精品解析：四川省成都市树德实验中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年度（上期）12月作业反馈 九年级数学 A卷（共100分） 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体从正面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 8. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 10. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为 ，则它的长为 __． 11. 如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是________ 12. 计算：________． 13. 如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的周长是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解方程：． 15. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似图形，使与△OAB的相似比为； （2）画出将△OAB向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的； （3）请你根据做出的图形判断：与________（填“是”或“不是”）位似图形． 16. 某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ; (3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率. 17. 如图，在四边形中，，E是的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点E作于点F，若，，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值； （3）给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，若，则______． 20. 已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为________． 21. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交于点M、N．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则______，针尖落在阴影区域的概率为______． 22. 在平面直角坐标系中，点，点P是线段上不与O，A重合的一动点，分别以为边向上作正三角形，得到，．点M、N分别为边的中点，连接，则的最小值为________． 23. 如图，在△OAB和△OCD中，，，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若，，则当点M与点C重合时AC的长为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求的值； （2）P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 26. 在矩形中，，E是边上异于A，D的一个动点． （1）如图1，将沿折叠，点A的对应点落在边上，求； （2）如图2，点M，N分别是边，的中点，将四边形沿折叠，得到四边形，连接．若，直接写出线段的长度的取值范围． （3）如图3，将沿折叠，点A的对应点落在矩形外，，分别与交于点P，Q，连接交于点R，已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上期）12月作业反馈 九年级数学 A卷（共100分） 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体从正面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的形状图，熟练掌握看图方向，画图原则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得几何体从正面看到的图是： 故选：A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法公式及加减运算，根据完全平方公式和平方差公式及整式加减运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．先求出摸到白棋的频率为，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去白棋的个数即为黑棋的个数． 【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子， ∴摸到白棋的频率为，即为概率， ∴盒子中黑色棋子为（枚）， ∴盒子中黑色棋子可能有（枚）， 故答案为：B． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小．根据反比例函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随着的增大而减小， ∵和都在反比例函数图象上，且， ∴， ∵在反比例函数图象上，， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故①符合题意； 当添加可判定，故②符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意； 故选C． 7. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 8. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，涉及了轴对称与中心对称图形，矩形，菱形，正方形的判定定理，熟练掌握有关定理是解题的关键．根据矩形，菱形，正方形的判定定理以及轴对称与中心对称图形即可作出判断． 【详解】解：A、由四个角相等的四边形是矩形得知此命题是假命题，所以此选项错，不合题意误； B、由对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可知此命题是假命题，所以此选项错误，不合题意； C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以原命题为假命题，所以此选项错误，不合题意； D、一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形是真命题，所以此选项正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较无理数大小，根据、，估计出、，比较大小即可得到答案，熟记、是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ∴， 故答案为：． 10. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为 ，则它的长为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可；掌握黄金分割的比值是解答本题的关键． 【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为 ， ∴这本书的长为． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短知，，其值最小， 所以的最小值即为的长， 所以的最小值为6． 故答案为：6． 12. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，原式先约分，再根据同分线分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 13. 如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理等知识，证明，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂以及解一元二次方程，熟练掌握各个运算法则和灵活选取适当方法解方程是解题的关键． （1）根据化简绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则并代入特殊角三角函数值计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解得：，． 15. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似图形，使与△OAB的相似比为； （2）画出将△OAB向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的； （3）请你根据做出的图形判断：与________（填“是”或“不是”）位似图形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 如图，即为所作； （3）是 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质． （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据平移的性质画出即可； （3）根据位似图形的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：与是位似图形，位似中心为点 故答案为：是． 16. 某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ; (3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率. 【答案】 (1)补全条形统计图: (2)36°； (3). 【解析】 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图； （2）可求出D所占百分比，进而求得扇形统计图中，D类所占圆心角； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是男一女的情况再利用概率公式即可求得答. 【详解】解：(1)略 (2)36°; (3)树状图如下： 所选的两位同学恰好是一男一女的概率为. 【点睛】本题考点是条形统计图、扇形统计图以及用列表法与树状图法求概率，熟练掌握知识点，并会灵活运用是解题的关键. 