复习专题08 分式方程与实际应用（3重点+7考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题08 分式方程与实际应用 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 分式方程 1.定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的特征 ①含有分母;②分中含有未知数;③方程 注意：方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别.分母中含有字母的方程未必是分式方程.例如：虽然分母中含有字母，但是字母不是未知数，因此此方程为整式方程，不是分式方程. 知识点2 分式方程的解法 1.基本思想（转化思想） 先把分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,然后验根，从而确定分式方程的解.简记为：一化，二解，三检验. 2.解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母：方程两边同乘最简公分母,把分式方程化为整式方程 注意：同乘最简公分母的依据是等式的性质2. (2)解整式方程 去括号、移项、合并同类项等 (3)检验（验根） 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为 0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解. 注意： (1)同乘最简公分母的依据是等式的性质2. (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时,不要漏乘不含分母的项. (2)解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤. 知识点3 分式方程的增根 1.增根 在分式方程变形时,有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根 2.解分式方程产生增根的原因 我们在将分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的式子,这个式子有可能为零.如果为零,那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解,它是原分式方程的增根. 2.验根的方法 方法1：把求得的未知数的值代入原方程进行检验，验根的同时还可以检查解方程时有无计算错误. 方法2：把求得的未知数的值代入最简公分母，看最简公分母的值是否等于零,若不为零,则是原分式方程的根;若为零,则是原分式方程的增根,应舍去. 考点剖析 【考点1 分式方程的定义】 解题技巧总结 判断一个方程是否为分式方程，关键是看分母中是否含有未知数(也可以看方程中是否含有关于未知数的分式)，而不是看分母中是否含有字母. 1．（21-22七年级上·上海金山·期末）下列关于的方程中， 不是分式方程的是 （　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【考点2 解分式方程】 解题技巧提炼 (1)解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化为整式方程.(2)分式方程去分母时，一定不能漏乘不含分母的项(3)解出未知数的值后必须检验. 4．（24-25七年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）解分式方程 (1)； (2)． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 8．（23-24七年级上·上海·期末）解方程：． 9．（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 10．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【考点3 根据分式方程解的情况求值】 解题技巧提炼 利用增根求字母参数的一般步骤 第1步:去分母,将分式方程转化为整式方程； 第2步:找出增根,即使最简公分母为0的x的值; 第3步:将增根代入整式方程,求出字母参数的值. 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·上海·期末）如果方程有增根，那么 ． 13．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 14．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【考点4 分式方程无解问题】 易混易错提醒 分式方程无解不等同于最简公分母的值为0，分式方程无解可能有两种情况: (1)求出的x的值是分式方程转化成整式方程的解,但这个解使最简公分母的值为0; 2)所化成的整式方程无解,这往往是由于未知数的系数含有待定字母造成的，这种情况在解题时不要忽略. 16．（22-23九年级下·全国·期末）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 18．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 【考点5 分式应用之列分式方程】 20．（23-24七年级上·上海·期末）寒风乍起，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有x人，则可列方程为（    ） A．； B．； C．； D．． 22．（21-22七年级上·上海金山·期末）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，所列的分式方程正确的是：（　　） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·上海长宁·期末）某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程 ． 24．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【考点6 分式应用之行程问题】 25．（23-24七年级上·上海青浦·期末）一辆汽车在相距180千米的两地来回行驶，回来时平均车速比去时增加了20%，结果时间缩短了30分钟．问这辆汽车去时平均每小时行驶多少千米？ 26．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早半小时到达乙地，求两辆车的速度． 27．A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ． 28．（21-22七年级上·上海普陀·期末）2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？ 29．（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 30．小丽乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高50%，因此能比路线一节省10分钟到达．那么选走路线二去体育场需要多少时间? 【考点7 分式应用之工程问题】 31．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）小明、小丽共同打印一份文件，小明共打个字，比小丽少打了，已知小丽的工作效率比小明高，完成时间比小明少5分钟，问他俩各花多少时间完成任务？ 32．（21-22七年级上·上海普陀·期末）为保证民众的安全，某小区决定对全体小区居民进行核酸检测，该小区需采集样本共9000份，原计划下午17点到18点进行采样，为了早一步完成采样工作，现将延长采样时间，实际每天采集样本份数是原来的2倍，从而提前3天完成采样任务，问实际每天采集样本多少份？ 33．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的倍，从而提前天完成任务 （1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？ （2）如果该企业按原计划的工作效率加工了个口罩后，才将效率提高到原来的倍，则该企业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有的代数式表示：为大于零的整数） 【考点8 分式应用之销售盈亏问题】 34．（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 35．（22-23七年级上·上海青浦·期末）某书店经销一种图书，11月份的销售额为2000元，为扩大销售量，12月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加20本，销售额增加700元． (1)求书店11月份该图书的售价； (2)若11月份书店销售该图书获利元，那么该图书每本成本______元（用含的代数式表示）． 36．（22-23七年级上·上海青浦·期末）某书店用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购进甲种图书的数量比用1400元购进乙种图书的数量少10本． (1)甲乙两种图书的销售单价分别是多少元？ (2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部售完） 37．某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？ 【考点9 分式应用之水电费问题】 38．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 39．（21-22七年级上·上海浦东新·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案．为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的1.5倍．已知某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元．求：调整后每度电的价格． 【考点7 分式应用之配套问题】 40．甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，两队分别每天安装几台空调？ 41．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？ 过关检测 1．（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）解方程： ． 4．（23-24七年级上·上海宝山·期末）解方程：． 5．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于x的方程有增根，求a的值． 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 8．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打25个字，小丽打300个字的时间与小明打200个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ． 9．（22-23八年级下·江西景德镇·期末）周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍，用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆．求每辆型自行车的价格．甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为 (1)甲同学所列方程中的表示__________，乙同学所列方程中的表示__________． (2)选择甲同学或乙同学的方法解答这个问题． 10．（23-24七年级上·上海青浦·期末）一辆汽车在相距180千米的两地来回行驶，回来时平均车速比去时增加了20%，结果时间缩短了30分钟．问这辆汽车去时平均每小时行驶多少千米？ 11．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 12．（22-23七年级上·上海·期末）学校组织学生到距离为千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达，如果大巴士的平均速度是自行车平均速度的倍，问：大巴士与自行车的平均速度分别是每小时多少千米？ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 分式方程与实际应用 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 分式方程 1.定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的特征 ①含有分母;②分中含有未知数;③方程 注意：方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别.分母中含有字母的方程未必是分式方程.例如：虽然分母中含有字母，但是字母不是未知数，因此此方程为整式方程，不是分式方程. 知识点2 分式方程的解法 1.基本思想（转化思想） 先把分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,然后验根，从而确定分式方程的解.简记为：一化，二解，三检验. 2.解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母：方程两边同乘最简公分母,把分式方程化为整式方程 注意：同乘最简公分母的依据是等式的性质2. (2)解整式方程 去括号、移项、合并同类项等 (3)检验（验根） 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为 0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解. 注意： (1)同乘最简公分母的依据是等式的性质2. (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时,不要漏乘不含分母的项. (2)解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤. 知识点3 分式方程的增根 1.增根 在分式方程变形时,有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根 2.解分式方程产生增根的原因 我们在将分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的式子,这个式子有可能为零.如果为零,那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解,它是原分式方程的增根. 2.验根的方法 方法1：把求得的未知数的值代入原方程进行检验，验根的同时还可以检查解方程时有无计算错误. 方法2：把求得的未知数的值代入最简公分母，看最简公分母的值是否等于零,若不为零,则是原分式方程的根;若为零,则是原分式方程的增根,应舍去. 考点剖析 【考点1 分式方程的定义】 解题技巧总结 判断一个方程是否为分式方程，关键是看分母中是否含有未知数(也可以看方程中是否含有关于未知数的分式)，而不是看分母中是否含有字母. 1．（21-22七年级上·上海金山·期末）下列关于的方程中， 不是分式方程的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、C、D选项中分母含有未知数，是分式方程； B选项中分母不含有未知数，故不是分式方程． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念分母含有未知数的方程是分式方程是解题的关键． 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意； C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 【考点2 解分式方程】 解题技巧提炼 (1)解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化为整式方程.(2)分式方程去分母时，一定不能漏乘不含分母的项(3)解出未知数的值后必须检验. 4．（24-25七年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可； （2）将各分母进行因式分解，找出各分母的最简公分母，方程两边同乘该最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 化简，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． （2）解： 方程可化为， 方程两边同乘，得， 化简，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 5．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴是分式方程的解； （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】 两边都乘以去分母，得 整理，得 解得 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 8．（23-24七年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，最后注意对方程的解进行检验． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 9．（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 【答案】改进技术后每小时加工生产的产品数件． 【分析】本题考查了分式方程的应用、分式方程的解法，设原来每小时加工生产的产品数为台，根据等量关系“原计划用的时间实际用的时间”列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来每小时加工生产的产品数为件 解得： 经检验，是原方程的解，并符合题意 所以， 答：改进技术后每小时加工生产的产品数件 10．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． （1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 【考点3 根据分式方程解的情况求值】 解题技巧提炼 利用增根求字母参数的一般步骤 第1步:去分母,将分式方程转化为整式方程； 第2步:找出增根,即使最简公分母为0的x的值; 第3步:将增根代入整式方程,求出字母参数的值. 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解； 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是． 故选：． 12．（22-23八年级下·上海·期末）如果方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∵方程有增根， ∴，解得， 代入得：，解得， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可． 【详解】方程两边同时乘以得： 即， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 将代入得：， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值． 【详解】解：∵方程会产生增根， ∴， 解得：， 原方程去分母得：， 把代入得：， 解得， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为正数，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【考点4 分式方程无解问题】 易混易错提醒 分式方程无解不等同于最简公分母的值为0，分式方程无解可能有两种情况: (1)求出的x的值是分式方程转化成整式方程的解,但这个解使最简公分母的值为0; 2)所化成的整式方程无解,这往往是由于未知数的系数含有待定字母造成的，这种情况在解题时不要忽略. 16．（22-23九年级下·全国·期末）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解确定参数，用含字母的代数表示出是解题的关键． 根据题意求出方程无解时的值，代入得出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 分式方程无解， 则， 故选：A． 17．（23-24八年级上·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 18．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，最简公分母为零是解题关键．根据分式方程的最简公分母为零，可得分式方程的增根． 【详解】解：方程的最简公分母是， 依题意，，解得：， ∴分式方程的增根是， 故答案为：． 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根．原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程，即， 解得， 故答案为：． 【考点5 分式应用之列分式方程】 20．（23-24七年级上·上海·期末）寒风乍起，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．再列方程即可． 【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天， 则列方程为：， 故选D． 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有x人，则可列方程为（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题干中的等量关系列式即可． 【详解】解：根据两组平均每人植树的棵树相等可得，． 故选：B． 22．（21-22七年级上·上海金山·期末）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，所列的分式方程正确的是：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，再根据甲、乙两队安装时间相同列出方程即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 由题意得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 23．（23-24八年级下·上海长宁·期末）某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人，根据“结果每人比原计划少植树1棵”列出分式方程即可． 【详解】解：假设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人， 依题意得， 故答案为：． 24．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 【考点6 分式应用之行程问题】 25．（23-24七年级上·上海青浦·期末）一辆汽车在相距180千米的两地来回行驶，回来时平均车速比去时增加了20%，结果时间缩短了30分钟．问这辆汽车去时平均每小时行驶多少千米？ 【答案】平均每小时行驶千米 【分析】本题考查分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设这辆汽车去时平均每小时行驶千米，列方程得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际， 答：这辆汽车去时平均每小时行驶千米． 26．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早半小时到达乙地，求两辆车的速度． 【答案】货车的速度为100千米/时，小汽车的速度为120千米/时． 【分析】设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2x千米/时，根据时间=路程÷速度结合小汽车比货车早半个小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2x千米/时， 依题意，得：， 解得：x=100， 经检验，x=100是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x=120． 答：货车的速度为100千米/时，小汽车的速度为120千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 27．A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据甲车比乙车多用了20分钟的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程． 28．（21-22七年级上·上海普陀·期末）2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？ 【答案】经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒． 【分析】设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒，利用“时间＝路程÷速度”以及“经过指导后时间缩短了15秒”的等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒， 依题意得：﹣＝15， 解得：x＝， 经检验，x＝是原方程的解，且符合题意， ∴1.1x＝1.1×＝10． 答：经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是审清题意、舍出未知数、根据等量关系列出分式方程． 29．（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】15千米/时 【分析】本题考查分式方程的应用、解答关键是理解题意，找到对应关系式．设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时； 30．小丽乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高50%，因此能比路线一节省10分钟到达．那么选走路线二去体育场需要多少时间? 【答案】小丽选走路线二去体育场需要小时 【分析】设小丽走路线一的平均速度是x千米/小时，则小丽走路线二的平均速度是x（1+50%）千米/小时，根据走路线二比走路线一少用10分钟建立方程求出x，即可求出结论． 【详解】解：设小丽走路线一的平均速度是x千米/小时，则走路线二的平均速度是x（1+50%）千米/小时， 由题意，得， 解得：x=30， 经检验，x=30是原方程的解且符合题意． 故选走路线二去体育场需要=(小时)． 答：小丽选走路线二去体育场需要小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据条件找到等量关系建立方程是关键，解分式方程要验根是必不可少的步骤． 【考点7 分式应用之工程问题】 31．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）小明、小丽共同打印一份文件，小明共打个字，比小丽少打了，已知小丽的工作效率比小明高，完成时间比小明少5分钟，问他俩各花多少时间完成任务？ 【答案】小明45分钟，小丽40分钟 【分析】首先可求得小丽共打的字数，设小明完成的时间为x分别，则小丽完成的时间为分钟，再根据小丽的工作效率比小明高，列出方程，解方程即可求得． 【详解】解：小丽批的字数为：(个)， 设小明完成的时间为x分钟，则小丽完成的时间为分钟， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 故， 答：小明分钟完成任务，小丽分钟完成任务． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解决本题的关键． 32．（21-22七年级上·上海普陀·期末）为保证民众的安全，某小区决定对全体小区居民进行核酸检测，该小区需采集样本共9000份，原计划下午17点到18点进行采样，为了早一步完成采样工作，现将延长采样时间，实际每天采集样本份数是原来的2倍，从而提前3天完成采样任务，问实际每天采集样本多少份？ 【答案】3000份 【分析】设原计划每天采集样本份，表示原来和现在的工作时间，利用提前3天完成采样任务，列分式方程解题． 【详解】解：设原计划每天采集样本份，则实际每天采集样本份，由题意得 ， ， ， 经检验，是原方程的解且符合题意， 所以， 答：实际每天采集样本3000份． 【点睛】本题考查分式方程解应用题，注意分式方程要验根． 33．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的倍，从而提前天完成任务 （1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？ （2）如果该企业按原计划的工作效率加工了个口罩后，才将效率提高到原来的倍，则该企业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有的代数式表示：为大于零的整数） 【答案】（1）企业原计划每天生产2000个口罩；（2）该企业完成这批口罩工作任务共用了天 【分析】（1）设企业原计划每天生产个口罩，则提高效率后每天生产个口罩，根据“原计划比实际多用2天完成”列出分式方程即可求出结论； （2）根据“总时间=以原计划的工作效率加工个口罩所用时间＋以提高效率后的工作效率加工（12000－a）个所用时间”即可求出结论． 【详解】解：（1）设企业原计划每天生产个口罩，则提高效率后每天生产个口罩， 根据题意可得 解得：x=2000 经检验：x=2000是原方程的解，且符合题意 答：企业原计划每天生产2000个口罩． （2）根据题意，该企业完成这批口罩工作任务共用（天） 答：该企业完成这批口罩工作任务共用了天． 【点睛】此题考查的是分式方程的应用和利用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的等量关系是解题关键． 【考点8 分式应用之销售盈亏问题】 34．（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【答案】这种牛奶原价每瓶是12元 【分析】本题考查分式方程的应用，设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元，根据打折后90元买到比打折前108元还多1瓶的牛奶列方程求解，注意分式方程需要检验． 【详解】解：设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元， 则 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 35．（22-23七年级上·上海青浦·期末）某书店经销一种图书，11月份的销售额为2000元，为扩大销售量，12月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加20本，销售额增加700元． (1)求书店11月份该图书的售价； (2)若11月份书店销售该图书获利元，那么该图书每本成本______元（用含的代数式表示）． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）设书店月份该图书的售价为x元，根据销售量增加本建立方程求解即可； （2）依据由月份书店销售该图书获利元，利用售价减去每本获得的利润即可求解． 【详解】（1）解：设书店月份该图书的售价为x元， 依题意得： ， 解得， 经检验是方程的解， 答：书店月份该图书的售价为元； （2）由（1）可知，月销量为（本）， 由月份书店销售该图书获利元， 则每本的成本为：元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，销售问题；解题的关键是认真审题得出关系式． 36．（22-23七年级上·上海青浦·期末）某书店用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购进甲种图书的数量比用1400元购进乙种图书的数量少10本． (1)甲乙两种图书的销售单价分别是多少元？ (2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部售完） 【答案】(1)甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； (2)甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大，最大利润是5333元． 【分析】（1）乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可； （2）设甲种图书进货a本，总利润w元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案． 【详解】（1）解：设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本元．由题意得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 所以，甲种图书售价为每本元， 答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； （2）解：设甲种图书进货a本，总利润w元，则 ． 又∵， 解得：． ∵w随a的增大而增大， ∴当a最大时w最大， ∴当本时w最大，最大值为（元）． 此时，乙种图书进货本数为（本）． 答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大，最大利润是5333元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键． 37．某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？ 【答案】50元，100件 【分析】设此商品进价是x元，然后根据等量关系为：第二个月的销售量-第一个月的销售量=40，算出后可得到此商品的进价，列出方程求解即可． 【详解】解：设此商品进价是x元， 则：， 解得： 经检验：x=50是方程的根． 则(件)， 答：商品进价为50元，商场第二个月共销售100件． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解． 【考点9 分式应用之水电费问题】 38．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【答案】调整后每度电的价格是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元”建立方程，解分式方程即可得． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是元． 39．（21-22七年级上·上海浦东新·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案．为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的1.5倍．已知某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元．求：调整后每度电的价格． 【答案】调整后每度电的价格是1.2元． 【分析】设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元”建立方程，解分式方程即可得． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是1.2元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．需注意的是，解分式方程需要进行检验． 【考点7 分式应用之配套问题】 40．甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，两队分别每天安装几台空调？ 【答案】甲队每天安装22台空调，乙队每天安装20台空调． 【分析】设乙队每天安装x台空调，则甲队每天安装（x+2）台空调，然后根据等量关系“两队同时开工且恰好同时完工”列出分式方程并解答即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台空调，则甲队每天安装（x+2）台空调， 根据题意得：，解得x=20， 经检验，x=20是原方程的根 ∴甲队每天安装x+2=20+2=22（台），乙队每天安装20台空调． 答：甲队每天安装22台空调，乙队每天安装20台空调． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程并正确求解成为解答本题的关键． 41．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？ 【答案】A班每天植树30棵，B班每天植树20棵． 【分析】设B班每天植树x棵，从而可得A班每天植树棵，再根据“A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天”建立分式方程，解方程即可得． 【详解】设B班每天植树x棵，则A班每天植树棵， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：A班每天植树30棵，B班每天植树20棵． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 过关检测 1．（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程，不符合题意； B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程，不符合题意； C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程，符合题意； D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，将分式方程转化为整式方程求解是解此题的关键． （1）解分式方程得，由去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解可得当时，满足题意，从而得出，求解即可； （2）解分式方程得，由该方程的解为负数得出，结合要使原分式方程有解，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解， 当时，满足题意， ， 解得：； （2）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 该方程的解为负数， ， 解得：， 由（1）可得，要使原分式方程有解，则， 的取值范围为：且． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；掌握解题步骤，检验根的正确性是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 4．（23-24七年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出解后代入检验即可． 【详解】解：， 去分母，化为整式方程得：， 即， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 5．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考査分式方程的增根：熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联系是解题的关键． 若原分式方程有增根，则，解得x的值，再代入去分母后的整式方程中，即可解得m值． 【详解】解： 去分母得， 若原分式方程有增根，则，所以 当 时，，得， 所以若原分式方程有增根，则， 故答案为 ：2． 6．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于x的方程有增根，求a的值． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的增根．先将方程两边同乘，转化为整式方程，根据方程有增根得到或，再分别代入整式方程，求解即可解答． 【详解】解： 方程两边同乘，得， ∵该分式方程有增根， ∴或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，或． 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，由分式方程无解（分式的分母为零，或解是分式，其分母为零）即可判定的值，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 等式两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∵分式方程无解，即或或，即或或， ∴，解得，， ，解得，， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 8．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打25个字，小丽打300个字的时间与小明打200个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ． 【答案】 【分析】设小明每分钟打个字，则小丽每分钟打个字，根据“小丽打300个字的时间=小明打200个字的时间”可列出方程． 【详解】解：设小明每分钟打个字，则小丽每分钟打个字， 根据题意，可列方程为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系并列出方程． 9．（22-23八年级下·江西景德镇·期末）周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍，用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆．求每辆型自行车的价格．甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为 (1)甲同学所列方程中的表示__________，乙同学所列方程中的表示__________． (2)选择甲同学或乙同学的方法解答这个问题． 【答案】(1)型自行车单价是元；单独购买型自行车的辆数是辆 (2)见解析 【分析】（1）根据方程中的等量关系即可求解； （2）根据解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆， ∴甲同学所列的方程为， ∴表示型自行车单价是元， ∵型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍， ∴乙同学所列的方程为， ∴表示用元单独购买型自行车的辆数是辆， 故答案为：型自行车单价是元；单独购买型自行车的辆数是辆． （2）解：若选择甲同学的：，化简得：， 去分母得：，解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴每辆型自行车的价格是元； 若选择乙同学的：，化简得：， 去分母得：，解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴单独购买型自行车的辆数是辆， ∴， ∴每辆型自行车的价格是元． 【点睛】本题主要考查分式方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握分式方程的运用，解分式方程的方法是解题的关键． １0．（23-24七年级上·上海青浦·期末）一辆汽车在相距180千米的两地来回行驶，回来时平均车速比去时增加了20%，结果时间缩短了30分钟．问这辆汽车去时平均每小时行驶多少千米？ 【答案】平均每小时行驶千米 【分析】本题考查分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设这辆汽车去时平均每小时行驶千米，列方程得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际， 答：这辆汽车去时平均每小时行驶千米． １1．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【答案】调整后每度电的价格是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元”建立方程，解分式方程即可得． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是元． １2．（22-23七年级上·上海·期末）学校组织学生到距离为千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达，如果大巴士的平均速度是自行车平均速度的倍，问：大巴士与自行车的平均速度分别是每小时多少千米？ 【答案】自行车的平均速度为，大巴士的平均速度为 【分析】设自行车的平均速度为，则大巴士的平均速度为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：根据题意，设自行车的平均速度为，则大巴士的平均速度为，分钟小时， 由题意得：， 整理得，， 解得，， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， ∴自行车的平均速度为，大巴士的平均速度为． 【点睛】本题主要考查方程与行程问题的综合，理解题意中的数量关系，列方程解决实际问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$