精品解析：北京市陈经纶中学2024-2025学年七年级上学期12月月考数学试卷

北京市陈经纶中学2024-2025学年七年级上学期 12月月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国长城总长约6700000米，6700000米用科学记数法表示（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的系数是 C. 是二次二项式 D. 与是同类项 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 8 6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列解方程的变形过程正确的是（ ） A 方程，移项得 B. 方程，系数化为1得 C. 方程，去括号得 D. 方程，去分母得 8. 下列说法：①当a是有理数时，；②当a是有理数时，总有；③当a是有理数时，；④当a是正有理数时，，其中正确的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 小红同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A. B. C. D. 10. 如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（ ） A. A处 B. B处 C. C处 D. D处 二、填空题（每题2分，共16分） 11 如果向东走5米记作米，那么向西走10米可记作________米． 12. 如果单项式与单项式的和仍是单项式，那么m的值是________，n的值是________． 13. 用代数式表示：“减去的差的平方”为________． 14. 已知代数式的值是，则代数式的值是_____． 15. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为________． 16. 如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算：______． 17. 已知是常数，若的项不含二次项，则_______． 18. 对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为．例如523为325的“倒序数”，． （1）_______； （2）对于任意三位数满足：的值是_______． 三、解答题（共54分） 19 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程：； 22. 解方程：． 23. 小明家经营一家文化创意产品商店，他在课余时间关注了文化创意背包和文化创意摆件两种商品销售情况，如表： 统计日期 售出文化创意背包件数（件） 售出文化创意摆件件数（件） 总售价 12月30日 12月31日 1月1日 若小明家的文化创意产品商店售出文化创意背包和文化创意摆件共件，总售价为元，那么售出文化创意背包和文化创意摆件各多少件？ 24. 小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入吋，求输出的值为多少？ （2）若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 25. 本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 26. 阅读材料，并回答问题 对于某种满足交换率的运算，如果存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身，那么n叫做这种运算下的单位元．如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元． 由上述材料可知： （1）有理数在加法运算下的单位元是______，在乘法运算下的单位元是______；在加法运算下，3的逆元是______，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是______； （2）在有理数范围内，我们定义一种新的运算：，例如． ①求在这种新的运算下的单位元； ②在这种新的运算下，求任意有理数m的逆元（用含m的代数式表示）． 27. 将有理数m（m不等于0和1）按以下步骤进行运算： 第一步，求相反数； 第二步，求所得的相反数与1的和； 第三步，求这个和的倒数． 如，有理数3按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数2和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，再将和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，如此重复上述过程，… （1）的值是 ，的值是 ； （2）的值是 ． 28. 对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． （1）当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； （2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； （3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经纶中学2024-2025学年七年级上学期 12月月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国长城总长约6700000米，6700000米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】6700000米米 故选择：D 2. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的系数是 C. 是二次二项式 D. 与是同类项 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式、多项式、同类项的定义．根据单项式和多项式、同类项的定义进行判断． 【详解】解：A．是多项式，原说法错误，不符合题意； B．的系数是，原说法错误，不符合题意； C．是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D．与是同类项，原说法正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减法则是解题的关键 根据直接利用整式的加减运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故该选项符合题意； B．，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 若是关于的方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．把代入方程，然后解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：． 故选：A． 6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负和正确理解数轴的特点． 【详解】、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 7. 下列解方程的变形过程正确的是（ ） A. 方程，移项得 B. 方程，系数化1得 C. 方程，去括号得 D. 方程，去分母得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A.由移项，得，则A不符合题意； B.方程，系数化为1得，则B不符合题意； C.方程，去括号得，正确，符合题意； D. 方程，去分母得，则D不符合题意； 故选：C． 8. 下列说法：①当a是有理数时，；②当a是有理数时，总有；③当a是有理数时，；④当a是正有理数时，，其中正确的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，绝对值的意义，平方的性质及有理数大小比较，逐个进行分析，即可求解． 【详解】①当a是正有理数时，，原说法错误； ②当a是有理数时，总有，原说法错误； ③当a是有理数时，，原说法正确； ④当a是大于1的有理数时，； ∴正确的序号为③， 故选：C． 9. 小红同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解． 考查一元一次方程的应用，了解日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1是解题的关键． 【详解】A、设最小的数是x， ，解得，故本选项不合题意； B、设最小的数是x.，，解得，故本选项符合题意； C、设最小的数是x，，解得，故本选项不合题意； D、设最小的数是x，，解得：，故本选项不合题意． 故选B． 10. 如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（ ） A. A处 B. B处 C. C处 D. D处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； ∵A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人． 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为． ∵观察线段可得， ∴当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 如果向东走5米记作米，那么向西走10米可记作________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的意义，此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负，由此直接得出结论即可． 【详解】解：如果向东走5米，记作米，那么向西走10米记作米． 故答案为：． 12. 如果单项式与单项式的和仍是单项式，那么m的值是________，n的值是________． 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求出m和n的值． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 故答案为：2；3． 13. 用代数式表示：“减去的差的平方”为________． 【答案】 【解析】 【分析】先表示减去的差，再表示差的平方． 【详解】解：“减去的差的平方”表示为：， 故答案：． 【点睛】此题考查了列代数式，注意语句中的关键字，关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 14. 