17. 如图，在四边形中，，E是的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点E作于点F，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，E是的中点， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和面积解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点A作于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是根据菱形的性质和判定解答． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值； （3）给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3）点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由直线求出点的坐标，过点作轴于点，由的面积为1可求出，把代入得，求出点A坐标，代入，求出即可； （2）联立方程组可得，，进而可得，直线的解析式为将直线向下平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，过点B作交y轴于E，则，再由相似三角形性质即可求得答案； （3）运用新定义“直角等补形”，分两种情况：当时，当时，分别求得点M的坐标． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴， ∴, 过点作轴于点，如图， ∵的面积为1， ∴, ∴即点的横坐标为2， 把代入得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立方程组得， 解得：，， ∴，， ∵P是线段的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 将直线向下平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图， 过点B作交y轴于E，则， ∵点P是的中点， ∴， ∵直线向下平移b个单位将的面积分成两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，代入， 得； 【小问3详解】 解：根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角， 当时，如图，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点B作轴于L，则 ， ∴， ∴， ∴， ∵此时四边形是圆内接四边形，为直径， ∴根据圆的对称性有，即两组邻边相等，不符合题意； 当时，如图，过点A作轴，过点B作，轴于E，过点N作，轴于F，设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当时，如图，过点M作轴，过点B作，过点N作， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，设， 如图，过点M作轴，过点B作轴于G，过点A作于D，过点N作于F，过点A作于E， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴①， 同理，， ∴，即， ∴②， ∴， 整理得：③， ∵， ∴， 整理得：④， 联立③④，得：， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述，点M的坐标为或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、相似三角形的判定和性质、待定系数法、勾股定理等知识，熟练掌握新定义“直角等补形是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，则，然后把代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到和的值，再通过对完全平方公式变形代入求值，最后根据根的情况利用判别式确定值即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴ 整理得， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 21. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交于点M、N．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则______，针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如图，连接交于点P， ∵平分， ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 在中，， ∴ ∵ ∴,，， ∴ 在中， ∴＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，点，点P是线段上不与O，A重合的一动点，分别以为边向上作正三角形，得到，．点M、N分别为边的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用等边三角形的性质证明是直角三角形，设，则，求出，利用勾股定理求出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：连接， ∵，都是等边三角形，点M、N分别为边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴的最小值为 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理与最短距离，二次函数的性质，证明是直角三角形是解题的关键． 23. 如图，在△OAB和△OCD中，，，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若，，则当点M与点C重合时AC的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，含的角直角三角形的性质，勾股定理等知识，先证明，得，，再分两种情形讨论：当点D在线段上时和在的延长线上时，解直角三角形求解即可解决问题． 【详解】解：∵中，，， ∴，， 同理， ∴ ∵， ∴， ∴， 如图，当点与点重合时，点D在线段上时 设交于点， ∵， ∴ ∴ 设，则，则， 在中， ∴ 化简得 解得（舍去）， ； 如图，当点与点重合时，点D在的延长线上时 设交于点， ∵， ∴ ∴ 设，则， 可得， 在中 ∴ 化简得 解得，（舍去） 故答案为：或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为21万元 【解析】 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； （2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得： 解得：， ∵尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求的值； （2）P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或，②是， 【解析】 【分析】（1）将点代入中，求出，再由待定系数法求解即可； （2）①证明，再由勾股定理得，求出的值，确定点的坐标即可； ②设点的坐标为，且，求出直线的表达式为，同理求出直线的表达式，分别得出和，再求出的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ，即， 将点代入反比例函数中， 得，解得． 【小问2详解】 由（1）可知，反比例函数的表达式为， 且直线的表达式为， 当时，，即 直线与轴交于点， 联立得， 即， 解得， 点坐标为， 由点的坐标可知，， 直线与轴交点为， ， ① 过点作轴的平行线与点作轴的平行线交于点，与直线交于点， ,， ， ， ， ， ， 即， 若，则， ， 点的横坐标为或， 则点的坐标为或． ②为定值，定值为8， 设点的坐标为，且， 设直线的表达式为， 则有，解得， 直线的表达式为， 当时，，当时，， ， 已知点的坐标为，， 设直线的表达式为， 则有，解得， 直线的表达式为， 当时，，当时，， ， 则， ， 【点睛】本题主要考查反比例函数的综合应用，解直角三角形，和一次函数的性质，勾股定理，分类求解和数据运算是解题的关键． 26. 在矩形中，，E是边上异于A，D的一个动点． （1）如图1，将沿折叠，点A的对应点落在边上，求； （2）如图2，点M，N分别是边，的中点，将四边形沿折叠，得到四边形，连接．若，直接写出线段的长度的取值范围． （3）如图3，将沿折叠，点A的对应点落在矩形外，，分别与交于点P，Q，连接交于点R，已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质可证明，，再结合及勾股定理表示出，最后求出，即可求出； （2）根据翻折的性质，可知的轨迹为以M为圆心，以为半径的圆弧，当M、N、共线时，长度最小，当在A时，长度最大，再结合矩形的性质、中点的定义及勾股定理分别算出、、的长度，即可得出的长度的取值范围； （3）过R作交于点H，先根据矩形的性质和翻折的性质证明，以及是等腰三角，即，再根据和勾股定理，设，则可表示出、、、的长度，然后根据可求出、、，进而可求得，再据此找出与的数量关系，同时根据以及找到与的数量关系，即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，且， ∴设，，， 由翻折的性质可得：，， 在中，， ∵ ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵点M，N分别是边，的中点，连接，， ∴，， ∴， ， ， ∵四边形沿折叠，得到四边形， E为线段上的动点， ∴的轨迹为以M为圆心，以的长度为半径的圆弧，如图： ∴当M、N、共线时，长度最小， 此时， 当在A时，长度最大，， ∵E是边上异于A，D的一个动点， ∴． 【小问3详解】 如图，过R作交于点H： 由翻折的性质得，，且， ∴， 由矩形的性质得，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、三角函数正切值、等腰三角形的判定、相似三角形、点与圆上一点的最值问题等，熟练掌握并灵活应用各个知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $