第一单元 2.长方体和正方体的表面积

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 长方体和正方体 2. 长方体和正方体的表面积 正方体的展开图 一、基础知识讲解 1.正方体的展开图。 拿一个正方体的纸盒，先在正方体纸盒的各个面上分别用“上”“下”“左” “右”“前”“后”标明，再把正方体纸盒分别沿棱剪开，展开后得到下面的形 状。 （一）正方体的展开图 （二）长方体的展开图 （三）长方体表面积的计算 （四）长方体表面积的应用 （五）正方体表面积的计算 （六）正方体表面积的应用 （七）立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2.正方体的展开图形状。 （1）“1-4-1 型”，中间一行 4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共 有 6种基本图形。 （2）“1-3-2 型”，中间 3个作侧面，共 3种基本图形。 （3）“2-2-2 型”，两行只能有 1个正方形相连。 （4）“3-3 型”，两行只能有 1个正方形相连。 注意：当 1-3-2 型、2-2-2 型时不能出现田字形。 二、考法技法提炼 考法：判断或画出正方体的展开图。 解题方法：根据正方体展开图的特点，“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2” 型、“3-3”型可以围成正方体；据此解答。 例题：下面图形中能拼成正方体的有（ ）个。 A.4 B.3 C.2 D.1 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【答案】B 【分析】能拼成正方体的图形有四种类型：“1-4-1”型，有 6种，即中间 4个小正方形相连，两侧各一个小正方形；“2-3-1”型有 3种，2个正方形与 3 个正方形相邻成两排，剩下一个在另一排；“2-2-2”有 1种，即 3组 2个正方 形相连，错位一格；“3-3”型 1种，2组三个正方形相连，对齐一个。据此可 得出答案。 【详解】第一个图形符合“1-4-1”型，能拼成正方体；第二个图形符合“1-4-1” 型，能拼成正方体；第三个图形中出现“凹”形状，不能拼成正方体；第四个图 形符合“2-3-1”型，能拼成正方体。即能拼成正方体的图形有 3个。 故答案为：B。 【点睛】本题主要考查的是正方体的展开图，解题的关键是熟练掌握正方体 展开图的 11 种图形，进而判断得出答案。 三、易错提示 易错点：对正方体的展开图理解错误。 易错诠释：根据正方体 11 中展开图进行分析，是正方体 11 种展开图里的就 可以围成一个正方体。 例题：判断： 将左图折叠后可以围成一个正方体，1和 3、4 和 5、2和 6分别是相对的面。（ ） 【答案】× 【分析】在想象中，先试图将展开图还原，判断能否还原成一个正方体，从 而解题。 【详解】 折叠后不能围成一个正方体，原说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题考查了正方体的展开图，有一定空间想象力是解题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 长方体的展开图 一、基础知识讲解 长方体的展开图。 长方体有 6个面，它们分别是上面、下面、前面、后面、左面和右面，如下 图。每个长方体都有 3组相对的面。 整体观察：把长方体放在一个平面上，从任何角度观察，最多能同时看到三 个面。 部分观察：每个面的形状都是长方形，如图一；但有的长方体有 2个相对的 面是正方形，其余的 4个面都是长方形，如图二。 先把长方体的盒子沿它的某些棱剪开，再展开成一个平面图，如下图。 6个面都是长方形的长方体 有 2个面是正方形的长方体 注意：沿着不同的棱展开，所得到的平面图也不一样，可以有多种形状的平 面图。 二、考法技法提炼 考法 1：根据长方体展开图的特征，组成长方体。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 解题方法：每个长方体都有 3组相对的面，分别是上面和下面，前面和后面， 左面和右面，它们两两形状相同，大小相等。 例题 1：在下面的 8个面中找出 6个面，使它们能组成长方体，这 6个面的 编号分别是（ ）。 【答案】①⑥④⑦②⑧ 【分析】长方体中：长 4条棱相等，宽 4条棱相等，高 4条棱相等。长方体 的面也是两两相等，由此即可判断。 【详解】由分析可得：在下面的 8个面中找出 6个面，使它们能组成长方体， 这 6个面的编号分别是①⑥④⑦②⑧。 【点睛】本题考查对长方体展开图的运用，以及对长方体展开图特点的掌握。 考法 2：画出长方体的展开图或补充长方体展开图。 解题方法：合理运用长方体表面 6个面的特征进行画展开图。 例题 2：请补充长方体展开图的另外两个面，并标出这两个面的相关数据。 【答案】见详解。 【分析】长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图的特征是对面是相同的 长方形，据此画图即可。 【详解】如图： 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【点睛】此题主要是考查长方体展开图的特征。 三、易错提示 易错点：错误分析长方体的展开图。 易错诠释：根据长方体的特征，长方体的 6个面都是长方形（同时特殊情况 有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 例题：选择：下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，长方体的 6个面都是长方形（同时情况有两个 相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】A.根据长方体展开图的特征可知： 沿虚线折叠后能围 成长方体；B. 不符合长方体展开图的特征，所以不能围成长方体； C. 沿虚线折叠后能围成长方体；D. 沿虚线折叠后能围 成长方体。故答案为：B。 【点睛】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 长方体表面积的计算 一、基础知识讲解 1. 长方体的表面积 名称 展开图 概念 计算方法 长方体的表面积 长方体 6 个 面 的 面 积 之 和。 长方体的表面积=长× 宽×2+长×高×2+宽 ×高×2=（长×宽+长 ×高+宽×高）×2 S=2ab+2ah+2bh=2 （ab+ah+bh） 2. 探究长方体表面积的计算公式 (1) 方法一： 因为长方体相对的两个面的面积相等，所以可以一对一对地算。先分别求出相对 的两个面的面积和，再将三组相对的面的面积和相加，即： 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 （2）方法二： 将长方体的 6个面分成面积和相等的两组（如下图），先求出相邻 3个面的面积， 相加后再乘 2。 长方体的表面积=（下面的面积+前面的面积+右面的面积）×2 把长方体的六个面分成三组：前、后面；上、下面；左、右面 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 如果用 S，a，b，h分别表示长方体的表面积、长、宽、高，那么 S=2ab+2ah+2bh= 2（ab+ah+bh） 二、考法技法提炼 考法： 求长方体的表面积 解题方法：已知长方体的长、宽、高，求它的表面积。 例题：求下面图形的表面积。 【答案】166cm 2 【分析】长方体的表面积是 6 个面的面积和，先求长方体下面、前面、右面 3 个面的面积，相加后再乘 2，就是这个图形的表面积。 【详解】（7×4+7×5+4×5）×2=166（cm 2 ） 【点睛】熟练掌握长方体表面积的计算公式，是解决这类题的关键。 三、易错提示 易错点：根据长方体展开图不能确定长、宽、高，导致求表面积出错。 易错诠释：求长方体的表面积要找准它的长、宽、高，再利用公式求出表面积。 例题：下面是一个长方体纸盒的平面展开图，这个纸盒的表面积是多少平方分 米？ 【答案】126dm 2 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【分析】先从长方体的平面展开图中确定这个长方体纸盒的长为 5dm，宽为 3dm， 高为 6dm，然后根据“长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2”求出这 个纸盒的表面积。 【详解】（5×3+5×6+3×6）×2=126（dm 2 ） 【点睛】求长方体的表面积要确定好它的长、宽、高。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 长方体表面积的应用 一、基础知识讲解 1. 灵活运用长方体表面积的计算公式 在实际生活中，长方体包装箱有 6个面，长方体水池、鱼缸只有 5个面，长方体 烟囱、通风管只有 4个面……因此在计算这些物体的用料面积时，一定要根据实 际情况分析。 2. 利用长方体表面的计算公式解决生活中的实际问题 做一个微波炉的包装箱（如图），至少要用多少平方米的硬纸板？ 这个微波炉的包装箱是个长方体，长为 0.7m，宽为 0.5m， 高为 0.4m，求硬纸板的面积就是求这个长方体的表面积。 根据“长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2”，列式为： （0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4）×2=1.66（m 2 ） 即至少要用 1.66m 2 的硬纸板。 二、考法技法提炼 考法：联系生活实际，利用长方体表面积公式解决用料问题 解题方法：在运用长方体表面积公式解决实际问题时，要根据实际情况确定要求 的是立体图形的哪个面或哪几个面的面积。 例题：要做一个无盖的长方体木箱，要求这个木箱长 2.4m，宽 0.9m，高 0.5m。 做这个木箱至少需要多少平方米木板？ 【答案】5.46m 2 【分析】因为这个长方体木箱无盖，即没有上面，要求做这个木箱至少需要木板 的面积就是求长方体木箱前、后、左、右和下面的底面积之和。 【详解】2.4×0.5×2+0.9×0.5×2+2.4×0.9=5.46（m 2 ） 答：做这个木箱至少需要 5.46m 2 木板。 【点睛】解决这类题，要根据实际情况选取所需面，仔细审题是关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 三、易错提示 易错点：忘记减去表面积中多余的部分 易错诠释：计算在水池中贴瓷砖的面积除了要考虑计算几个面的面积和之外，还 要减去面积中多余的部分。 例题：一个长方体游泳池，长 50 米，宽 25 米，深 1.5 米，游泳池的四周所有进 水管和排水管的横截面面积一共是 0.45 平方米。现在在游泳池的四周贴上瓷砖， 贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】224.55m 2 【分析】从此题中知道要在游泳池的四周贴上瓷砖，要求贴瓷砖的面积，就是求 这个长方体游泳池前、后和左、右四个面的面积，还要减去所有进水管和排水管 的横截面面积。 【详解】50×1.5×2+25×1.5×2-0.45=224.55（m 2 ） 答：贴瓷砖的面积是 224.55m 2 。 【点睛】解决贴瓷砖、刷墙等面积问题时，不要忘记减去表面积中多余的部分。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 正方体表面积的计算 一、基础知识讲解 1. 正方体的表面积 名称 图形 概念 计算方法 正方体的表面积 正方体 6 个面的面积之 和。 正方体的表面积=棱长 ×棱长×6 S=6a 2 2. 探究正方体的表面积计算公式 如果用字母 S、a分别表示正方体的表面积、棱长，那么正方体表面积字母公式 为：S=6a 2 二、考法技法提炼 考法：求正方体的表面积 解题方法：已知正方体的棱长，求它的表面积。 例题：求下面图形的表面积。 【答案】96cm 2 【分析】此图形是正方体，正方体的表面积就是 6个面的总面积，先求出一个面 的面积，再乘 6，就是它的表面积。 正方体的 6 个面是完 全相同的正方形 正方体的表面积=一个 面的面积×6 一个面的面积=棱长×棱长 正方体的表面积=棱长 ×棱长×6 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【详解】4×4×6=96（cm 2 ） 【点睛】熟练掌握正方体表面积的计算公式，是解决这类题的关键。 三、易错提示 易错点： 误认为正方体的表面积扩大的倍数和棱长扩大的倍数相同。 易错诠释： 正方体表面积扩大的倍数和棱长扩大的倍数不相同，棱长扩大几倍， 表面积就扩大几的平方倍。 例题：判断：正方体的棱长扩大到原来的 2倍，表面积也扩大到原来的 2倍。（ ） 【答案】× 【分析】此题可以用举例子的方法，先求出原来正方体的表面积，再求出扩大后 正方体的表面，然后进行比较，再作出判断即可。 【详解】假设原来正方体的棱长为 1cm，它的表面积为 1×1×6=6（cm 2 ）； 扩大后正方体的棱长为 1×2=2（cm），它的表面积为 2×2×6=24（cm 2 ）； 由此可知表面积扩大到原来的 4倍； 故答案为×。 【点睛】正方体棱长扩大到原来的 n 倍，它的表面积就扩大到原来 n 2 倍。掌握 此规律，是解决这类题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 正方体表面积的应用 一、基础知识讲解 1. 在实际生活中，并不是所有的正方体物体都有 6个面，在求这些物体的表面 积时，一定要根据实际情况解答。 2.利用正方体表面积公式解决问题 一个正方体墨水盒，棱长为 6.5cm，制作这个墨水盒至少需要多少平方厘米的硬 纸板？ 要求制作这个墨水盒至少需要硬纸板的面积，就是求正方体 6个面的面积，也就 是求正方体的表面积，根据公式“正方体的表面积=棱长×棱长×6”求得即可。 列式为：6.5×6.5×6=253.5（cm 2 ） 二、考法技法提炼 考法 1：利用正方体表面积公式解决贴包装纸的问题。 解题方法：先确定求正方体几个面的面积，再用一个面的面积乘几。 例题 1：小红有一个正方体积木，它的棱长是 1.5dm，小红想在积木的四周贴上 彩纸（上、下面不贴），需要贴多少平方分米的彩纸？ 【答案】9dm 2 【分析】在积木四周贴彩纸，就是求正方体 4个面的面积，先求出一个面的面积， 再乘 4即可。 【详解】1.5×1.5×4=9（dm 2 ） 答：需要贴 9dm 2 的彩纸。 【点睛】弄清题意，灵活运用公式。 考法 2：已知正方体表面积，求一个面的面积。 解题方法：这类题是正方体表面积公式的反用，即正方体一个面的面积=表面积 ÷6。 例题 1：一个正方体魔方的表面积是 72cm 2 ，它的一个面的面积是（ ）cm 2 。 【答案】12 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 【分析】根据“正方体表面积=棱长×棱长×6”，可推导出“棱长×棱长=表面 积÷6”，因为棱长×棱长=正方体一个面的面积，所以正方体一个面的面积=表 面积÷6。 【详解】72÷6=12（cm 2 ），故答案为 12。 【点睛】熟练并灵活运用正方体表面积公式是解决这类题的关键。 三、易错提示 易错点：在具体情境中表面积计算错误。 易错诠释：考虑问题要全面，要看清楚到底是求正方体几个面的面积，灵活运用 表面积公式。 例题：一个无盖的玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是 4dm，制作这个鱼缸至少需 要多大面积的玻璃？ 【答案】80dm 2 【分析】解答这道题要考虑“无盖”这个条件，求制作鱼缸需要玻璃的面积，也 就是求正方体 5个面的面积，先求出一个面的面积，再乘 5即可。 【详解】4×4×5=80（dm 2 ） 答：制作这个鱼缸至少需要 80dm 2 。 【点睛】在具体的情境中，求正方体的表面积时，一定要注意是否求全部的 6 个面的面积。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 一、基础知识讲解 1. 长方体、正方体的切拼规律 （1）切割规律：把长方体（或正方体）切割成两部分，切割后长方体（或正方 体）的总表面积会增加，增加的表面积等于切面面积的 2倍。 （2）拼接规律：把两个相同的长方体（或正方体）拼接成一个长方体，拼接后 的长方体的表面积会减少，减少的表面积等于拼接面面积的 2倍。 2. 探究长方体（或正方体）的切割规律 把一个长方体按下图切割成 2个完全相同的正方体，切割后这两个正方体的表面 积之和与原长方体的表面积相等吗？你发现了什么？ 观察上图可发现，切完后，增加了两个切面，所以两个正方体的总表面积大于原 来长方体的表面积，而且增加的表面积等于切面面积乘 2，也就是增加的表面积 等于切面面积的 2倍。 二、考法技法提炼 考法 1：用图示法解决长方体（或正方体）的切割问题。 解题方法： 例题 1：把下面的长方体木块分成两个棱长为 4cm 的正方体，表面积增加了（ ） cm 2 。 【答案】32 【分析】根据题意可画图（如下图），在长方体长的中点位置处沿着平行于右面 的方向切开，就分成两个棱长为 4cm 的正方体。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 由图可知，增加的每个切面的面积都与长方体左（或右）侧面的面积相等，因此 增加的表面积就是两个左（或右）侧面的面积。 【详解】4×4×2=32（cm 2 ） 【点睛】熟练掌握长方体（或正方体）的切割规律，是解决这类题的关键。 考法 2： 运用列举法探究长方体（或正方体）的拼接问题 解题方法：掌握拼接规律解决此类问题：要使拼成的长方体表面积最大，只需把 两个长方体的最小面拼接在一起；要使拼成的长方体表面积最小，只需把两个长 方体的最大面拼接在一起。 例题 1：把两个长 8厘米，宽 4厘米，高 6厘米的长方体拼成一个大长方体，这 个长方体的的表面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？ 【答案】368cm 2 320cm 2 【分析】两个长方体拼成一个大长方体有以下三种拼法。（如下图） 比较可知：不管怎么拼，每拼一次，表面积都会减少 2个面的面积。将两个相同 的长方体的最小面拼接在一次，拼成的长方体表面积最大；将两个相同的长方体 的最大面拼接在一起，拼成的长方体表面积最小。 【详解】表面积最大：（8×6+8×4+6×4）×2×2-6×4×2=368（cm 2 ） 表面积最小：（8×6+8×4+6×4）×2×2-8×6×2=320（cm 2 ） 答：这个长方体的表面积最大是 368cm 2 ，最小是 320cm 2 。 【点睛】要想使拼接的表面积最大（或最小），掌握拼接方法是关键。 三、易错提示 易错点：拼接后图形的表面积计算错误。 易错诠释：忽略了小正方体拼成大长方体后，有两个面消失了，不能简单地用两 个小正方体的表面积之和作为拼成大长方体后的表面积。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 例题 1：判断：两个小正方体拼成一个大长方体后，长方体的表面积就是两个正 方体的表面积之和。（ ） 【答案】× 【分析】拼接后表面积减少了 2个面的面积，要用原来两个正方体的表面积之和 减去两个拼接面的面积。 【详解】长方体的表面积=原来两个正方体的表面积之和-两个拼接面的面积，故 答案是×。 【点睛】熟练掌握拼接规律，拼接后的图形表面积比原来几个图形的表面积之和 小。 橙 子 学