已知代数式的值是，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 由得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为： 15. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了古代问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程．设客房有间，则第一种住宿方案的总人数为，第二种住宿方案的总人数为，根据总人数保持不变列出方程即可． 【详解】解：设客房有间， ． 故答案为：． 16. 如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后求出的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解． 【详解】解：由图可知：， 所以可得， 故答案为：． 17. 已知是常数，若的项不含二次项，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了多项式的加减无关类型；先化简，根据的项不含二次项，，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ， ∵若的项不含二次项，， ，， ，， ∴ 故答案为：1． 18. 对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为．例如523为325的“倒序数”，． （1）_______； （2）对于任意三位数满足：的值是_______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，仿照例题即可求出的值； （2）根据题意，先列出的式子，再进行化简即可． 本题主要考查整式的加减，定义新运算．解题的关键是读懂题意，能够正确的用字母表示三位数． 【详解】（1）根据题意可得， 故答题空1的答案为：5 （2）根据题意可得 故答题空2的答案为： 三、解答题（共54分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）12 （2）8 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘除法，再算加法即可； （2）先算乘方，然后根据乘法分配律计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值．正确的合并同类项是解题的关键． 先计算乘法，去括号，然后合并可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握一元一次方程解法的步骤，将原方程去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1，从而得到方程的解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 系数化为1得： 22. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， 系数化为1，得． 23. 小明家经营一家文化创意产品商店，他在课余时间关注了文化创意背包和文化创意摆件两种商品的销售情况，如表： 统计日期 售出文化创意背包件数（件） 售出文化创意摆件件数（件） 总售价 12月30日 12月31日 1月1日 若小明家的文化创意产品商店售出文化创意背包和文化创意摆件共件，总售价为元，那么售出文化创意背包和文化创意摆件各多少件？ 【答案】售出文化创意背包件，售出文化创意摆件件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．先根据表格得出文化创意摆件和文化创意背包的单价，再设售出文化创意背包件，则售出文化创意摆件件，根据总售价为元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知，售出件文化创意摆件的价格为元，售出件文化创意背包的价格为（元）， 设售出文化创意背包件，则售出文化创意摆件件， 由题意得：， 解得：， ， 答：售出文化创意背包件，售出文化创意摆件件． 24. 小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入吋，求输出的值为多少？ （2）若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【答案】（1） （2）（答案不唯一，符合要求即可） 【解析】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键． （1）由题意知，，由，可知，计算求解即可； （2）由题意知，，当时，，可知，进而可知，符合要求． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∵， ∴， ∴输出的值为； 【小问2详解】 解：由题意知，， 当时，，且， ∴， ∴符合条件． 25. 本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 【答案】（1）等式基本性质2 （2）③； 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1． （1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）根据一元一次方程的解法，结合小亮同学的解题过程分析即可． 小问1详解】 第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； 【小问2详解】 第③步开始出现错误，这一步正确的式子：． 故答案为：③；． 26. 阅读材料，并回答问题 对于某种满足交换率的运算，如果存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身，那么n叫做这种运算下的单位元．如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元． 由上述材料可知： （1）有理数在加法运算下的单位元是______，在乘法运算下的单位元是______；在加法运算下，3的逆元是______，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是______； （2）在有理数范围内，我们定义一种新的运算：，例如． ①求在这种新的运算下的单位元； ②在这种新的运算下，求任意有理数m的逆元（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）0，1，，0 （2）①0；② 【解析】 【分析】（1）直接根据题意作答即可作答即可； （2）①先将a、n分别代入求出，再根据“任意有理数a和它进行这种运算”作答即可； ②设m的逆元为b，先根据题意列出，再求解即可． 【小问1详解】 有理数在加法运算下的单位元是0，在乘法运算下的单位元是1；在加法运算下，3的逆元是，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是0； 故答案为0，1，，0； 【小问2详解】 ①∵存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身， ∴， 即， ∵a为任意有理数a， ∴无论取何值，均成立， ∴； ②设m的逆元为b， ∵两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元， ∴， 即， ， ， ， ∴任意有理数m逆元为． 【点睛】本题考查了新定义下有理数运算，正确理解“单位元”和“逆元”是解题的关键． 27. 将有理数m（m不等于0和1）按以下步骤进行运算： 第一步，求相反数； 第二步，求所得的相反数与1的和； 第三步，求这个和的倒数． 如，有理数3按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数2和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，再将和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，如此重复上述过程，… （1）的值是 ，的值是 ； （2）的值是 ． 【答案】（1）； （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及数字规律： （1）根据题目要求可直接计算出和的值； （2）分别计算出，，，以及，，，的值，可以发现它们的值分别是每三个循环出现，依此规律进行计算即可． 【小问1详解】 ； ； 故答案为：；； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ， 故答案为： 28. 对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． （1）当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； （2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； （3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 【答案】（1）1 （2）或5 （3）8 【解析】 【分析】此题的关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题，同时要注意分情况进行讨论． （1）设B表示的数为x，利用“k倍关联点”的定义列出方程即可解决问题； （2）由于没有给出具体m，n的值，m，n为正整数，所以“6倍关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出C表示的数，然后根据已知得到满足条件的C值即可； （3）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“k倍关联点”的定义列出方程列出方程，再根据k的取值与t无关即可确定对应的m，n的值，进而确定k的值． 【小问1详解】 解：设B表示的数为x，则有：， ∴， 即B表示的数为1． 故答案为：1． 【小问2详解】 设C表示的数为y，C在M的右侧，则， ∵6的正因数有1、2、3、6， ∴①当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ②当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ③当，时，则有，解得： ，符合题意； ④当，时，则有，解得： ，符合题意； 综上所述，y为或5，即C表示的数为或5． 故答案为：或5． 【小问3详解】 设运动时间为t秒，则P表示的数为，Q点表示的数为， ∵点P始终为点Q的“k倍关联点”， ∴， ∴， 对于任意t都成立 ∴，， 解得：，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $