精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

建平县实验中学高一年级月考 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化条件得，，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，解得， 故函数的定义域是． 故选：A. 3. 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数型函数所过的定点求解即可. 【详解】令，解得，则，即过定点. 故选：B 4. 若函数在区间内存在零点，则参数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知方程在区间上有解，求出函数在区间上的值域，由此可得出实数的取值范围. 【详解】由于函数在区间内存在零点，即方程在区间上有解， 因为函数在区间内单调递增，可得，即有. 因此，参数的取值范围是. 故选：A. 5. 若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】关于的不等式的解集为，根据韦达定理求得，，在关于的不等式的两边同除以，得，即可求得答案. 【详解】关于的不等式的解集为， ，且1，3是方程的两根， 根据韦达定理可得：，， ，， 在关于的不等式的两边同除以， 得， 不等式变为， 解得： 不等式的解集为：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求解一元二次不等式，解题关键是掌握一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 7. 已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】由于的定义域为, 且，所以为偶函数， 又当时，为单调递增函数， 故由得，解得， 故选：A 8. 已知函数，若存在实数b，使函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在、上的单调性，求出函数在这两个区间上的值域、，由题意可知，，可得出关于实数的不等式，数形结合可得出正实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增，当时，， 因为存在实数b，使函数有两个零点， 则，所以，，作出函数、在上的图象如下图所示： 由图可知，当时，满足不等式的的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中假命题是（ ） A. ， B. ，使 C. ， D. 已知命题，，则是：， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各命题描述及特称命题的否定判断各项的真假. 【详解】A：显然时不成立，假命题； B：时成立，真命题； C：都不是有理数，假命题； D：由特称命题的否定为全称命题，则是，，假命题. 故选：ACD 10. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为2 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】因为正实数m，n满足， 所以， 当且仅当，即，，等号成立，故A错误； ，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； ，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； ，当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：BC 11. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可. 【详解】不妨令 ， 对任意都有在上单调递增， 对所有恒成立， 对所有恒成立， 对所有恒成立，令 故只需解之： 故选：AD 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分、解方程，综合可得出实数的值. 【详解】当时，由可得； 当时，由，此时无解. 综上所述，. 故答案为：. 13. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 对实数a、b定义一个运算：设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的新定义，分类讨论的取值范围，得到函数的解析式，画出函数的图像，数形结合即可求解. 【详解】函数的图象与x轴恰有两个公共点即为与的图象有两个公共点， 又，或， ∴，画出的函数图像， 从而可知，实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果； （2）由求出，再求出，然后根据列式可求出结果. 【小问1详解】 由得，得， 所以， 当时，由，得， 所以， 所以或， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 由得，得，， 所以， 因为，所以，， 解得. 16. 已知定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）解不等式：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质可得，可求得的值，然后利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式，即可得答案； （2）分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数，且当时，， 则，解得，即当时，， 当时，，则. 综上所述，. 【小问2详解】 当时，，则函数在上为增函数，且， 由可得，所以，，解得或. 因此，不等式的解集为. 17. 已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解关于的不等式：为常数，且 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出、的值． （2）不等式为，讨论和，写出对应不等式的解集． 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，． 【小问2详解】 不等式即为， 由，则时，解不等式得，或； 时，解不等式得，或； 综上，时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或． 18. 新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】（1）； （2）当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 【解析】 【分析】（1）分、分别求解即可； （2）根据、及二次函数、基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． 所以； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，y取得最大值，最大值为500万元； 当时，， 当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为560万元． 综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 【答案】（1）证明：由为上的增函数，则有， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】（1）略 （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学高一年级月考 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 4. 若函数在区间内存在零点，则参数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 8 D. 20 7. 已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数b，使函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中假命题是（ ） A. ， B. ，使 C. ， D. 已知命题，，则是：， 10. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为2 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 11. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则__________. 13. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为_________． 14. 对实数a、b定义一个运算：设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的值． 16. 已知定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）解不等式：. 17. 已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解关于的不等式：为常数，且 18. 新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $