精品解析：江苏省南通市北城中学、启秀市北永怡三校联考2024—2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第二次阶段学业水平测试 八年级数学试卷 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 2. 下列分式为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的识别，约分，若一个分式的分子和分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选B． 3. 要使式子有意义，x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得且，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据题意列出不等式． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了两个乘法公式，正确运用两个乘法公式进行相关整式乘法运算是解题的关键． 5. 已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（　　） A. 8cm B. 2cm或8cm C. 5cm D. 8cm或5cm 【答案】D 【解析】 【分析】因为BC是腰是底不确定，因而有两种可能，当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC全等，所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8cm或5cm． 【详解】解：分为两种情况：当BC是底时，△ABC的腰长是5cm， ∵△ABC与△A′B′C′全等， ∴△A′B′C′的腰长也是5cm； 当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形， ∵△A′B′C′与△ABC全等， ∴△A′B′C′的腰长也等于8cm， 即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质的应用，用了分类讨论思想． 6. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可判断． 【详解】A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意； B、，不是因式分解，此项不符题意； C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意； D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意； 故选：D． 7. 已知：，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将进行变形，然后利用整体思想代入求值即可． 【详解】解： 两边同乘：，得：， 则： ； 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 8. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元，根据“用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍”列出分式方程即可． 【详解】解：设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 9. 当时，多项式的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 多项式 ， 故选：D． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想． 10. 已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（ ） A. －4 B. －5 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可． 【详解】，即 时，的最大值为 故选：A 【点睛】此题考查整体代入求值，以及利用公式变形求最值，解题关键是找到a的取值范围． 二、填空题：本大题共8小题，11~12题，每小题3分，13~18题，每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 11. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 在实数范围内因式分解因式_________． 【答案】 【解析】 【分析】先运用平方差公式，分解成（x2+2）（x2-2），再把x2-2写成x2-()2，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】解：== 故答案为：. 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，利用完全平方公式或平方差公式在实数范围内进行因式分解，分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键． 分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式，再代入该整式即可的到m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以，得： ， 整理，得：， 无解， ，即时，方程无解； 当时，方程也无解， 此时，，则有， ， 故答案为：或． 15. 如果是一个完全平方式，那么值是____． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判断即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：或4． 故答案为：或4． 16. 若关于的方程的解是正数，则a的取值范围是_________． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤是解题关键．解方程，用含a的式子表示x，由x为正数，求出a的范围，再把使分母为0的x值排除． 【详解】解方程得，， ∵x为正数， ∴， 解得， 又∵ ∴ 解得 综上所述，a取值范围是，且． 故答案为：，且． 17. 已知，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】设，则 可化为：， ∴， 两边同时平方得：，即：， ∴，解得：， ∴. 故答案为. 点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得的值，使问题得到解决. 18. 如图，等边△ABC的边长为 1，CD⊥AB 于点 D，E 为射线 CD 上一点，以BE为边在 BE 左侧作等边△BEF，则DF的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明△CBE≌△ABF，推出∠BAF=∠BCE，由CA=CB，CD⊥AB，推出∠BCE=∠ACB=30°，AD=BD=4，推出∠BAF=30°=定值，根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小． 【详解】如图， ∵△ABC，△BEF的是等边三角形， ∴AB=BC，BF=BE，∠ABC=∠ACB=∠EBF=60°， ∴∠CBE=∠ABF， △BCE和△BAF中， ， ∴△CBE≌△ABF（SAS）， ∴∠BAF=∠BCE， ∵CA=CB，CD⊥AB， ∴∠BCE=∠ACB=30°，AD=BD=， ∴∠BAF=30°是定值， ∴根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小， ∴DF的最小值=AD=． 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．垂线段最短等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质判断出∠FAD=30°是定值. 三、解答题：本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算； （1）根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定要注意验根． （1）先去分母，把分式方程变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可； （2）先去分母，把分式方程变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 解得， 经检验，是增根， 分式方程无解． 21. 先化简，再求值：，请从，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 且， ， 当时， 原式． 22. 已知x＝，y＝． （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】（1）先把代数式变形为，再化简x＝，y＝，然后代入求值即可； （2）由x的整数部分是a，y的小数部分是b，得出，，然后代入5a2021+（x﹣b）2﹣y即可计算出本题答案 【详解】解：（1） 当x＝，y＝， ∴原式； （2）∵， ∴，， ∵x整数部分是a，y的小数部分是b， ∴， ∴5a2021+（x﹣b）2﹣y ． 【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值，二次根式的化简的知识，掌握二次根式分母有理化是解题的关键． 23. 观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． （1）化简式子______； （2）直接写出式子的值： ； （3）计算：（n为正整数）． 【答案】（1）； （2）2023； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 故答案为：2023， 【小问3详解】 解：依题意， ． 24. 某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数． （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 【答案】（1）2400个， 10天；（2）480人． 【解析】 【分析】（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程，解出x即为原计划每天生产的零件个数，再代入即可求得规定天数； （2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数． 【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得， ， 解得x=2400， 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意． ∴规定的天数为24000÷2400=10（天）． 答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天； （2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得， [5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000, 解得，y=480． 经检验，y=480是原方程的根，且符合题意． 答：原计划安排的工人人数为480人． 【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验． 25. 如图，等边与等边满足三点共线，交于交于与交于．求证： （1）； （2）平分； （3）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证明，，再证，根据可证； （2）过点C作于点M，于点N，根据可得，根据角平分线性质定理的逆定理可证平分； （3）先证，推出，再证，推出，再证，推出，通过等量代换即可证明． 【小问1详解】 证明：和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点C作于点M，于点N， 由（1）得， ，， ， ， 点C在的平分线上， 即平分； 小问3详解】 证明：如图， 由（2）得， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ； ， ， 又， ， ， 又平分， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，有一定难度，综合运用上述知识，熟练进行等量代换是解题的关键． 26. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式， （1）写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案） （2）已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数的值． （3）小明在解方程时，采用了下面的方法： 去分母，得① 可得② ①+②，可得 将两边平方可解得，经检验：是原方程的解． ∴原方程的解为： 请你学习小明的方法，解下面的方程： ①方程的解是_____________；（直接写出答案） ②方程的解是_____________；（直接写出答案） 【答案】（1）且 （2）①不存在，理解见解析；② （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为，代数式才有意义即可得答案； （2）①根据已知列出方程，解方程即得答案； ②计算，变形为，是一个整数，则的值为或，解出方程取无理数且即可； （3）利用平方差公式，将无理方程转化为整式方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：由且， 解得：且． 故答案为：且． 【小问2详解】 解：①不存在，理由如下： 由，得：， 解得：， 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解， ∴不存在； ②， ∵是一个整数， ∴是整数， ∴或， 解得：或或或， ∵为无理数，且， ∴． ∴无理数的值为． 【小问3详解】 ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：； ②∵； ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检查：是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查根分式有意义的条件，无理方程的解法，求根分式的值．解题的关键是学会模仿例题解决问题，利用平方差公式把问题转化．注意：解无理方程需检验． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期第二次阶段学业水平测试 八年级数学试卷 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使式子有意义，x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（　　） A. 8cm B. 2cm或8cm C. 5cm D. 8cm或5cm 6. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知：，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 当时，多项式的值为（ ） A 3 B. C. 1 D. 10. 已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（ ） A. －4 B. －5 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共8小题，11~12题，每小题3分，13~18题，每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 11. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 在实数范围内因式分解因式_________． 14. 分式方程无解，则的值为______． 15. 如果是一个完全平方式，那么的值是____． 16. 若关于的方程的解是正数，则a的取值范围是_________． 17. 已知，则________． 18. 如图，等边△ABC的边长为 1，CD⊥AB 于点 D，E 为射线 CD 上一点，以BE为边在 BE 左侧作等边△BEF，则DF的最小值为_____． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程 （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，请从，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值． 22. 已知x＝，y＝． （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值． 23. 观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． （1）化简式子______； （2）直接写出式子的值： ； （3）计算：（n为正整数）． 24. 某工厂计划规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数． （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 25 如图，等边与等边满足三点共线，交于交于与交于．求证： （1）； （2）平分； （3）． 26. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式， （1）写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案） （2）已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数的值． （3）小明在解方程时，采用了下面的方法： 去分母，得① 可得② ①+②，可得 将两边平方可解得，经检验：是原方程的解． ∴原方程解为： 请你学习小明的方法，解下面的方程： ①方程的解是_____________；（直接写出答案） ②方程解是_____________；（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$