复习专题07 分式的运算（9重点+15考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题07 分式的运算 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 分式的乘法法则 1.概念 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母 2.符号语言 知识点2 分式的除法法则 1.概念 分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 2.符号语言 知识点3 分式的乘除混合运算 1.运算法则 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算 2.运算顺序 分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，属于同级运算，即按照从左到右的顺序计算,有括号时先算括号里面的知识点4 分式的乘方法则 1.概念 分式的乘方等于把分子分分别乘方 2.符号语言 提示 (1) 分式乘方时，先确定乘方结果的符号,它和实数乘方确定符号的方法相同:正数的任何次方都是正数;负数的偶次方为正数,奇次方为负数 (2) 分式乘方时，一定要把分式加上括号. 知识点5 同分母分式加减法的法则 1.文字语言 同分母分式相加减，分母不变,分子相加减 2.符号语言 提示 (1)法则中的“分母不变”就是加减运算时所取的分母是原分式中的分母 (2)“分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减即各个分子都应有括号，当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略 (3)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式 知识点6 通分和最简公分母 1.通分的意义 将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分 2.最简公分母 (1)定义: 如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 (2)确定最简公分母的一方法 ①确定系数:把各分式中分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; ②确定相同因式:把相同字母(或分解因式后得到的相同因式)的最高次幂作为最简公分母的一个因式 ③把只在一个分式的分母中出现的字母(或因式)连同它的指数作为最简公分母的一个因式 3.通分的方法 先求出各分式的最简公分母，再用最简公分母去除以每个分式的分母，用所得的商去乘以它的分子、分母 4.通分与约分的联系与区别 联系:通分与约分都是根据分式的基本性质进行的恒等变形 区别:①约分是分子分母都除以同一个不为零的整式,而通分是分子与分母都乘以同一个不为零的整式;②约分是针对一个分式而言的，而通分是针对几个分式而言的;③约分的结果可能是分式也有可能是整式,而通分的结果都是分式 知识点7 异分母分式加减法的法则 1.文字语言 异分母分式相加减先将它们化为同分母的分式然后进行加减 2.符号语言 异分母分式加减运算的一般步骤 (1)通分: 将异分号的分式化成同分母的分式; (2)加减: 按同分母的分式加减法法则写成“分母不变、分子相加减”的形式; (3)合并:分子去括号、合并同类项; (4)约分:分子、分母约分，把结果化成最简分式或整式 简记为“一通分，二加减,三合并，因约分” 知识点8 分式的混合运算 分式混合运算与分数的加减乘除及乘方混合运算一样,先算乘方，再算乘除最后进行加减运算，如果有括号的，一般要先算括号内的，再算括号外的 注意 (1)对于分式的混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减； (2)要灵活运用交换律、结合律与分配律； (3)分式的运算结果一般化简成最简分式或整式. 知识点9 整数指数幂 1.负整数指数幂 一般地,当是正整数时,.这就是说是的倒数. 2.整数指数幂的运算性质 在引入负整数指数幂后,指数的取值范围就由正整数推广到全体整数,以前学过的所有正整数指数幂的运算性质也推广到整数指数幂.因此,整数指数幂的运算性质可归结为: 名称 式子表示 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 商的乘方 考点剖析 【考点1 分式乘法】 1．（21-22七年级上·上海金山·期末）计算： ． 2．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 3．（22-23七年级上·上海·期中）计算， 【考点2 分式除法】 解题技巧总 分式的除法运算要抓住“一变一倒”，即变除法为乘法,把除式的分子、分母颠倒位置,如果除式是整式,应先把它的分母看成1,再把分子、分母颠倒位置 4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 6． （22-23七年级上·上海·期末）计算：． 【考点3 分式乘除混合运算】 7．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 8．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【考点4 分式乘方】 易混易错提醒 分式乘方看“两号” (1)符号:若分式中有负号,要先确定分式的符号;(2)括号:当分式的分子或分母是多项式时,要用括号将多项式括起来，把它看成一个整体. 9．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 10．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 【考点5 含乘方的分式乘除混合运算】 11．（22-23九年级上·山东济南·期中）计算：． 12．（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算： 13．（22-23七年级·上海·假期作业）在下列各式中：①；②；③；④．相等的两个式子是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【考点6 同分母分式加减法】 14．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 15．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【考点7 异分母分式加减法】 16．（24-25七年级上·上海·期中）当，，，，，，，，时，分别计算代数式的值，再将所有结果相加，则总和为 ． 17．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 18．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 19．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【考点8 整式与分式相加减】 20．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 21．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【考点9 分式加减混合运算】 易混易错提醒 （1）若分子、分母是多项式,应先因式分解; （2）若分子、分母中有公因式,应先约分最后结果要化为最简分式或整式. 22．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 23．（23-24七年级上·上海宝山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 【考点10 分式加减的实际应用】 24．（22-23七年级上·上海静安·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： (1)将假分式 为一个整数与一个真分式的和 (2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值 25．（23-24八年级下·江苏南京·期中）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 26．