精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

沈阳二中2024-2025学年度上学期12月测试 高一（27届）数学试题 命题人：高一数学组 审校人：高一数学组 说明：1.测试时间：120分钟，总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 番禺图书馆新馆是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.有段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的概率0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.5 D. 0.4 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 6. 已知，若有四个实数解，，，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. ，若，则的范围（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 C. 若，则函数的最小值为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23第70百分位数是23 D. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 11. 已知函数，的零点分别为，，给出以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则最小值为_______. 13. 已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则______0（填“>”“=”或“<”）. 14. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，令，若在区间内，方程有个不相等的实根，则实数的取值范围是_________ ； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （1）求值：； （2）求值：； （3）已知，，用a，b表示. 16. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率. 17. 已知，. （1）若，求实数的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）设函数，若对任意正实数恒成立，求实数的取值范围. 18. 有一条长为120米的步行道，A是垃圾投放点，以为原点，为x轴正半轴建立直角坐标系.设点，现要建设另一座垃圾投放点，把点B到和的距离中较小的称为点B的垃圾投放距离，记为函数. （1）若，求、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利? 19. 定义两类新函数： ①若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”； ②若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”． （1）设函数的定义域为，已知是某一类新函数，试判断是“函数”还是“函数”（不需说明理由），并求此时的范围； （2）已知函数在定义域上为“函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳二中2024-2025学年度上学期12月测试 高一（27届）数学试题 命题人：高一数学组 审校人：高一数学组 说明：1.测试时间：120分钟，总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设全集，集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的运算以及交集的运算即可求出． 【详解】因为，所以＝，而 即有． 故选：C． 2. 若命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题得到答案. 【详解】命题：，的否定是：，. 故选：A. 3. 番禺图书馆新馆是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.有段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的概率0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用利用独立事件及对立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，甲、乙两人都没前往番禺图书馆新馆的概率， 所以甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是. 故选：A 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中间值进行比较﹒ 【详解】∵，∴4＞，∴，即a＞c， 同理，∵，∴3＞，∴，即b＞c， ∵，∴4＞，∴； ∵，∴3＜，∴， ∴a＞b 综上，a＞＞b＞， 故选：A 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由图中函数的单调性可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求. 【详解】由图可知，函数的减区间为，增区间为，是单调增函数， ∴函数的减区间为，增区间为， ∴方程的两根为2和4， 又， ，解得. . 故选：D. 6. 已知，若有四个实数解，，，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，可知，即可判断关系；是方程的两根，由此即可得关系，选出正确选项即可. 【详解】画出函数的图象如图所示. 由图可得， 所以， 所以，即. 由图可得，且， 所以. 故答案为：D. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质，以及函数的零点、方程的根和函数图象的交点的关系，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 7. ，若，则的范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，易知为奇函数且在定义域上单调增加，将化为的不等式，根据单调性，即可解得的范围. 【详解】令，则，由解得定义域为， 因为，，都在区间上单调递增， 所以在单调增加， 因为，所以， 因为，所以， 即：，所以， 所以，所以. 故选：C. 8. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式可得，构造函数，分析出函数在上为增函数，由可求得的值. 【详解】等式两边取自然对数可得， 由可得，所以，， 构造函数，则函数在上为增函数， 由可知，由可知，从而， 由上可知，所以，，因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于利用已知等式变形得出，通过利用函数的单调性得出，进而求得结果. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 C. 若，则函数的最小值为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由不等式的解集结合空集的定义可判断B；由对勾函数性质可判断C；分和时求的范围可判断D. 【详解】对于A，将不等式转化为， 解得或，故选项A正确. 对于B，若不等式组的解集为， 则，解得，故选项B错误. 对于C，令，则，所以， 由对勾函数性质知，在上单调递增， 所以， 即函数的最小值为，故选项C错误. 对于D，当时，成立， 当时，应满足，解得， 故符合题意的的取值范围是，故选项D错误. 故选：A. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出，再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，先得到的方差，根据方差性质得到的方差，进而得到其标准差. 【详解】A选项，个体m被抽到的概率为，A正确； B选项，已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则， 解得， ， 则这组数据的方差是，B正确； C选项，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C错误； D选项，若样本数据的标准差为8，则的方差为64， 设的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：AB 11. 