精品解析：河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期12月高二阶段测试卷 数学 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，在直三棱柱中，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（ ） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程为3时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线过点，则（ ） A. 抛物线的标准方程可能为 B. 抛物线的标准方程可能为 C. 过点与抛物线只有一个公共点直线有一条 D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 当直线与轴垂直时， B. 的周长为 C. 的最大值为 D. 的内切圆的面积的最大值为 11. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，、分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 若，则 D. 面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 若直线与直线垂直，则实数______________. 13. 在长方体中，，，点为长方体底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为___________. 14. 已知双曲线的两个焦点分别为、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则__________（用含、的式子表示），双曲线的离心率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 16. 如图，已知平面，底面为矩形，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点，过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若（O为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 18. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的实轴长为4，离心率为2. （1）求双曲线的方程； （2）若，为双曲线左、右顶点，为双曲线的右焦点，直线过且与双曲线的右支交于，两点，，分别交直线于，两点. （i）若直线的斜率存在，证明为定值； （ii）若为轴上一动点，当直线的倾斜角变化时，若为钝角，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期12月高二阶段测试卷 数学 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 2. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在双曲线上，且，利用双曲线的定义求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以，又， 当点在双曲线左支上时， ，则， 当点在双曲线右支上时， ，则，不合题意，舍. 故选：B. 3. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示圆，点在圆外列不等式，求解即可. 详解】由方程表示圆，得，解得或； 又点在圆外，则，解得， 因此，或， 故选：C. 4. 如图，在直三棱柱中，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系建立空间直角坐标系，结合空间向量的数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意，直线两两垂直，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系； 由，，得，，，， 则，， 所以， 故选：B. 5. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点、的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设、，则，， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 6. 已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程求出圆心坐标和半径，进而求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求最值. 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离为，则直线与圆相离， 所以的最小值为， 故选：A. 7. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（ ） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 8. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程为3时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由特殊切线求得蒙日圆的方程，根据切线长和圆的半径解得（为关于轴的对称点）两点间的距离，进而解得的值. 【详解】 由椭圆方程得：直线和是椭圆的两条互相垂直的切线， 所以点在蒙日圆上，则蒙日圆的半径，故蒙日圆的方程为； 如图所示，设点出发的光线与轴交于点，反射光线与圆交于点， 当直线为圆的切线时，路程取最大值， 设点关于轴的对称点为，由对称性知点在直线上，且， 则， 由题意，当直线为圆的切线时，路程最大，且最大值为3，即， 则，即， 解得，， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线过点，则（ ） A. 抛物线的标准方程可能为 B. 抛物线的标准方程可能为 C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向分类讨论，利用待定系数法求得抛物线方程即可判断A和B，求出过点，且抛物线只有一个公共点的直线方程，即可判断C和D. 【详解】因为抛物线过点，则抛物线的开口向右或向下， 当开口向右时，设方程为，，则，解得，即； 当开口向下时，设方程为，，则，解得，即，故A正确，B正确； 如图所示，当抛物线方程为时，由点与抛物线只有一个公共点得直线有斜率， 设直线方程为，联立，得， 当时，方程只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，符合题意； 当，由，解得，则直线方程为， 此时方程只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，符合题意； 因此，当抛物线方程为时，过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条. 如图所示，对于抛物线，直线与抛物线只有一个公共点， 当直线有斜率时，设直线方程为，联立，得， 由，解得，则直线方程为， 此时方程只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，符合题意； 因此，当抛物线方程为时，过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条； 综上所述，过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条，故C错误，D正确， 故选：ABD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 当直线与轴垂直时， B. 的周长为 C. 的最大值为 D. 的内切圆的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出，可判断A选项；利用椭圆定义可判断B选项；利用基本不等式结合椭圆定义可判断C选项；分析可知，当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，此时，内切圆的半径取最大值，结合圆的面积公式可判断D选项. 【详解】对于椭圆，，，，则， 对于A选项，当直线与轴垂直时，直线的方程为， 将代入椭圆方程可得，解得，此时，，A对； 对于B选项，的周长为，B错； 对于C选项，由椭圆的定义可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最大值为，C对； 对于D选项，设的内切圆的半径为， ， 当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 最大值， 所以的内切圆的半径的最大值， 的内切圆的面积的最大值为，D对. 故选：ACD. 11. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，、分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 若，则 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线有相同的焦点可判断A选项；由椭圆和双曲线的定义、余弦定理化简可判断B选项；在等式两边同时除以，可判断C选项；利用海伦秦九韶公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为椭圆和双曲线有相同的焦点，所以，，A错； 对于B选项，由椭圆的定义， 由双曲线的定义，所以有，， 因为，， 由余弦定理可得， 整理得，所以，，整理可得，B对； 对于C选项，因为，等式两边同时除以可得，C错； 对于D选项，的半周长为， 由海伦秦九韶公式可得 ，D对. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则实数______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得， 故答案为：. 13. 在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系； 由题意，，，，则，， 设平面的法向量， 由，得，令，解得，， 则平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则, 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的两个焦点分别为、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则__________（用含、的式子表示），双曲线的离心率是________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】推导出，利用三角形相似可求出，利用椭圆定义求出，结合勾股定理可得出，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】易知圆心为，圆的半径为，则，， 因为以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，所以，， 因为直线与圆相切，切点为，则， 所以， ，所以，，即，可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 由勾股定理可得，即， 整理可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）配方后得到圆心为，利用x－y+1=0过圆心，求出，进而得到圆的标准方程； （2）根据弦长公式得到圆心到直线的距离，分直线斜率不存在和存在两种情况，进行求解直线的方程 【小问1详解】 配方得：，所以圆心为，因为圆上存在关于x－y+1=0对称的两点，所以x－y+1=0一定经过圆心，即，解得：，所以圆的标准方程为 【小问2详解】 设圆心到直线距离为，由圆的弦长公式得，解得， ①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意； ②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得， 所以直线的方程为； 综上，直线方程为或 16. 如图，已知平面，底面为矩形，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直与矩形的性质，证明线线垂直建立空间直角坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，利用向量的共线，可得答案； （2）由（1）求得平面的法向量与直线的方向向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 在矩形中，，则两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，由为的中点，则， 取，，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 因，所以，则平面. 【小问2详解】 由（1）可得， 取，，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设直线与平面的夹角为， . 17. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点，过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若（O为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）直线或直线 【解析】 【分析】（1）由题意设出椭圆方程，根据顶点坐标以及通径的长度，可得答案； （2）设出点的坐标与直线方程，写出韦达定理，利用分割法求三角形的面积，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，则设椭圆， 由椭圆经过，则，设右焦点，将代入椭圆的方程， 可得，由，可得， 由过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为，则，解得， 所以椭圆. 【小问2详解】 设，， 联立可得，整理可得， ，， 易知与异号， ， 化简可得，分解因式可得，解得， 即，所以直线或直线. 18. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 【答案】（1） （2）存在，，的最小值为13 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解椭圆的右焦点，进而求得抛物线方程； （2）利用抛物线的定义进行转化，根据三点共线解点的坐标，以及的最小值. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的右焦点为，则，， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下： 如图所示，根据抛物线的定义得， 所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为， 联立，解得或（舍去），则点， 此时最小，且最小值， 因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 且的最小值为13. 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的实轴长为4，离心率为2. （1）求双曲线的方程； （2）若，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的右焦点，直线过且与双曲线的右支交于，两点，，分别交直线于，两点. （i）若直线的斜率存在，证明为定值； （ii）若为轴上一动点，当直线的倾斜角变化时，若为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见详解；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长和离心率的值列方程，解得的值，进而得双曲线的标准方程； （2）（i）设出点的坐标，得直线的方程，进而得点的坐标，计算的值，根据计算结果即可证明；（ii）由为钝角可得且，根据平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 由题意知，，解得，又离心率，解得，则， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i） 由（1）知：，，，设点，， 因为直线的斜率存在，且与双曲线的右支交于，两点， 所以设直线的方程为， 联立，消去后，得，， 由韦达定理得，则， 直线的方程为，令，解得，则， 直线方程为，令，解得，则， 所以 ， 因此，为定值. （ii） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线联立得， 设，则，， 则， 因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点， 所以，解得：， 由（i）可知：，，所以，， 因为为钝角，所以，且， 由，得， 所以，即，解得，又，所以或； 当直线的斜率不存在时，将代入双曲线方程可得，不妨设， 此时直线，点P坐标为，同理可得：， 所以，， 因为为钝角，所以，且，解得或； 综上所述，t的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$