（22-23八年级下·四川遂宁·期末）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 【考点11 分式加减乘除混合运算】 27．（2024·上海嘉定·三模）化简：= 28．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 29．（22-23七年级上·上海闵行·期末）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 30．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算：． 31．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： （结果用不含负整数指数幂的形式表示）． 【考点12 分式化简求值】 32．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，则 ． 33．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 34．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再从，，中选择合适的x值代入求值． 35．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中，． 36．（23-24七年级上·上海·期末）化简：，并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 【考点13 零指数幂】 37．（24-25七年级上·上海·期中）已知，其中是整数，则 ． 38．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如果，那么的值为 ． 39．（24-25七年级上·上海·期中）若无意义，则整式的值为 ． 【考点14 负整数指数幂】 40．（24-25七年级上·上海·期中）若，，则 ． 41．（24-25七年级上·上海·期中）若有意义，则x满足的条件是 ． 42．（23-24八年级下·全国·期中）计算： ． 43．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级上·上海金山·期末）将化成只含有正整数指数幂的形式： ． 【考点15 整数指数幂的运算】 45．（21-22八年级上·河北衡水·期末）计算：的结果为 ． 46．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 过关检测 １．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) ２．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，老师在黑板上书写了一个正确的式子，然后随手用手掌捂住了式子的一部分，求老师捂住的部分．    ３．（22-23七年级上·上海·期中）计算： ４．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． ５．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． ６．（23-24八年级下·山西晋城·期末）计算的结果是 . ７．（22-23八年级上·广西桂林·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． ８．（2024·贵州贵阳·一模）化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． ９．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． １０．（2023·内蒙古包头·一模）某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 １１．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． １２．（22-23八年级上·福建福州·期末）已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． １３．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． １４．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）先化简再求值：，其中． １５．（23-24七年级上·上海崇明·期末）先化简分式：，再从3，2，5中选一个你认为合适的值，代入求值． １６．（23-24七年级上·上海金山·期末）先化简再求值：，其中． １７．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） １８．（24-25七年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． １９．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算：（结果不含负整数指数幂）： ２０．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式的运算 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 分式的乘法法则 1.概念 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母 2.符号语言 知识点2 分式的除法法则 1.概念 分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 2.符号语言 知识点3 分式的乘除混合运算 1.运算法则 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算 2.运算顺序 分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，属于同级运算，即按照从左到右的顺序计算,有括号时先算括号里面的 知识点4 分式的乘方法则 1.概念 分式的乘方等于把分子分分别乘方 2.符号语言 提示 (1) 分式乘方时，先确定乘方结果的符号,它和实数乘方确定符号的方法相同:正数的任何次方都是正数;负数的偶次方为正数,奇次方为负数 (2) 分式乘方时，一定要把分式加上括号. 知识点5 同分母分式加减法的法则 1.文字语言 同分母分式相加减，分母不变,分子相加减 2.符号语言 提示 (1)法则中的“分母不变”就是加减运算时所取的分母是原分式中的分母 (2)“分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减即各个分子都应有括号，当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略 (3)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式 知识点6 通分和最简公分母 1.通分的意义 将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分 2.最简公分母 (1)定义: 如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 (2)确定最简公分母的一方法 ①确定系数:把各分式中分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; ②确定相同因式:把相同字母(或分解因式后得到的相同因式)的最高次幂作为最简公分母的一个因式 ③把只在一个分式的分母中出现的字母(或因式)连同它的指数作为最简公分母的一个因式 3.通分的方法 先求出各分式的最简公分母，再用最简公分母去除以每个分式的分母，用所得的商去乘以它的分子、分母 4.通分与约分的联系与区别 联系:通分与约分都是根据分式的基本性质进行的恒等变形 区别:①约分是分子分母都除以同一个不为零的整式,而通分是分子与分母都乘以同一个不为零的整式;②约分是针对一个分式而言的，而通分是针对几个分式而言的;③约分的结果可能是分式也有可能是整式,而通分的结果都是分式 知识点7 异分母分式加减法的法则 1.文字语言 异分母分式相加减先将它们化为同分母的分式然后进行加减 2.符号语言 异分母分式加减运算的一般步骤 (1)通分: 将异分号的分式化成同分母的分式; (2)加减: 按同分母的分式加减法法则写成“分母不变、分子相加减”的形式; (3)合并:分子去括号、合并同类项; (4)约分:分子、分母约分，把结果化成最简分式或整式 简记为“一通分，二加减,三合并，因约分” 知识点8 分式的混合运算 分式混合运算与分数的加减乘除及乘方混合运算一样,先算乘方，再算乘除最后进行加减运算，如果有括号的，一般要先算括号内的，再算括号外的 注意 (1)对于分式的混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减； (2)要灵活运用交换律、结合律与分配律； (3)分式的运算结果一般化简成最简分式或整式. 知识点9 整数指数幂 1.负整数指数幂 一般地,当是正整数时,.这就是说是的倒数. 2.整数指数幂的运算性质 在引入负整数指数幂后,指数的取值范围就由正整数推广到全体整数,以前学过的所有正整数指数幂的运算性质也推广到整数指数幂.因此,整数指数幂的运算性质可归结为: 名称 式子表示 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 商的乘方 考点剖析 【考点1 分式乘法】 1．（21-22七年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的乘法法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘法法则． 2．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】把分子分母分解因式，再约分即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的乘法运算，掌握“分式的乘法的运算法则”是解本题的关键． 3．（22-23七年级上·上海·期中）计算， 【答案】 【分析】根式分式的乘法运算法则，将分子分母的式子进行因式分解，然后约分即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【考点2 分式除法】 解题技巧总 分式的除法运算要抓住“一变一倒”，即变除法为乘法,把除式的分子、分母颠倒位置,如果除式是整式,应先把它的分母看成1,再把分子、分母颠倒位置 4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得． 【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：， 故答案为：； （2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数， ，， ，， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴为5 、4或者3， ∵， ∴为5或者4 ， ，即的分子时奇数， 当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当时，， 能被7整除，且m为1至9的自然数， 满足条件的整数只有6， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键． 5．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： 6．（22-23七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】先把负整数指数幂化为分式的形式，再去括号进行除法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【考点3 分式乘除混合运算】 7．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用、单项式除以单项式及分式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式除以单项式及分式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 8．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂进行计算，将除法变为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则和分式乘除法混合运算法则是解题关键． 【考点4 分式乘方】 易混易错提醒 分式乘方看“两号” (1)符号:若分式中有负号,要先确定分式的符号;(2)括号:当分式的分子或分母是多项式时,要用括号将多项式括起来，把它看成一个整体. 9．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的乘方； 根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，结合分式的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方，分式的乘方和除法，负整数指数幂，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算积的乘方，分式的乘方，然后计算单项式乘以单项式，将除法转化成乘法，然后计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【考点5 含乘方的分式乘除混合运算】 11．（22-23九年级上·山东济南·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可． 【详解】解： ． 12．（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除混合运算，先算乘方，然后把除法转化为乘法，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 13．（22-23七年级·上海·假期作业）在下列各式中：①；②；③；④．相等的两个式子是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④． ∴①③两个式子是相等的， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键． 【考点6 同分母分式加减法】 14．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 15．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式减法，因式分解，分式的化简，根据运算法则计算，再利用因式分解，将分子分解，再化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点7 异分母分式加减法】 16．（24-25七年级上·上海·期中）当，，，，，，，，时，分别计算代数式的值，再将所有结果相加，则总和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，即可求解，得出是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时， ∴总和为， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，先通分，再计算减法，最后约分即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减法，先变形为同分母分式，再进行加减计算即可． 【详解】, 故答案为：． 19．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的加减法，根据分式的加减法则直接求解即可． 【详解】解： ． 【考点8 整式与分式相加减】 20．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 21．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 【考点9 分式加减混合运算】 易混易错提醒 （1）若分子、分母是多项式,应先因式分解; （2）若分子、分母中有公因式,应先约分最后结果要化为最简分式或整式. 22．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算法则．根据分式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： 23．（23-24七年级上·上海宝山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 【答案】(1)，，；且 (2) 【分析】本题属于数字类规律探索题，考查分式的加减运算，找出这组数据的变化规律是解题的关键． （1）根据逐项计算即可，根据分母不能为0得出的取值范围； （2）根据（1）中结论得出这组数据的变化规律，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 根据分式的分母不能为0，可得，， 因此的取值范围为且． （2）解：由（1）中结论可得从开始，每3个数为一个循环，分别为， ， ， 当时，． 【考点10 分式加减的实际应用】 24．（22-23七年级上·上海静安·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： (1)将假分式 为一个整数与一个真分式的和 (2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值 【答案】(1) (2)或6或12 【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）解：由题可得，； （2）解：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴，，， ∴或6或12． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 25．（23-24八年级下·江苏南京·期中）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 26．（22-23八年级下·四川遂宁·期末）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平均速度=总路程 总时间，设单程的路程为，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可； 【详解】设上山的路程为 千米 则上山的时间 小时，下山的时间为 小时 则上、下山的平均速度 千米/时 故选：D 【点睛】本题考查了列代数式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 【考点11 分式加减乘除混合运算】 27．（2024·上海嘉定·三模）化简：= 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 先化简小括号内分式，再将除法转化为乘法计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 28．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先用分数线表示除号，再约分，然后进行同分母的减法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 29．（22-23七年级上·上海闵行·期末）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】；1 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件．先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 30．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则化简即可得出结果，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 31．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： （结果用不含负整数指数幂的形式表示）． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算和负整数指数幂．先将负整数指数化为正整数指数，即分式形式，再通分相除，利用平方差公式分解，约分后可得到结果． 【详解】 解：． ． ． ． ． 【考点12 分式化简求值】 32．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，根据设，，代入分式化简求值即可． 【详解】∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式第二项第二个因式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用十字相乘法分解因式，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 34．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再从，，中选择合适的x值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，先根据分式的混合运算对式子进行化简，再根据分式有意义的条件得到x的取值，代入即可求解． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则 ， ∴且且， ∴当时，原式． 35．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂等知识，先按相关法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 36．（23-24七年级上·上海·期末）化简：，并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的利用分配律进行简便运算是解本题的关键，先把能够分解因式的地方分解因式，再利用分配律计算乘法，再合并即可，最后代入求值即可． 【详解】解： ； ∵， 当时，原式， 当时，原式． 【考点13 零指数幂】 37．（24-25七年级上·上海·期中）已知，其中是整数，则 ． 【答案】3，1， 【分析】本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是掌握零指数幂和1的任何次幂都是1是解题的关键． 分三种情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴①当底数时， 解得：， ②当底数时， 解得：， ∴， ③当指数时， 解得：， ∴整数x的值是3，1，． 故答案为：3，1，． 38．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，解一元一次方程，根据零指数幂，列出方程，然后求解即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（24-25七年级上·上海·期中）若无意义，则整式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，零指数幂，根据零指数幂的底数为0时，其没有意义求出，再代值计算即可． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点14 负整数指数幂】 40．（24-25七年级上·上海·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂的除法，幂的乘方，负指数幂，解题关键在于利用代替法计算．根据同底数幂的除法，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 41．（24-25七年级上·上海·期中）若有意义，则x满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，代数式中有分式，分母不为0，0指数幂和负整数指数的底数不能为0，再求的取值范围．解决本题的关键是明确负整数指数幂和0指数幂的底数不能为0． 【详解】解：根据题意可知，且，解得且． 故答案为：且． 42．（23-24八年级下·全国·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了负整数指数幂以及零次幂的运算，先化简负整数指数幂以及零次幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：5． 43．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，掌握公式：，（），，（）是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论正确，符合题意； D.，结论错误，不符合题意； 故选：C． 44．（23-24七年级上·上海金山·期末）将化成只含有正整数指数幂的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查负指数幂的定义，熟记概念是解题的关键． 根据负指数幂，即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【考点15 整数指数幂的运算】 45．（21-22八年级上·河北衡水·期末）计算：的结果为 ． 【答案】7 【分析】按照整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，逐项计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝8＋1－2 ＝7 【点睛】此题主要考查幂的混合运算，熟练掌握运算法则，即可解题． 46．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式、单项式的乘法法则、合并同类项、积的乘方等知识点解答． 【详解】解：A．；故本选项不符合题意； B．；故本选项不符合题意； C．、不是同类项，不能合并；故本选项不符合题意； D．；故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题综合考查了完全平方公式、合并同类项、单项式的乘法、积的乘方．解题时，需熟记整式混合运算的运算法则． 过关检测 １．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）直接约分即可； （2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，再约分即可； （3）先计算分式的乘方运算，再约分即可； （4）先把除法化为乘法，再约分即可. 【详解】（1）解：， （2） ； （3） ； （4） ； ２．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，老师在黑板上书写了一个正确的式子，然后随手用手掌捂住了式子的一部分，求老师捂住的部分．    【答案】老师捂住的部分为x 【分析】本题考查分式的乘除法运算，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，根据法则直接计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 答：老师捂住的部分为x． ３．（22-23七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】根据分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是对分子分母进行因式分解，准确进行计算． ４．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的除法，运用平方差公式和完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： 故选：C． ５．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的运算法则，熟知运算法则是解题的关键． ６．（23-24八年级下·山西晋城·期末）计算的结果是 . 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方，根据分式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ７．（22-23八年级上·广西桂林·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． ８．（2024·贵州贵阳·一模）化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【详解】解：． 故选C． ９．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加法．先通分再算加法即可． 【详解】解： ． １０．（2023·内蒙古包头·一模）某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 【答案】D 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴甲和丙出现错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． １１．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查有理数的减法运算、分式的减法及数字规律问题，解题的关键是理解题中所给的规律； （1）根据题中所给式子可进行求解； （2）由题意可直接进行求解； （3）根据（2）中的结论及分式的减法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； （2）解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； （3）解： ． １２．（22-23八年级上·福建福州·期末）已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 【答案】(1)当时， (2)若是正整数，的正整数值是12或15． 【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出； （2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值． 【详解】（1）当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，， ∴ （2）∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵和都是正整数， ∴是正整数， ∴可取4，8， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15． 【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键． １３．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． １４．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】，。 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键．先将原分式化为最简分式，再把代入求值 【详解】解：原式• ． 当时，原式． １５．（23-24七年级上·上海崇明·期末）先化简分式：，再从3，2，5中选一个你认为合适的值，代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ， ∵，，3， 当时，原式． １６．（23-24七年级上·上海金山·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号里面的加减，再计算括号外面的除法，即可化简，再代入进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式=． １７．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． １８．（24-25七年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式，分式的化简． （1）多次运用平方差公式进行求解即可； （2）先将分子分母同乘以，将负整数指数幂化为正整数指数幂，再将分子分母因式分解后约分，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． １９．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算：（结果不含负整数指数幂）： 【答案】 【分析】本题主要考查了含负整数指数幂的分式混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ２０．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式混合运算，计算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后合并同类项即可， 【详解】解：． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$