复习专题06 一元一次方程的应用（2重点+14考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年六年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题06 一元一次方程的应用 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 知识点2 一元一次方程应用题的类型 1.一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 2.利用方程解决实际问题的基本思路： 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 考点剖析 【考点1 行程问题（一元一次方程的应用）】 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海·期末）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 4．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 5．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 【考点2 配套问题（一元一次方程的应用）】 6．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 7．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 8．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【考点3 工程问题（一元一次方程的应用）】 9．（23-24七年级下·全国·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·四川成都·期末）举世瞩目的北京冬奥会开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要天完成．现计划由部分车间先生产天，然后再增加两个车间一起生产天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排 个车间进行生产． 12．（24-25六年级上·上海·期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【考点4 销售盈亏（一元一次方程的应用）】 13．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 14．（23-24六年级下·上海松江·期末）一件商品，按标价八折销售盈利元，按标价六折销售亏损，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的成本不变 C．商品的售价不变 D．商品的销售量不变 15．（23-24七年级下·四川眉山·期中）青神德迈盛超市在“六一”儿童节，将一种儿童玩具按标价9折出售，仍获利润，若该玩具标价为40元，那么该玩具进价为（    ） A．29元 B．30元 C．31元 D．32元 16．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某商品标价800元，因“6.18”活动打九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价是 ． 【考点5 比赛积分（一元一次方程的应用）】 17．（23-24六年级上·山东威海·期末）某磁性飞镖游戏的靶盘，珍珍玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如右表：若珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶，本局得分19分，则的值为 ． 投中位置 区 区 脱靶 一次计分（分） 3 1 18．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【考点6 方案选择（一元一次方程的应用）】 19．（22-23七年级上·广东广州·期中）为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 ． 20．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【考点7 数字问题（一元一次方程的应用）】 21．（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，一个的方格中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，则的值是（    ） 7 9 6 A．5 B．6 C．7 D．8 22．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）小明同学在本子上写出了三个连续的正整数a，b，c，并求出了它们的和为81，则这三个数中间的数b是（    ） A．27 B．25 C．23 D．80 24．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 25．（23-24六年级下·上海普陀·期中）已知三个连续奇数的和是111，如果设最小的奇数为x，那么可列方程 ． 【考点8 几何问题（一元一次方程的应用）】 26．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25六年级上·上海·期中）如图，点为数轴的原点，点，在数轴上分别表示数，，且，满足，在数轴上有一点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，求点在数轴上表示的数 ． 28．（24-25六年级上·上海·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数3，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为________； (2)若点表示数，点表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是________； (3)点表示数，点表示数25，为数轴上一点，且点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数________． 29．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读：出入相补原理：一个平面几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变．出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建．所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系． 解决问题：如图所示，一个阴影四边形，其外侧是边长为的正方形，求阴影部分面积是正方形面积的几分之几？ 30．（24-25六年级上·上海·期中）【阅读材料】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．我们知道，是5的绝对值，可以理解为数5在数轴上所对应的点到原点的距离，表示5与2的差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果有理数a、b在数轴上对应的点为点A、B，那么A、B两点之间的距离就可以表示为． 【理解运用】 请你结合数轴，运用阅读材料回答下列问题： (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_______； (2)如果，那么_______； (3)如果有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，那么所有符合条件的整数a的和为_______； (4)已知，求x的值． 【考点9 和差倍分问题（一元一次方程的应用）】 31．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校今年艺术单项比赛共有人参加，比赛的人数比去年增加还多3人．则去年参加比赛的人数为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 33．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某班数学兴趣小组的女生人数是全组人数的一半，如果增加2名女生，那么女生人数是全组人数的，设该小组原来女生人数是x人，则可列方程 ． 34．