精品解析：江苏南京第四中学集团校2024—-2025学年上学期12月月考八年级数学试卷

第四中学集团校2024-2025学年度第一学期联合质量检测 八年级数学试卷 时间：100分钟 总分：120分 友情提醒：考生须将试卷所有答案答到答题纸上，答在试卷上无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 在下面四个图标（图像）中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键． 根据算术平方根的性质可以运算得到正确答案． 【详解】解：，． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点所在的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点坐标，由点再根据平面直角坐标系中点的坐标特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】∵点的坐标为， ∴根据平面直角坐标系特点，点在第一象限， 故选：． 4. 在，，，，，0中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根和无理数的概念，解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数． 先计算，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】， 所以在，，，，，0中， 其中无理数有，，共2个． 故选：B． 5. 若等腰三角形两边长为3和7，则这个三角形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为7时，周长=7+7+3=17； 当腰长为3时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为7，这个三角形的周长是17． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6. 如图，已知圆柱高为，底面圆的周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处吃食，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将立体几何展开，可知最短路径，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，圆柱的侧面展开图如图所示， ∴从点爬到点处吃食，爬行的最短路程是的长， ∵，，点分别是的中点， ∴在中，， ∴最短路程是， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，立体几何图形的展开图，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的是解题的关键． 7. 在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵点在第二象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4， ∴点的横坐标是，纵坐标是3， ∴点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 8. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； B、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； C、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； D、的值与的值一一对应，是函数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 9. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 10. 已知，在平面直角坐标系中，点在第_______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，掌握平面直角坐标系中点的特点是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点在象限中的符号“第一象限点，第二象限点，第三象限点，第四象限点”进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴点在第二象限， 故答案为：二 ． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 12. 已知三边的长分别为3，5，7，三边的长分别为3，7，，若这两个三角形全等，则 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等的性质列式计算即可． 【详解】解：∵与全等， ∴，解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键． 13. 若直线轴，且线段，则点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】AB//x轴，说明A，B的纵坐标相等为1，再根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵AB//x轴，点A坐标为(2，1)， ∴A，B的纵坐标相等为1， 设点B的横坐标为x，则有， 解得：x=4或0， ∴点B的坐标为(4，1)或(0，1)． 故答案为：(4，1)或(0，1)． 【点睛】本题主要考查了平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等．注意所求的点的位置有两种情况，不要漏解． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________． 【答案】2cm 【解析】 【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可． 【详解】连接AM，AN， ∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30° ∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM=AN=MN， ∴BM=MN=NC， ∵BC=6cm， ∴MN=2cm． 故答案为：2cm． 【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 15. 图书馆现有1500本图书供学生借阅，如果每个学生一次借3本，则剩下的数y（本）和借书学生人数x（人）之间的函数关系式是_____________. 【答案】y=1500-3x 【解析】 【分析】由题知借走了3x本，则剩下1500-3x本，写出函数关系式即可. 【详解】由题知借走了3x本，则剩下1500-3x本，则剩下的数y（本）和借书学生人数x（人）之间的函数关系式是y=1500-3x. 【点睛】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意是解题关键． 16. 如图，长方形中，，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_______． 【答案】2或32 【解析】 【分析】分两种情况：点在线段上，点在延长线上，然后分别根据折叠的性质和勾股定理得出答案即可． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； 如图2，当点在延长线上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴． 综上所述，的长为2或32 故答案为：2或32． 【点睛】此题考查翻折的性质，三角形全等的性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共计72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 计算； （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根，实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根化简，求立方根的计算化简，再运用有理数的加减运算计算即可； （2）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求出下列x的值． （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根．掌握一个正数的平方根有两个是解题的关键，不要漏解． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解得或； 【小问2详解】 解得． 19. 已知点，解答下列各题 （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且到x轴，y轴距离相等，求的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标特点与图形； （1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案； （2）根据点P到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，由点在第二象限，得出解方程求出，再代入求值可得． x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；点在象限注意横纵坐标的符号，利用到轴、轴的距离相等构造方程是解题关键． 【小问1详解】 解：∵点在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标； 【小问2详解】 解：∵点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴． 20. 如图，在中，为边上的中线，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】倍长中线，即延长至点E，使得，连接．证明，得到，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即，从而，得证． 【详解】证明：如图，延长至点E，使得，连接， ∵为边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形全等的证明，“倍长中线”是解题常用的方法． 21. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2． （1）直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )； （2）求三角形面积； （3）点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标． 【答案】（1）4，0，0，3，2， （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据图像可得结果； （2）利用割补法计算即可； （3）利用三角形的面积，得到，从而求出，结合点A坐标即可得解． 【小问1详解】 解：由图可知：，，； 【小问2详解】 三角形的面积为：； 【小问3详解】 ∵三角形的面积为7， ∴， 即， 解得：， ∴，即点D的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法． 22. 如图，，垂足为，垂足为．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在和中 ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 23. 如图，正方形的边在数轴上，数轴上点B表示的数为，正方形的面积为16．图中阴影部分为正方形． （1）数轴上点A表示的数为___________； （2）求图中阴影部分的面积是多少？ （3）阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长． 【答案】（1） （2）10 （3），在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知，由图可知点A在点B左侧，进而可知点表示的数为； （2）用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可求解； （3）由阴影部分的面积即可求得边长，以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积为16， ∴， ∵数轴上点B表示数为，由图可知点A在点B左侧， ∴点表示的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图中阴影部分的面积； 【小问3详解】 解：∵图中阴影部分的面积10， ∴阴影部分正方形的边长是， 以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点，如图所示，该点即为所求． 【点睛】本题考查在数轴上表示数，在数轴表示无理数的点，掌握无理数在数轴的表示方法是解决问题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的“等距点”的是　　； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　　； （2）若两点为“等距点”，求k的值． 【答案】（1）①E、F；② （2）1或2 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可； ②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【小问1详解】 ①点到x、y轴的距离中最大值为3， 与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E、F；②； 【小问2详解】 两点为“等距点”， ①若时，则或 解得（舍去）或． ②若时，则 解得或（舍去）． 根据“等距点”的定义知，或符合题意． 即k的值是1或2． 25. 回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了全等三角形综合、勾股定理以及三角形的三边关系，直角三角形的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四中学集团校2024-2025学年度第一学期联合质量检测 八年级数学试卷 时间：100分钟 总分：120分 友情提醒：考生须将试卷所有答案答到答题纸上，答在试卷上无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 在下面四个图标（图像）中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. 3 C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点所在的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在，，，，，0中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若等腰三角形的两边长为3和7，则这个三角形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 17 D. 13或17 6. 如图，已知圆柱高为，底面圆的周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处吃食，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 下列曲线中能表示是函数的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 9. 25的平方根是_____． 10. 已知，在平面直角坐标系中，点在第_______象限． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 已知三边的长分别为3，5，7，三边的长分别为3，7，，若这两个三角形全等，则 ______． 13. 若直线轴，且线段，则点的坐标是______． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________． 15. 图书馆现有1500本图书供学生借阅，如果每个学生一次借3本，则剩下数y（本）和借书学生人数x（人）之间的函数关系式是_____________. 16. 如图，长方形中，，，．点E为射线上一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共计72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 计算； （1）； （2）． 18. 求出下列x值． （1） （2） 19. 已知点，解答下列各题 （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，求的值． 20. 如图，在中，为边上的中线，，，，求证：． 21. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2． （1）直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )； （2）求三角形的面积； （3）点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标． 22. 如图，，垂足为，垂足为．求证： （1）； （2）． 23. 如图，正方形的边在数轴上，数轴上点B表示的数为，正方形的面积为16．图中阴影部分为正方形． （1）数轴上点A表示的数为___________； （2）求图中阴影部分的面积是多少？ （3）阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长． 24. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A“等距点”的是　　； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　　； （2）若两点为“等距点”，求k的值． 25. 回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$