预习09 等差数列的前n项和（九大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习09 等差数列的前n项和 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．探索并掌握等差数列的前n项和公式 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系 3．能在具体的问题情景中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题 知识点一、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 知识点二、等差数列的前n项和的性质及应用 1.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数) （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则. ② 2.等差数列前n项和的最值 （1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. （2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. 考点一：求等差数列的前n项和 例1．已知数列是等差数列，其中，则（  ） A．4050 B．4048 C．2025 D．2024 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，且， 所以. 故选：C. 变式1-1．设等差数列的前项和为，且，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设公差为，因为，，则，解得， 所以. 故选：D 变式1-2．记为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得， 则． 故答案为： 变式1-3．数列满足（且），，为数列的前项和，则 ． 【答案】125 【详解】由（且）可得数列为等差数列，且公差为3， 由解得， 则. 故答案为：125. 考点二：前n项和有关的基本量计算 例2．（多选）设等差数列的前项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，解得， ． 故选：BD. 变式2-1．设是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【详解】因为， 所以，则． 故选：C. 变式2-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】方法一： ∵等差数列满足，， ∴由等差数列前项和公式有，解得， ∴，， 对于A，，故选项A正确； 对于B，，当取与最接近的整数即或时，最大，∴，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 方法二： ∵等差数列满足， ∴，∴ 对于A，，∴，故A正确； 对于B，，，，∴，故选项B正确； 对于C，，故选项C错误； 对于D，，故选项D错误. 故选：ABC. 变式2-3．已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】解：由数列前项和的性质可知：，即， 则. 故答案为： 考点三：片段和性质 例3．已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列， 所以，，则， 故选：B. 变式3-1．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【答案】50 【详解】由等差数列片段和性质知：为等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 变式3-2．等差数列的前项和为，若，，则 . 【答案】30 【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，则成等差数列， 而，于是， 所以. 故答案为：30 变式3-3．设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 【答案】C 【详解】由题意得成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：C 考点四：前n项和与n的比值 例4．已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 变式4-1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 变式4-2．在等差数列中,,其前项和为,则 . 【答案】110 【详解】解:由题知为等差数列,记数列, 所以,由,可知, 所以是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以, 所以,所以. 故答案为:110 变式4-3．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 . 【答案】70 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 考点五：两个等差数列前n项和的比值 例5．若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列均为等差数列， 所以. 故选：A 变式5-1．等差数列的前项和分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等差数列，所以， 又，即， . 故选：D. 变式5-2．等差数列，的前项和分别为，，且，则 ；若的值为正整数，则 ． 【答案】 或. 【详解】由等差数列的性质可得：，， ，因为， 所以； 因为， 所以, 要使的值为正整数，所以为的约数， 所以或或，因为，所以或. 故答案为：；或. 变式5-3．设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得． 故答案为： 考点六：奇数项和偶数项的和 例6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 为等差数列，，，解得， ，此数列的项数是项. 故选：. 变式6-1．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 变式6-2．已知数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ． 【答案】－4 【详解】设等差数列的项数为2m， ∵末项与首项的差为－28，∴，① ∵， ∴，② 由①②得， 故答案为：. 变式6-3．若项数为奇数的等差数列的所有项和为190，且奇数项和比偶数项和多10，则数列的项数为 ． 【答案】19 【详解】设数列的项数为，公差为， 则， 又， 即，代入， 可得，即数列的项数为. 故答案为： 考点七：含绝对值的等差数列前n项和 例7．已知为等差数列,,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以，； 所以，，. （2）设的前n项和为的前n项和为. 因为； 令，得， 所以当时，，当时，, 故当时，; 当时， 故. 变式7-1．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)50 【详解】（1）设差数列的公差为， 则有，解得， 所以. （2）因为时,; 时,; 所以 . 变式7-2．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）由， 当时，可得， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由，可得，则， 令，可得， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以. 注意：分类标准和，都可以. 变式7-3．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为d，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， 故， （2）依题意，． 当时，，故； 当时，， 故． 故 考点八：前n项和的最值 例8．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】设的公差为，由题意得， 即，解得， 即， ∴， 所以 由，解得，即的最大值为. 故选：C. 变式8-1．已知数列是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)或，最小值为． 【详解】（1）设的公差为，则 解得 所以； （2）， 所以当或时，取得最小值，最小值为． 变式8-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（    ） A． B． C．时，的最小值为 D．最小时， 【答案】BC 【详解】对于A，由，则， 又，则，故A错误； 对于B，由A已得，则，故B正确； 对于C，由上分析，当时，，当时，， 又，又， 所以时，的最小值为，故C正确； 对于D，当最小时，，故D错误. 故选：BC. 变式8-3．已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】(1) (2)，的最大值为. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以， 所以； （2）由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为. 所以，的最大值为. 考点九：前n项和的实际应用 例9．为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（    ） A．3.5小时 B．246分钟 C．4小时 D．