（21-22六年级上·上海长宁·期末）小红看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，这时还剩51页没看，这本书一共有多少页？ 【考点10 电费和水费问题（一元一次方程的应用）】 35．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过，每立方米收费3元；若用水超过，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 ． 36．（24-25八年级上·上海·单元测试）国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的纳税；超过4000元的按全部稿费的纳税．现某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 【考点11 比例分配（一元一次方程的应用）】 37．（22-23六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 38．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【考点12 日历问题（一元一次方程的应用）】 39．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 40．（22-23七年级上·广东湛江·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【考点13 其他问题（一元一次方程的应用）】 41．（21-22六年级下·上海闵行·期中）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级上·河南郑州·期末）新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25六年级上·上海·期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 岁． 44．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）我们知道，无限循环小数都可以化为分数．例如，将转化为分数时，可设则，所以，解得，即．仿此方法将化成分数 ． 45．（24-25六年级上·上海·期中）如果一个数与的差的相反数是，那么这个数是 ． 【考点14 古代问题（一元一次方程的应用）】 46．（23-24七年级上·河南新乡·期末）中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有y辆车，则下列符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 48．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 过关检测 1．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）一列动车从甲站开往乙站，若动车以180千米/小时的速度行驶，能准时到达乙站，现在动车以160千米/小时的速度行驶了2小时后把速度提高到240千米/小时，也能准时到达乙站，求甲、乙两站之间的距离． 2．（2022六年级上·上海·专题练习）两个城市相距225千米，一辆客车和一辆货车同时从这两城市相对开出，2.5小时后相遇，已知货车与客车速度比是4︰5，客车和货车每小时各行多少千米？ 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 4．（23-24六年级下·上海青浦·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为 ． 5．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）某超市糯米的价格为元千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过千克时，按原价售出，超过千克时，超过的部分打折，若某人付款元，则他购买了 千克糯米． 6．（24-25六年级上·上海·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 7．（22-23六年级下·上海虹口·期中）某商场计划用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 进价（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 (1)求这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场销售完这批台灯时的盈利率是，求商场型台灯商场售价a． 8．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 9．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 10．（2024七年级下·全国·专题练习）若三个数之比为，且这三个数之和为90，则这三个数分别是 ． 11．（23-24六年级下·上海·期中）一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 12．（24-25六年级上·上海闵行·期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 13．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 14．（23-24六年级上·上海松江·期末）甲乙两个车间工作人员的人数之比是，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的，甲车间原有多少人？ 15．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 15．（21-22六年级下·上海普陀·期中）某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 16．（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）如图为年月的日历：    (1)在日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数： ①若框出的3个数中最小的数是9，则这3个数中最大的数是______； ②若框出的3个数的和为，则这3个数在星期几？ (2)在日历上用一个“十”字（如图中阴影部分）任意框出其中的5个数，设框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为，求的值． 17．（24-25六年级上·上海·期中）李明家有一块长方形地，面积为270平方米，他用这块地的种草莓，其余种蓝莓和番茄两种作物． (1)李明家种草莓的面积是多少平方米？ (2)种植蓝莓的面积比番茄的面积少，求种植蓝莓的面积是多少平方米？ 18．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上有，两条线段（在右侧），点到点的距离与点到点的距离之差为3，，数轴上点，表示的数分别是，12．    (1)________，______． (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴一直向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，运动时间为秒．（运动过程中点始终在点右侧，点在点右侧，线段，长度不变） ①当点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时，求线段的长度． ②当线段与重合部分的线段长为1时，求的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次方程的应用 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 知识点2 一元一次方程应用题的类型 1.一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 2.利用方程解决实际问题的基本思路： 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 考点剖析 【考点1 行程问题（一元一次方程的应用）】 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据放学及上学路上所花时间之间的关系，可得出放学路上所花的时间小时，利用路程=速度×时间，结合从家到学校的距离不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵放学路上比上学所花的时间多小时，上学路上所花的时间为x小时， ∴放学路上所花的时间小时， 根据题意得：， 故选：C． 