为偶数，故D正确； 故选：ABD 变式4-3．已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【详解】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 考点五：由递推关系求数列的项 例5．已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】C 【详解】由题意可知，， 所以，，，……，， 所以上面9个式子相加得， 所以. 故选：C 变式5-1．已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】由，得，，，． 故选：B． 变式5-2．已知数列的前项和为，，，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，，， ，，，， 所以， 故选：A. 变式5-3．数列满足，，则 ． 【答案】2 【详解】∵，∴，∴，，，∴. 故答案为：2. 考点六：数列的周期性及应用 例6．在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，，，， 所以数列是以4为周期的数列，故不是中的项. 故选：A. 变式6-1．已知数列满足等于的个位数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】因为，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 故前10项为：， 故数列从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为6， 故， 故选：D. 变式6-2．已知数列满足，设的前n项和为，若，则 . 【答案】123 【详解】由题意可知：，，，， ，，…… 由此可得是一个周期为4的周期数列 ∴. 故答案为：123. 变式6-3．已知数列满足，，则 . 【答案】 【详解】，， ，故数列是以为周期的周期数列， 则. 故答案为：. 考点七：已知Sn求通项公式an 例7．已知数列的前项和满足，则 . 【答案】10 【详解】由题得. 故答案为：10. 变式7-1．数列的前项和为，则它的通项公式为 . 【答案】 【详解】当时，， 时，， 验证，当时，，成立. 故答案为： 变式7-2．已知数列的前项和．则数列 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 验证当时，成立， 所以. 故答案为： 变式7-3．在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 考点八：累加法求数列的通项 例8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 变式8-1．在数列中，，，则等于（　　） A．4 B． C．13 D． 【答案】A 【详解】依题意，在数列中，，， 即， 所以 . 故选：A 变式8-2．若在数列中，，，求通项． 【答案】. 【详解】由，得 以上个式子相加，又， 所以． 变式8-3．在数列中，，当且时，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】当时，， ，，，…，， ，又， ．又符合上式， ． 考点九：累乘法求数列的通项 例9．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 变式9-1．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 变式9-2．在数列中，，则 . 【答案】6 【详解】因，故有， 即得，所以. 故答案为：6. 变式9-3．已知数列的前项和为.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，显然，所以， 当时，由累乘法得， 则，又，所以， 所以当时，，时，也符合， 所以. 一、单选题 1．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，，，，…， 故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项， 故选：A． 2．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【详解】. 当时，函数单调递减， 则当时，数列单调递减， 所以中的项最大为. 故选：D. 3．已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C 4．数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 5．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对于任意都有知，数列为递减数列， 所以只需满足，解得， 故选：C 6．已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，当时，， 当时，，因为，所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 7．下列结论中正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 【答案】BD 【详解】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误； 数列通项公式的表达式不是唯一的， 例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是，也可以是，故B正确； 构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误； 根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确． 故选：BD. 8．已知数列的通项公式为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，6是偶数，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， ，D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．已知数列的前n项和满足，则 ． 【答案】6 【详解】由，则. 故答案为：6. 10．在数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】在数列中，，且， ， ， ， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明： ①，成立， ②假设成立， 则成立， 由①②得， 则． 故答案为：． 11．若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 四、解答题 12．已知无穷数列 (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？ 【答案】(1)an＝（n＝1，2，…） (2)有，4项 【详解】（1） ∵ 数列的分子依次为4，9，16，25，…，可看成与n有关的关系式（n＋1）2， 而每一项的分母恰好比分子大于1，∴ 通项公式的分母可以为（n＋1）2＋1， 故该数列的一个通项公式为an＝（n＝1，2，…）. （2） 当≤an≤时，可得≤≤， 解得2≤n≤5，故数列在[，]内有项，并且有4项． 13．已知数列，其前n项和为，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】时，， 时，， 不适合上式， 数列的通项公式为. 14．已知，问数列中是否有最大项？若存在，求出这个最大项；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】由，则， 所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故数列中有最大项，且最大项为． 15．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意对任意正整数，有， 令时，，即，可得； 令时，，即，可得. 由猜想：. （2）由（1）可知； 当时，由得，则， 即，即， 故时，， 且也适合上式，所以. 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(1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$