已知函数，的零点分别为，，给出以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先说明的图象关于直线对称，由题意可得，且，化简可得，判断B;写出的表达式，利用基本不等式可判断，判断A;利用零点存在定理判断出，写出的表达式，由此设函数，根据其单调性可判断. 【详解】对于函数 ，有， 即函数的图象关于直线对称， 由题意函数，的零点分别为，， 可知为的图象的交点的横坐标， 为的图象的交点的横坐标， 如图示，可得，且关于直线对称， 则，且， 故，即，故B正确； 由题意可知 ， 所以， 由于，即，A错误； 因为，， 且为单调减函数， 故在上存在唯一的零点 ，即 ， 故， 设，则该函数为单调递增函数， 故，且，故， 故C错误，D正确， 故选： 【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得，且关于直线对称，从而可得，且，然后写出以及的表达式，问题可解. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，当且仅当时取等号， 即，时，有最小值. 故答案为：. 13. 已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则______0（填“>”“=”或“<”）. 【答案】 【解析】 【分析】由函数为幂函数，可得或，又由题意中函数在上单调递增，可得，从而根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为函数是幂函数，所以，即， 解得或， 当时，；当时，. 因为函数对任意的，且，满足， 所以函数在上单调递增， 所以， 又， 所以函数是奇函数，且为增函数， 因为， 所以， 所以，即. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，令，若在区间内，方程有个不相等的实根，则实数的取值范围是_________ ； 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求出函数在一个周期上的图象，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：是偶函数，当，时，． 当，时，当，时，， 即当，时，． 则当，时，． ， 函数的周期为2． 由，得， 设，做出在，上的函数图象如图所示： 设直线经过点，则． 直线经过定点，且直线与的图象有4个交点， ． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出函数在一个周期内的解析式，利用数形结合进行求解是解决本题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）求值：； （3）已知，，用a，b表示. 【答案】（1）7；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质可求得结果； （2）根据对数的运算性质和运算法则即可； （3）先由得到，利用对数的运算性质表示出. 【详解】（1）原式 . （2）原式 （3）因为，所以. 又因为， 所以. 16. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率. 【答案】（1）93分 （2） 【解析】 【分析】(1）先利用频率之和为1，计算出，进而求出平均值即可；(2）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，分别记为，需在内抽3人，分别记为.，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率． 【小问1详解】 由， 得. 数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为： 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分． 【小问2详解】 由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）. 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生， 则需在分数段内抽2人，分别记为， 需在分数段内抽3人，分别记为. 设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A， 则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点， 所以． 即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为 17. 已知，. （1）若，求实数的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）设函数，若对任意正实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，结合解析式求解. （2）根据单调性定义证明在内的单调性. （3）根据已知条件写出解析式，代入所求不等式，结合换元法、分离参数法得出与新函数的不等关系，再结合恒成立思想得出的取值范围. 【小问1详解】 由化简得，解得. 【小问2详解】 函数在内单调递减， 证明如下： 设， ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在内单调递减. 【小问3详解】 ，， 所以 即对任意的正实数恒成立， 令，因为，所以， 结合基本不等式知，即， 所以即对任意恒成立， 结合对勾函数性质知在单调递减， 所以， 则，即实数的取值范围为. 18. 有一条长为120米的步行道，A是垃圾投放点，以为原点，为x轴正半轴建立直角坐标系.设点，现要建设另一座垃圾投放点，把点B到和的距离中较小的称为点B的垃圾投放距离，记为函数. （1）若，求、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利? 【答案】（1），，； （2）建在与之间. 【解析】 分析】（1）依据题意分类讨论计算函数关系即可. （2）先求出解析式，作出函数草图并求出其与坐标轴围成的图形面积，依照一元二次不等式的解法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知投放点，， 表示点的垃圾投放距离， 所以，同理分析，， 由题意得，， 则当，即时； 当，即时； 综上 【小问2详解】 由题意及（1）易得， 所以， 则与坐标轴围成的图形如阴影部分所示， 所以与坐标轴围成的面积， 又由题意知，即， 即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利. 19. 定义两类新函数： ①若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”； ②若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”． （1）设函数的定义域为，已知是某一类新函数，试判断是“函数”还是“函数”（不需说明理由），并求此时的范围； （2）已知函数在定义域上为“函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“函数”；；（2） 【解析】 【分析】（1）由，可知对任意的，都不满足，即不可能是“函数”，只能是“函数”；由在内单调递增，可得，进而可得出，从而可得，求出取值范围即可； （2）若图象的对称轴，可推出矛盾，从而在上单调，且，可求出，不等式可转化为，该不等式对任意恒成立，令，由存在使得该不等式成立，可求出实数的取值范围. 【详解】（1）函数在定义域上是“函数”，理由如下： 因为，所以对任意的，都不满足，即不可能是“函数”，而是某一类新函数，只能是“函数”. 函数在内单调递增，且“函数”， 由定义需满足，即， 因为，所以，， 所以， 所以的范围为. （2）若图象的对称轴，则存在，且，关于对称， 此时，，由条件知存在，使，这与“函数”定义矛盾． 所以，即在上单调，则， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调， 所以成立，即. 存在实数，使得对任意的，不等式恒成立， 不等式整理得，该不等式对任意恒成立， 所以，整理得， 由题意知，存在使得该不等式成立， 所以或，解得或. 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查函数新定义，考查不等式恒成立问题，注意利用函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$