3．（23-24六年级下·上海·期末）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 【答案】 【分析】题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 可以设自动扶梯在单位时间上升级，单位时间内甲登楼级数为阶，总扶梯阶数不变即可得方程，解方程可得，代入其中一个代数式即可得扶梯阶数． 【详解】解：设电梯上行在单位时间内上升阶，单位时间内甲登楼级数为阶，列方程得： ， 解得：， ∴楼下到楼上自动扶梯级数为阶， 故答案为：． 4．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 【答案】9千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可． 【详解】55分钟=小时，1小时10分钟=小时， 设山路x千米，由题意得， 解得：  ， (小时)， (小时) ， (千米)， (千米)， 答：营地到学校有9千米． 5．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 【答案】32km 【分析】设A、B两地路程是，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设A、B两地路程是． 由题意得：， 解得：． 答：A、B两地路程是32． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解答的关键． 【考点2 配套问题（一元一次方程的应用）】 6．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可知生产乙零件的工人有名， 根据题意有：． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 8．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)12；20 (2)100张裁剪A型， 30张裁剪B型；300个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，列出算式计算即可； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，根据1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：12，20； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用张原材料板材裁剪B型纸板， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做300个纸盒． 【考点3 工程问题（一元一次方程的应用）】 9．（23-24七年级下·全国·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，再根据题意列出方程即可得． 【详解】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为， 由题意得： 故选：A． 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键．设甲、乙一共用x天完成，则剩下的甲单独干天，然后根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙一共用x天完成，则剩下的甲单独干天， 甲的工作效率为：，乙的工作效率为：， 根据题意得， 故选：C． 11．（23-24七年级上·四川成都·期末）举世瞩目的北京冬奥会开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要天完成．现计划由部分车间先生产天，然后再增加两个车间一起生产天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排 个车间进行生产． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应先安排个车间进行生产， 依题意得，解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】设应先安排个车间进行生产， 依题意得：， 解得：． 则应先安排个车间进行生产， 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海·期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【答案】1.25小时 【分析】考查了一元一次方程的应用，把这一水池水看作单位1，根据工作效率工作总量工作时间，可得甲、乙、丙的工作效率分别为、、，据此结合题意列方程求解即可． 【详解】解： 设再过小时后便可将水池注满水，依题意有 ， 解得． 答：三管齐开，再过1.25小时后便可将水池注满水． 【考点4 销售盈亏（一元一次方程的应用）】 13．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据原价的等于30，列方程求解． 【详解】解：设原价是元， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 14．（23-24六年级下·上海松江·期末）一件商品，按标价八折销售盈利元，按标价六折销售亏损，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的成本不变 C．商品的售价不变 D．商品的销售量不变 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，含百分数的一元一次方程．标价为元，根据商品的成本不变列出方程解答即可． 【详解】解：设标价为元，则 成本价，成本价， 所以小明同学列方程：的依据是商品的成本不变． 故选：B． 15．（23-24七年级下·四川眉山·期中）青神德迈盛超市在“六一”儿童节，将一种儿童玩具按标价9折出售，仍获利润，若该玩具标价为40元，那么该玩具进价为（    ） A．29元 B．30元 C．31元 D．32元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设该玩具进货价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该玩具进货价为元， 根据题意得，， 解得：， 故选：B． 16．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某商品标价800元，因“6.18”活动打九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价是 ． 【答案】600 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．本题的等量关系为：售价进价利润，依此列出方程即可． 【详解】 解：设进价为元， 则：， 解得：． 故答案为：600． 【考点5 比赛积分（一元一次方程的应用）】 17．（23-24六年级上·山东威海·期末）某磁性飞镖游戏的靶盘，珍珍玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如右表：若珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶，本局得分19分，则的值为 ． 投中位置 区 区 脱靶 一次计分（分） 3 1 【答案】6 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得：； 故答案为6． 18．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题题，列出方程求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设小聪答对了道题，则答错了道题，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴小聪答对了道题，则答错了道题， 故答案为：，． 【考点6 方案选择（一元一次方程的应用）】 19．（22-23七年级上·广东广州·期中）为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据人数不变即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程． 20．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【答案】303 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 【考点7 数字问题（一元一次方程的应用）】 21．（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，一个的方格中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，则的值是（    ） 7 9 6 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设右下角的数字为，根据题意可列式求出，再由可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设右下角的数字为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 22．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 23．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）小明同学在本子上写出了三个连续的正整数a，b，c，并求出了它们的和为81，则这三个数中间的数b是（    ） A．27 B．25 C．23 D．80 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．根据题意可知，，是三个连续的正整数，因此，，再根据，可知，即，求解即可． 【详解】解：，，是三个连续的正整数， ，， ， ，即， ， 故选：A 24．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，一元一次方程的应用，以及幻方的特征和应用，首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和中间格的数，分别列方程求出、的值各是多少，再把求出的、的值相加即可． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由，可得：， 由，可得：， ∴． 故答案为：． 25．（23-24六年级下·上海普陀·期中）已知三个连续奇数的和是111，如果设最小的奇数为x，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程：审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．本题的关键是相邻奇数的关系．设最小的奇数为，则另外两奇数分别为，然后根据三个连续奇数的和为111列方程即可． 【详解】解：设最小的奇数为， 根据题意得． 故答案为：． 【考点8 几何问题（一元一次方程的应用）】 26．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度． 【详解】解：， 可以设，，， 而、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 故选：D． 27．（24-25六年级上·上海·期中）如图，点为数轴的原点，点，在数轴上分别表示数，，且，满足，在数轴上有一点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，求点在数轴上表示的数 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，先由非负数的性质得到，则，设点M表示的数为x，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设点M表示的数为x，则， ∵点到点的距离是点到点的距离的3倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴点M表示的数为或， 故答案为：或． 28．（24-25六年级上·上海·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数3，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为________； (2)若点表示数，点表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是________； (3)点表示数，点表示数25，为数轴上一点，且点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数________． 【答案】(1) (2)， (3)65或45或105 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“联盟点”的定义，以及求数轴上两点之间距离的方法． （1）根据“联盟点”的定义可得或，设点M表示的数为m，得出m的取值范围为，然后进行分类讨论即可； （2）根据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可； （3）设点P表示的数为x，然后进行分类讨论：当点A是点B和点P的“联盟点”时，当点B是点A和点P的“联盟点”时，当点P是点A和点B的“联盟点”时． 【详解】（1）解：∵点M是点A，B的“联盟点”， ∴或， 设点M表示的数为m， ∵点M在A、B之间，且表示一个负数， ∴ 若，则， 解得：，不合题意，舍去； 若，则， 解得：，符合题意， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ∵， ∴是点A，B的“联盟点”， ， ∵， ∴不是点A，B的“联盟点”， ， ∵， ∴不是点A，B的“联盟点”， ， ∵， ∴是点A，B的“联盟点”， 综上：，是点A，B的“联盟点”； （3）设点P表示的数为x， 当点A是点B和点P的“联盟点”时，， 则， 解得：； 当点B是点A和点P的“联盟点”时， 若，则， 解得：， 若，则， 解得：； 当点P是点A和点B的“联盟点”时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上：点P表示的数为65或45或105， 故答案为：65或45或105． 29．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读：出入相补原理：一个平面几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变．出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建．所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系． 解决问题：如图所示，一个阴影四边形，其外侧是边长为的正方形，求阴影部分面积是正方形面积的几分之几？ 【答案】阴影部分面积是正方形面积的 【分析】本题考查了割补法求面积，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合．通过移置可知，阴影部分的面积空白部分的面积中间长方形的面积，可求出中间长方形的面积为，设空白部分的面积为，根据题意列方程求出，进而求出阴影面积，即可求解． 【详解】解：通过移置可知，阴影部分的面积空白部分的面积中间长方形的面积， 中间长方形的面积为， 设空白部分的面积为，则阴影部分的面积为， 根据题意可得：， 解得：， 阴影部分的面积为， 阴影部分面积是正方形面积的． 30．（24-25六年级上·上海·期中）【阅读材料】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．我们知道，是5的绝对值，可以理解为数5在数轴上所对应的点到原点的距离，表示5与2的差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果有理数a、b在数轴上对应的点为点A、B，那么A、B两点之间的距离就可以表示为． 【理解运用】 请你结合数轴，运用阅读材料回答下列问题： (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_______； (2)如果，那么_______； (3)如果有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，那么所有符合条件的整数a的和为_______； (4)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得或，分别解方程即可得到答案； （3）分，，，三种情况分别去绝对值后解方程确定a的值，最后求和即可； （4）仿照（3）去绝对值解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （3）解：∵有理数a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7， ∴， ∴， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，此时恒成立； 当时，则，解得（舍去）； 综上所述，当时，满足， 所有符合条件的整数a为， ∴所有符合条件的整数a的和为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴当时，则，解得； 当时，则，此时不符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，或． 【考点9 和差倍分问题（一元一次方程的应用）】 31．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校今年艺术单项比赛共有人参加，比赛的人数比去年增加还多3人．则去年参加比赛的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设去年参赛的人数为x，再根据今年的比赛人数相等得出方程，求出解即可． 【详解】解：设去年参赛的人数为人， 则：， 解得：， 则去年参赛的人数为人． 故选：A． 32．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设分派站现有包裹x件， 依题意得：， 解得：， 故选：A． 33．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某班数学兴趣小组的女生人数是全组人数的一半，如果增加2名女生，那么女生人数是全组人数的，设该小组原来女生人数是x人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先根据题意得到该组原来人数为人，然后根据“增加2名女生后，女生人数是全组人数的，”列方程求解即可． 【详解】解：设该小组原来女生人数是x人，则该组原来人数为人， 根据题意，得， 故答案为：． 34．（21-22六年级上·上海长宁·期末）小红看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，这时还剩51页没看，这本书一共有多少页？ 【答案】一共有120页 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这本书一共有x页，根据“还剩51页没有看”列方程求解，找到相等关系是解题的关键． 【详解】设这本书一共有x页， 则：， 解得：， 答：这本书一共有120页． 【考点10 电费和水费问题（一元一次方程的应用）】 35．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过，每立方米收费3元；若用水超过，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 ． 【答案】26 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要认真审题确定等量关系． 设小明家3月份用水，先求出用水量为时应交水费，与89比较后即可得出，再根据题意得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明家3月份用水， 当用水量为时， 应交水费为（元）． ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：他家该月用水． 故答案为：26． 36．（24-25八年级上·上海·单元测试）国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的纳税；超过4000元的按全部稿费的纳税．现某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 【答案】3800元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出正确的数量关系是解题的关键． 设这个人的稿费是x元，由共纳税420元，列出方程可求解． 【详解】解：设这个人的稿费是x元， 当时，可得， 解得元， 当时，可得：， 解得（舍去）， 答：这个人的稿费是3800元． 【考点11 比例分配（一元一次方程的应用）】 37．（22-23六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 38．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 【考点12 日历问题（一元一次方程的应用）】 39．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，设中间的数为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数， ∴ ∴ 故答案为：21 40．（22-23七年级上·广东湛江·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【答案】(1)横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7 (2)这三天分别是17号、24号、31号 【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用： （1）直接观察，即可得出结果； （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：月历中，横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7． （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，则上面的一个数为，下面的一个数为． 依题意得，， 解得： 所以； 答：这三天分别是17号、24号、31号． 【考点13 其他问题（一元一次方程的应用）】 41．（21-22六年级下·上海闵行·期中）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：学校住宿的学生人数为x，根据题意得： ， 故选：C． 42．（23-24七年级上·河南郑州·期末）新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，设加入篮球社团有人，得到加入音乐社团有人，结合七年级一班共有30位同学报名加入了社团，且两个社团都加入的有8人，即可得到答案，读懂题意，准确根据等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设加入篮球社团有人，根据题意列方程为， 故选：B． 43．（24-25六年级上·上海·期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 岁． 【答案】67 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，妙妙和奶奶的年龄差是不变的，结合数轴可得答案． 【详解】如图所示，A表示妙妙现在的年龄，B表示奶奶现在的年龄，妙妙和奶奶的年龄差是不变的，则： ，解得：， ，， 所以点A表示数16，点B表示数67， ∴奶奶现在67岁了， 故答案为：67． 44．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）我们知道，无限循环小数都可以化为分数．例如，将转化为分数时，可设则，所以，解得，即．仿此方法将化成分数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设，则，从而得到，即可求解． 【详解】解：设，则， 所以， 解得， 即． 故答案为：． 45．（24-25六年级上·上海·期中）如果一个数与的差的相反数是，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数及一元一次方程的应用，设这个数是，根据“一个数与的差的相反数是”列出方程求解即可．正解理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：这个数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个数是． 故答案为：． 【考点14 古代问题（一元一次方程的应用）】 46．（23-24七年级上·河南新乡·期末）中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有y辆车，则下列符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有y辆车，根据人数相等，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有y辆车， 根据人题意，得． 故选C． 47．