250分钟 【答案】C 【详解】依题意可得，小张从11月1日开始，第1天､第2天､､第15天的运动时长依次成等差数列， 且首项为2，公差为2，所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为分钟小时. 故选：C 变式9-1．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故选：B. 变式9-2．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m 【答案】C 【详解】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：， 可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：， 且. 由等差数列的求和公式得： 故选：C 变式9-3．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 【答案】120 【详解】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 一、单选题 1．等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（    ） A．54 B．63 C．66 D．72 【答案】A 【详解】∵，且，∴，， ∴该数列的前9项和为． 故选：A． 2．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 3．记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 【答案】B 【详解】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：B 4．若两个等差数列的前 项和分别为 ，满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以当时， 因此． 故选：A 5．已知数列为等差数列，公差为为其前项和，若满足，给出下列说法： ①；②；③；④当且仅当或8时，取得最大值. 其中正确说法的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为为等差数列，， 所以，则，故， 对于①，，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，由于，所以数列的前项都为正数，从第项开始是负数， 所以当且仅当或8时，取得最大值，④正确； 综上，正确的说法有个. 故选：C. 6．已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以数列为递减数列，，且，. 所以即，所以， . 所以使的最小的的值为19. 故选：C 二、多选题 7．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 【答案】AC 【详解】设等差数列的公差为， 则，， ，，， A选项，，A选项正确. B选项，，B选项错误. D选项，， 由，解得，且 所以当取得最大值时，的值为或，D选项错误. C选项，， 由，解得，而， 所以的最大值为，C选项正确. 故选：AC 8．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 【答案】BCD 【详解】由题意可设公差为，则有 由有：，故A错误； 故B正确； ，由二次函数的性质可知： 当时，取得最小值，故C正确； 因为， 所以 所以为等差数列，公差为4，首项为， 所以的前项和为：故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．已知等差数列，，则 ． 【答案】21 【详解】设等差数列的公差为d， 由，可得，即， 则． 故答案为：21． 10．已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 【答案】 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 11．已知数列为等差数列，其前项和为，且，则数列的前项和 ． 【答案】 【详解】由得，所以，又因为， 设公差为，则， 所以， 所以,,. . 当时，， 当时，， 可得. 故答案为： 四、解答题 12．已知等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式以及前项和； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)210 【详解】（1）设等差数列的公差为， 所以， 所以，则， 所以. （2）由等差数列的性质可得：，，，是以为首项，公差为4的等差数列， 所以. 13．已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）因为和是方程的两个根， 由韦达定理可知，， 因此． 所以，，，…，， 由累加法得．又因为，所以，因此． （2）由，可知， 而数列的偶数项为公差为的等差数列， 因此， 因此，因此． 14．记是公差不为0的等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值. 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，所以， 解得. 故. （2）. 因为，所以，整理可得， 解得或. 因为为正整数，所以的最小值为7. 15．记等差数列的前项和为，. (1)证明：数列是等差数列. (2)若数列满足，且，求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题设可得， 解得，， 所以. 则， 故可得， 又， 故数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，数列是以为首项，为公差的等差数列. 故可得， 由，，可得， 又，则， 当时，可得 ， ， ， ， 累加可得， 可得， 又也符合上式， 故. 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(1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 变式7-1．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 变式7-2．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 变式7-3．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 考点八：前n项和的最值 例8．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 变式8-1．已知数列是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 变式8-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（    ） A． B． C．时，的最小值为 D．最小时， 变式8-3．已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 考点九：前n项和的实际应用 例9．为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（    ） A．3.5小时 B．246分钟 C．4小时 D．250分钟 变式9-1．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式9-2．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m 变式9-3．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 一、单选题 1．等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（    ） A．54 B．63 C．66 D．72 2．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 3．记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 4．若两个等差数列的前 项和分别为 ，满足 ，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等差数列，公差为为其前项和，若满足，给出下列说法： ①；②；③；④当且仅当或8时，取得最大值. 其中正确说法的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 二、多选题 7．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 8．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 三、填空题 9．已知等差数列，，则 ． 10．已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 11．已知数列为等差数列，其前项和为，且，则数列的前项和 ． 四、解答题 12．已知等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式以及前项和； (2)求的值. 13．已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，求． 14．记是公差不为0的等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值. 15．记等差数列的前项和为，. (1)证明：数列是等差数列. (2)若数列满足，且，求的通项公式. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$