精品解析：广东省惠州市联考2024-2025学年上学期教学质量阶段性诊断九年级数学试卷

2024-2025学年秋季教学质量阶段性诊断九年级数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，顺利进入预定轨道，发射取得圆满成功，浩瀚太空首次迎来中国“90后”访客．下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 方程3-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，-4，-2 B. 3，2，-4 C. 3，-2，-4 D. 2，-2，0 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程的基本形式：a+bx+c=0（a、b、c为常数，且a0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 【详解】方程整理得：3x2+2x-4=0， ∴二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为-4， 故选B． 3. 如图，将 绕点 逆时针方向旋转到的位置，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴、正确，不符合题意； 、错误，符合题意； 、正确，不符合题意； 、正确，不符合题意； 故选： ． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握旋转的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位，则变换后的新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可． 【详解】将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后， 得到函数的表达式为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离 是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出 即可． 【详解】解：连接 ，则， 过圆心 点， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出 是解决问题的关键． 6. 如图，是 上的四个点， 是 的直径，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，根据 是 的直径，可得，可求出 的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴， 在 中，， ∵ 与 所对弧相同， ∴， 故选： ． 7. 正十边形的中心角是（ ） A. 18° B. 36° C. 72° D. 144° 【答案】B 【解析】 【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数． 【详解】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36° 故选：B 【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角． 8. 若点，，在抛物线上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的解析式可得其对称轴，则可得点A关于对称轴的对称点，再由二次函数的图象与性质即可得到答案． 【详解】抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点坐标为， ，对称轴为直线， 抛物线的开口向下， 当时，函数值随自变量的增大而减小， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把点A关于对称轴的对称点坐标求出来，使得三点全在抛物线对称轴一侧，从而利用二次函数的增减性质是解题的关键． 9. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系 中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 12. 圆锥底面半径为，高为，求它的侧面积为_____________. 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及勾股定理，利用勾股定理算出圆锥的母线长，再算出底面圆周长，最后根据圆锥的侧面积求解，即可解题． 【详解】解： 圆锥底面半径为，高为， 圆锥的母线长为， 底面圆周长为， 圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 13. 如图，将 绕直角顶点顺时针旋转 ，得，连接，若，则的大小为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先由将 绕直角顶点顺时针旋转 ，得，得，，则，因为，所以，故，即可作答． 【详解】解：∵将 绕直角顶点顺时针旋转 ，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：． 14. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位： ）关于行驶时间 t（单位： ）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 15. 如图，二次函数 的图象与正比例函数的图象相交于 ， 两点，已知点 的横坐标为，点 的横坐标为 ，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；；关于 的方程的两根为，．其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质；解决本题的关键是根据二次函数的开口方向、对称轴可得、、，所以可得；根据抛物线与直线的交点可以判断有两个不相等的实数根，从而可得；根据抛物线与 轴正半轴交点的位置可以判断当时， 的取值范围，从而得到，根据二次函数与一次函数交点的横坐标确定方程的两根． 【详解】解： 抛物线开口向上， ， 抛物线与 轴的交点在负半轴， ， 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 二次函数与正比例函数有两个交点， 有两个不相等的实数根，且两根为，， 整理方程可得：， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，， 可得：， ， 由可得：， ， 由可得：， ， 故错误； 从图象上可以看出抛物线与 轴正半轴的交点在 和 之间， 当时，抛物线上对应的点在 轴的下方， 当时，， 故正确； 二次函数与正比例函数有两个交点， 且两个交点的横坐标分别为和 ， 有两个不相等的实数根，且两根为，， 故正确． 综上所述：正确的有． 故答案为： ． 三、解答题（共3小题，第16题8分,第17题6分，第18题7分,共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为． （1）画出 关于原点成中心对称的，并写出点的坐标． （2）画出将绕点按顺时针旋转90°所得的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； 【小问1详解】 如图，即为所求．． 【小问2详解】 如图，即为所求． 18. 已知关于 的一元二次方程． （1）若该方程有一个实数根为3，求 的值； （2）求证：该方程总有两个实数根． 【答案】（1）5 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）将代入原方程求解，或者利用一元二次方程的根与系数的关系，列出二元一次方程组，即可求解． （2）由，可知，，，根据，证明即可． 【小问1详解】 解法一：将代入中得： 解得：，即 的值为5． 解法二：设另一根是，则由一元二次方程的根与系数的关系可得： ， 解得：， 故m的值是5． 【小问2详解】 证明：， ，，， ∴， ∴该方程总有两个实数根； 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为 元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可，再求降价即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为 元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴降价了元， 答：该款吉祥物降价元8元时，月销售利润达8400元． 20. 如图，在 中， ，点D，E，F分别是边 ， ， 上的点，以 为直径的半圆O经过点E，F，且 平分． （1）求证： 是半圆O的切线； （2）若 ，，求 的长． 