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗，根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得：， 解得， 所以羊的主人赔斗，牛的主人赔（斗）， 所以牛主人比羊主人多赔偿（斗）． 故答案为：． 48．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 【答案】15人分112两银 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理清数量关系、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设有x人，然后根据题意列出方程求得x的值，进而求得银的两数． 【详解】解：设有x人， 由题意可得：，解得： 则银两． 答：15人分112两银． 过关检测 1．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）一列动车从甲站开往乙站，若动车以180千米/小时的速度行驶，能准时到达乙站，现在动车以160千米/小时的速度行驶了2小时后把速度提高到240千米/小时，也能准时到达乙站，求甲、乙两站之间的距离． 【答案】甲、乙两站之间的距离为480千米 【分析】设甲、乙两站之间的距离为x千米，根据行程问题中的时间不变列出方程解答即可 【详解】解：设甲、乙两站之间的距离为x千米， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲、乙两站之间的距离为480千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 2．（2022六年级上·上海·专题练习）两个城市相距225千米，一辆客车和一辆货车同时从这两城市相对开出，2.5小时后相遇，已知货车与客车速度比是4︰5，客车和货车每小时各行多少千米？ 【答案】客车每小时行50千米，货车每小时行40千米 【分析】根据行程中的相遇公式，，可知货车和客车的速度和为：（千米/小时），再利用货车与客车的速度比，可得出答案． 【详解】解：由题意可知货车和客车的速度和为：（千米/小时） 货车的速度为：（千米/小时） 客车的速度为：（千米/小时） 答：客车每小时行50千米，货车每小时行40千米． 【点睛】本题主要考查了比例的应用和相遇问题，灵活运用所学的知识是解题的关键． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【答案】分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 4．（23-24六年级下·上海青浦·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程组的应用，设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；从而可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 5．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）某超市糯米的价格为元千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过千克时，按原价售出，超过千克时，超过的部分打折，若某人付款元，则他购买了 千克糯米． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意先求出某人购糯米超过千克．设某人购糯米千克，再由所给折扣以及所付钱数列出方程求解即可． 【详解】解：由于． ∴某人购糯米超过千克． 设某人购糯米千克， 由题意得：． 解这个方程得， ∴他购买了3千克糯米， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 【答案】(1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的 (2)乙还需要10天才能完成 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时由甲、乙的工作量之和等于总工作量建立方程是关键． （1）设工作量为1，根据甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，即可求出甲乙的工作效率，再求和即可； （2）设乙还需要x天才能完成，由甲、乙的工作量之和再加上乙单独做的工作量等于总工作量建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 答：两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的； （2）解：设乙还需要x天才能完成，根据题意： 解得：， 答：乙还需要10天才能完成． 7．（22-23六年级下·上海虹口·期中）某商场计划用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 进价（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 (1)求这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场销售完这批台灯时的盈利率是，求商场型台灯商场售价a． 【答案】(1)购进型节能台灯盏，购进型节能台灯盏 (2)元/盏 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）设购进型节能台灯盏，则购进型节能台灯盏，根据“商场计划用元购进、两种新型节能台灯共盏”列出方程求解即可； （2）根据销售一盏型节能台灯盈利元，销售一盏型节能台灯盈利元，根据“商场销售完这批台灯时的盈利率是”列出方程求解即可； 找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设购进型节能台灯盏，则购进型节能台灯盏， 依题意，得：， 解得：， 则， 答：购进型节能台灯盏，购进型节能台灯盏； （2）销售一盏型节能台灯盈利元，销售一盏型节能台灯盈利元， 依题意，得：， 解得：， 答：商场型台灯商场售价元/盏． 8．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【答案】这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球？罚中2个球． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个，再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球，罚中2个球． 9．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 【答案】28元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．先根据题意分析清楚小明所付的252元和554元的实际价值是多少，然后再分别代入对应的优惠方案中求得其实际价值后再计算小亮所要购物的实际价值是多少，代入对应优惠方案中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴小明付款252元所购的实际价值为元， ∵， ∴可设小明付款554元所购的实际价值设为x元，根据题意得： ， 解得：， ∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为（元）， 即所付款数为（元）， 元， 答：他可比小明少付28元． 10．（2024七年级下·全国·专题练习）若三个数之比为，且这三个数之和为90，则这三个数分别是 ． 【答案】10、20、60 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； 设最小的数为，则另外两个数为，根据这三个数之和为90列方程求出x即可． 【详解】解：设最小的数为，则另外两个数为， 由题意得：， 解得：， 则， 所以这三个数分别是10、20、60， 故答案为：10、20、60． 11．（23-24六年级下·上海·期中）一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一位数为，则这两位数为，再根据题意列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：设一位数为，则这两位数为 ∵把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360， ∴， 解得， 则， ∴这个两位数是． 12．（24-25六年级上·上海闵行·期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4.5； （4）1.5或9.5 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意， ，点 对应的数为 ，用代数式表示 ，列方程求解即可； ②根据动点从点向左出发，点对应的数为，由、两点之间的距离为8个单位长度，分两种情况：当点在点的右侧时，，当点在点的左侧时，，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，折叠问题，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 13．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)经过2秒，秒，P、Q两点相距； (3) 【分析】（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，， ∴，而， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点 ∴，而， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒 则， ∵点Q运动到O点时停止运动 ∴点Q最多运动时间为 依题意，分以下两种情况： ①当点P、Q相遇前， ，即， 解得 ②当点P、Q相遇后， ， ， 解得：，经检验不符合题意，舍去； 当时，与重合，停止运动， 此时， 当再运动时，相距， 此时， 综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， 点E、F分别为和的中点， ， 则． 【点睛】本题考查了线段的和差、线段的中点定义，一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 14．（23-24六年级上·上海松江·期末）甲乙两个车间工作人员的人数之比是，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的，甲车间原有多少人？ 【答案】甲车间原有54人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲车间原有人，则乙车间原有人，根据从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的列出方程求解即可． 【详解】解：设甲车间原有人，则乙车间原有人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲车间原有54人． 15．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【答案】(1)； (2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样． 15．（21-22六年级下·上海普陀·期中）某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 【答案】六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册 【分析】设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册，根据他们共捐了374册，列方程求出x，即可得出这三个班级各捐多少册． 【详解】解：设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册， 依题意有：， 解得， ∴，，， 答：六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 16．（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）如图为年月的日历：    (1)在日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数： ①若框出的3个数中最小的数是9，则这3个数中最大的数是______； ②若框出的3个数的和为，则这3个数在星期几？ (2)在日历上用一个“十”字（如图中阴影部分）任意框出其中的5个数，设框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为，求的值． 【答案】(1)①；②星期六 (2) 【分析】（1）①根据同列数字间差值为7，即可作答； ②列一元一次方程计算即可； （2）根据（1）方法，找到数据间关系列一元一次方程即可求解； 【详解】（1）解：①因为日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数，且框出的3个数中最小的数是9， 那么这3个数中最大的数是； ②设框出的3个数中最小的数是， 依题意得：， 解得， 由日历可知，则这3个数在星期六； （2）解：因为框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为， 那么， 解得， 则． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，涉及日历问题，解题的关键是找出日历里数据间关系列出等价式子． 17．（24-25六年级上·上海·期中）李明家有一块长方形地，面积为270平方米，他用这块地的种草莓，其余种蓝莓和番茄两种作物． (1)李明家种草莓的面积是多少平方米？ (2)种植蓝莓的面积比番茄的面积少，求种植蓝莓的面积是多少平方米？ 【答案】(1)李明家种草莓的面积是150平方米 (2)种植蓝莓的面积是45平方米 【分析】此题考查了分数四则混合运算的应用题，一元一次方程的应用，列出正确的算式是解本题的关键． （1）根据分数乘法的意义列出算式计算可求李明家种草莓的面积； （2）先求出种蓝莓和番茄两种作物的面积，设种植番茄的面积为x，则种植蓝莓的面积为，再根据种蓝莓和番茄两种作物的面积列出方程可求解即可． 【详解】（1）解：（平方米） 答：李明家种草莓的面积是150平方米； （2）解：种蓝莓和番茄两种作物的面积为（平方米） 设种植番茄的面积为x，则种植蓝莓的面积为，根据题意： ， 解得：，则（平方米） 答：种植蓝莓的面积是45平方米． 18．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上有，两条线段（在右侧），点到点的距离与点到点的距离之差为3，，数轴上点，表示的数分别是，12．    (1)________，______． (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴一直向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，运动时间为秒．（运动过程中点始终在点右侧，点在点右侧，线段，长度不变） ①当点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时，求线段的长度． ②当线段与重合部分的线段长为1时，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)①，②或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示各个点运动后表示的数． （1）根据点到点的距离与点到点的距离之差为3，即可得出， 根据即可得出； （2）①根据题意得出点A表示的数为，则，进而推出点D表示的数为7，即可解答；②根据题意可得点A表示的数为，点B表示的数为则，点C从点N运动到点M所需时间为，然后进行分类讨论：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点到点的距离与点到点的距离之差为3， ∴， ∴． 故答案为：2，3． （2）解：①∵点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时， ∴点A表示的数为， ∵点表示的数为， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点D表示的数为， ∴； ②根据题意可得点A表示的数为， ∵，点始终在点右侧， ∴点B表示的数为， ∵点，表示的数分别是，12， ∴， ∴点C从点N运动到点M所需时间为， （Ⅰ）当时， ∵点N表示的数为12， ∴此时点C表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点D表示的数为， 当时，， 解得：，    当时，， 解得：，    （Ⅱ）当时， 点C表示的数为，点D表示的数为， 当时，， 解得：，    当时，， 解得：（舍去），    （Ⅲ）当时， 点C表示的数为，点D表示的数为， 当时，， 解得：，    综上：或或或． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$