【答案】（1）证明：连接 ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 是半圆 的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接 ，证明得到即可得到证明； （2）连接，先证得到，结合角所对直角边等于斜边一半得到 ， 即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ，， ， ， ， ， ∵ 是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ， ， ； 【点睛】本题考查切线的证明，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到，． 21. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即． 所以，所以当时，有最小值 ． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若代数式，试求N的最大值． 【答案】（1） （2），2 （3）17 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）先对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， 其中，， 的最小值是2； 故答案为：2． 【小问3详解】 解： ， 的最大值是17． 【点睛】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键. 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知 和 都是等边三角形，连接 ， ．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知 和 都是等边三角形，将 绕点A旋转一定的角度．当点D在 的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知 和 都是等边三角形．当点D在射线 上时，过点E作 于点F．直接写出线段 ， 与 之间存在的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得， ，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得， ，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得， ，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形， ∴， ，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵ 和 都是等边三角形， ∴， ，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵ 和 都是等边三角形， ∴， ，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 23. 如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C． （1）求b，c的值． （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由． （3）如图2，点E为线段 上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于 的直线交于点F，当 面积取得最小值时，求点E坐标． 【答案】（1） （2）存在，点P坐标为，的面积最大值是 （3） 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可求出； （2）由（1）得到抛物线的解析式为，求出点，设点，，连接，作轴交 于M，利用待定系数法求出直线 的解析式为，则，得到，得到，从而可求出的面积最大值及点P的坐标； （3）连接，证明，则， 是等腰直角三角形，当 最小时， 面积取得最小值.由点E在线段 上，则当 时， 最小. 此时点E是 中点，由中点坐标公式即可得到点E坐标． 【小问1详解】 将，两点坐标代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 存在．理由如下： 由（1）得到抛物线的解析式为， 当 时， ∴点， 设点，， 连接，作轴交 于M， 设直线 的解析式为， 由，可得 , 解得， ∴直线 的解析式为，则， ， ∵， 当时， ∴的面积最大值为； 当时，， ∴点P坐标为； 【小问3详解】 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∴当 最小时， 面积取得最小值. ∵点E在线段 上， ∴当 时， 最小. ∵ 是等腰直角三角形， ∴此时点E是 中点， ∵，， ∴. 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、圆周角定理、待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年秋季教学质量阶段性诊断九年级数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，顺利进入预定轨道，发射取得圆满成功，浩瀚太空首次迎来中国“90后”访客．下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程3-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，-4，-2 B. 3，2，-4 C. 3，-2，-4 D. 2，-2，0 3. 如图，将 绕点 逆时针方向旋转到的位置，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位，则变换后的新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离 是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，是 上的四个点， 是 的直径，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 正十边形的中心角是（ ） A. 18° B. 36° C. 72° D. 144° 8. 若点，，在抛物线上，则（　　） A. B. C. D. 9. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系 中，点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 圆锥底面半径为，高为，求它的侧面积为_____________. 13. 如图，将绕直角顶点 顺时针旋转 ，得，连接，若，则的大小为________． 14. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位： ）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 15. 如图，二次函数 的图象与正比例函数的图象相交于 ， 两点，已知点 的横坐标为，点 的横坐标为 ，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；；关于 的方程的两根为，．其中正确的是______．（只填写序号） 三、解答题（共3小题，第16题8分,第17题6分，第18题7分,共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为． （1）画出 关于原点成中心对称的，并写出点的坐标． （2）画出将绕点按顺时针旋转90°所得的． 18. 已知关于 的一元二次方程． （1）若该方程有一个实数根为3，求 的值； （2）求证：该方程总有两个实数根． 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 20. 如图，在中， ，点D，E，F分别是边 ， ， 上的点，以 为直径的半圆O经过点E，F，且 平分 ． （1）求证： 是半圆O的切线； （2）若 ，，求 的长． 21. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即． 所以，所以当时，有最小值 ． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若代数式，试求N的最大值． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知 和 都是等边三角形，连接 ， ．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知 和 都是等边三角形，将 绕点A旋转一定的角度．当点D在 的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知 和 都是等边三角形．当点D在射线 上时，过点E作 于点F．直接写出线段 ， 与之间存在的数量关系． 23. 如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C． （1）求b，c的值． （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由． （3）如图2，点E为线段 上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于 的直线交于点F，当 面积取得最小值时，求点E坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $