复习专题01 集合及其运算（12考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题01 集合及其运算 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：集合的概念与元素特性 1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的． 知识点2：元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点3：集合的表示方法 1、自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ 2、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开；集合中的元素必须是明确的；集合中的元素不能重复；集合中的元素可以是任何事物． 3、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． 4、图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法． 知识点4：集合间的基本关系 1、子集、真子集、相等、空集 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点5：集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 考点剖析 【考点1 元素与集合关系的判定】 1．（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A.因为为有理数，所以，选项A正确， B.因为为无理数，所以是实数，所以，选项B错误， C.因为0不是正整数，所以，选项C错误， D.因为为无理数，所以，选项D错误.故选：A 2．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个.故选：A. 3．（24-25高一上·江苏常州·月考）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，．故选：D. 4．（24-25高一上·江苏·月考）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，令，解得，所以A错误； 对于B中，令，解得，所以B错误； 对于C中，令，解得，所以C错误， 对于D中，令，解得，所以D正确．故选：D. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确．故选：BCD． 【考点2 根据元素与集合的关系求参数】 6．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，解得， 即实数的取值范围为.故选：A. 7．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确．故选：A． 8．（24-25高一上·福建泉州·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴或，解得或， 当时，不满足集合的互异性，故舍弃， 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：． 9．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【解析】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 10．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【解析】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 【考点3 根据集合中元素个数求参数】 11．（23-24高一下·安徽滁州·月考）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为.故选：D. 12．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知集合，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为集合， 所以，解得， 即实数的取值范围是.故选：D. 13．（22-23高一上·河北衡水·月考）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B． C．8 D．9 【答案】ABC 【解析】当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有8，4，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故C可选， 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选，故选：ABC． 14．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】由集合中元素的互异性可知：，解得且， 故时，，满足题意. 故答案为： 1（答案不唯一） 15．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 . 【答案】 【解析】集合表示关于的方程的解集， 因为集合中只有一个元素， 当，即，解得，此时，符合题意； 当，则，解得或， 当时，时，符合题意； 综上可得的所有可能取值组成的集合为. 故答案为： 【考点4 集合与集合间关系的判定】 16．（24-25高一上·江苏淮安·月考）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋B D． 【答案】C 【解析】集合，，则⫋B.故选：C． 17．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，则.故选：B 18．（24-25高一上·天津·月考）若，则集合间的关系为（    ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【答案】B 【解析】且，所以⫋.故选：B. 19．（24-25高一上·河北石家庄·月考）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合 而集合，表示直线上所有点组成的集合， 所以．故选：B． 20．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知集合，，，则、、的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故，因此, ,故， 故⫋，所以⫋，故选：B． 【考点5 根据集合间的关系求参数】 21．（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，满足，此时，解得：； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为.故选：C. 22．（24-25高一上·江苏徐州·月考）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①当时，，，故，解得，故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得，故； 综上所述：.故选：A 23．（24-25高一上·江苏苏州·月考）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D．1或2 【答案】B 【解析】由，得， 若，则，此时，，不满足，不合题意； 若，则，此时，，满足； 所以.故选：B 24．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，则． 因为，所以为方程的解集． ①若，则，所以或或， 当时，有两个相等实根，即不合题意， 同理，不合题意， 当时，符合题意． ②若，成立，则，即． 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 25．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，，且，则实数的值是 . 【答案】或0 【解析】当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 故答案为：或. 【考点6 确定集合的子集或真子集】 26．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】，所以集合的个数与的子集的个数相等，个数为.故选：C． 27．（24-25高一上·河南信阳·月考）集合M满足⫋,则集合M的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由⫋可知，可以取 共7个.故选：C. 28．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知集合满足⫋⫋，则所有满足条件的集合的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：中必含有元素，且至少含有元素中的一个， 集合的个数等价于集合的非空真子集的个数，即有个.故选：B. 29．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个，故选：D. 30．（23-24高一上·江苏镇江·月考）集合的非空真子集的个数是 . 【答案】30 【解析】因为， 所以其非空真子集的个数为， 故答案为：30 【考点7 集合相等及其应用】 31．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（多选）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，集合表示数集，集合表示点集，两者不相等，故B错误； 对于C，因为点与点不一定重合，所以两个集合不一定相等，故C错误； 对于D，空集是任意集合的子集，故D正确．故选：AD． 32．（24-25高一上·广东珠海·月考）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合 D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 33．（24-25高一上·河北邢台·月考）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【解析】因为集合， 若，则或，解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时.故选：A. 34．（24-25高一上·重庆·月考），若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，或，∴或， 由集合元素互异性可知，则实数的取值集合为.故选：A. 35．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以，故选：C. 【考点8 集合的交并补混合运算】 36．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故，故.故选：B 37．（24-25高一上·江苏常州·月考）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 故，故选：D 38．（24-25高一上·江苏·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，则.故选：C 39．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以或，又因为， 所以或.故选：D. 40．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（多选）若集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 因为 ，所以， 又是奇数，是偶数， 所以，，，，故ABD正确，C不正确；故选：ABD. 【考点9 根据集合的运算结果求参数】 41．（24-25高一上·海南海口·月考）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2，故选：B 42．（24-25高一上·福建福州·期中）集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵全集R，或，，， ∴， 结合数轴可知，当时，， 故（R为实数集）时，a的取值范围为，故选：C． 43．（24-25高一上·江苏苏州·月考）集合，若．则实数a的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：.故选：A. 44．（24-25高一上·天津·月考）已知集合或，，且，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】或，，且， ，解得：． 故答案为：． 45．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 当时，，则或， 此时，. （2）因为，则， 显然，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【考点10 空集的运算及其性质应用】 46．（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列是关于的描述，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于AB，，故A正确，B错误； 对于CD，，，故CD正确.故选：B. 47．（24-25高一上·江苏通州·月考）下列写法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．，故选项不正确，不符合题意； B．是没有元素的，故，故选项不正确，不符合题意； C．空集是任何集合的子集，故选项正确，符合题意； D．，是集合与集合之间的关系，故选项不正确，不符合题意；故选：C． 48．（24-25高一上·上海·月考）以下几个关系中正确的是（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为方程无实数解，所以，则，所以B错误， 对于C，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，所以C正确， 对于D，若，则，此时，所以D错误，故选：C 49．（23-24高一上·江苏扬州·月考）（多选）下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，两个集合之间是包含关系，故A错误； 对于B，，是相等的集合，所以，故B正确； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，空集与一个非空集合不相等，故D错误．故选：BC． 50．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确．故选：BCD． 【考点11 Venn图在集合运算中的应用】 51．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 【答案】A 【解析】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：.故选：A. 52．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下： 对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误；故选：C. 53．（24-25高一上·福建·期中）如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示， A. 对应的是区域1； B. 对应的是区域2； C. 对应的是区域3； D. 对应的是区域4故选：B 54．（23-24高一上·江苏苏州·月考）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图中阴影部分可知，阴影部分相应的元素要么在集合的交集中， 要么在集合的交集中， 故阴影部分用集合符号可以表示为，故选：D 55．（24-25高一上·江苏无锡·月考）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【答案】A 【解析】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为,,； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图． 根据题意，有， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此，解得．因此学生总数为． 故选：A. 【考点12 集合运算的创新问题】 56．（24-25高一上·江苏苏州·月考）定义集合，的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以，即中的元素个数为4.故选：C 57．（23-24高一上·浙江绍兴·月考）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与集合B的差集，记作．现已知集合，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 则，故A正确； ，故B正确； ,故C不正确； ，故，故D正确.故选：C 58．（24-25高一上·江苏苏州·期中）（多选）给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【解析】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集有上确界，设， 由上确界的定义可知，对于，都有， 所以， 即，故C正确； 对于D，若，则数集有上确界，且， 此时， 则，故D错误.故选：AC. 59．（24-25高一上·江苏常州·月考）（多选）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（    ） A．若，则 是的环 B．若，则存在的一个环，含有8个元素 C．若，则存在的一个环，含有4个元素且 D．若，则存在的一个环，含有7个元素且 【答案】ABC 【解析】由题意知：①，②若，则且， 对于A，全集且， 满足且当时，可得且，所以A正确； 对于B，由的子集，共8个元素， 若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确； 对于C，若，可得， 所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确； 对于D，若， 可得，， ， ，，且， 所以集合中至少有8个元素，所以D错误.故选：ABC. 60．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集. (1)分别判断集合是不是理想数集； (2)任取一个元理想数集，求证：； 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【答案】(1)集合是理想数集，集合不是理想数集；(2)证明见解析 【解析】（1）设的随影数集分别为， 则， 所以集合是理想数集，集合不是理想数集. （2）不妨设集合且，即. 为理想数集，，则，且，使得. 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当时，等号成立. 综上所述：. 过关检测 1．（24-25高一上·江苏淮安·月考）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为N表示自然数集，Z表示整数集，R表示实数集，Q表示有理数集， 所以只有选项D正确.故选：D 2．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为.故选：A. 3．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根， 当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，所以，解得． 综上，实数a的取值范围为．故选：D 4．（24-25高一上·全山东聊城·月考）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以，故选：A 5．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知集合满足，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】， 则，即， 所以满足的集合有， 共个.故选：C. 6．（23-24高一上·吉林·月考）已知集合，，，则M，N，P的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】B 【解析】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以⫋.故选：B. 7．（24-25高一上·福建福州·月考）（多选）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确.故选：AD. 8．（23-24高一上·广东茂名·期中）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】ABD 【解析】因为，，且， 当时，即，此时,，满足； 当时，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，满足； 综上所述，实数的值可以是.故选：ABD 9．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（多选）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】A选项，，，所以，所以A选项正确. B选项，，，， 则，所以B选项正确. C选项，，，所以C选项错误. D选项，若， 则， 所以D选项正确.故选：ABD 10．（24-25高一上·江苏徐州·期中）设集合的所有非空子集为，其中.设中所有元素之和为，则 . 【答案】 【解析】集合中的每一个元素出现在非空子集中的次数为次， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由或， 则，解得， 故答案为：. 12．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【解析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 13．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或， 或；(2). 【解析】（1）集合，或， 所以或，或， 所以或. （2）由或得， 所以. 14．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知集合，，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），， 若，则， 情形一：若，则，此时满足， 故符合题意； 情形二：若，则首先，其次还要满足， 所以； 综上所述，满足题意的m的取值范围是； （2）若，则首先，即， 其次还需满足或，解得或， 综上所述，满足题意的的取值范围为. 75．（24-25高一上·江苏南京·月考）对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. (1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； (3)设集合，若，求证：. 【答案】(1)不具有孪生性质，具有孪生性质；(2)675；(3)证明见解析． 【解析】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合及其运算 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：集合的概念与元素特性 1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的． 知识点2：元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点3：集合的表示方法 1、自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ 2、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开；集合中的元素必须是明确的；集合中的元素不能重复；集合中的元素可以是任何事物． 3、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． 4、图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法． 知识点4：集合间的基本关系 1、子集、真子集、相等、空集 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点5：集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 考点剖析 【考点1 元素与集合关系的判定】 1．（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·江苏常州·月考）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏·月考）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 根据元素与集合的关系求参数】 6．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·福建泉州·月考）已知，则的值为 ． 9．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 10．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【考点3 根据集合中元素个数求参数】 11．（23-24高一下·安徽滁州·月考）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知集合，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 13．（22-23高一上·河北衡水·月考）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B． C．8 D．9 14．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 15．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 . 【考点4 集合与集合间关系的判定】 16．（24-25高一上·江苏淮安·月考）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋B D． 17．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·天津·月考）若，则集合间的关系为（    ） A．⫋ B．⫋ C． D． 19．（24-25高一上·河北石家庄·月考）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知集合，，，则、、的关系满足（    ） A． B． C． D． 【考点5 根据集合间的关系求参数】 21．（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·江苏徐州·月考）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·江苏苏州·月考）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D．1或2 24．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 25．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，，且，则实数的值是 . 【考点6 确定集合的子集或真子集】 26．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 27．（24-25高一上·河南信阳·月考）集合M满足,则集合M的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 28．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 30．（23-24高一上·江苏镇江·月考）集合的非空真子集的个数是 . 【考点7 集合相等及其应用】 31．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（多选）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·广东珠海·月考）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 33．（24-25高一上·河北邢台·月考）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 34．（24-25高一上·重庆·月考），若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【考点8 集合的交并补混合运算】 36．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·江苏常州·月考）集合，，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·江苏·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（多选）若集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点9 根据集合的运算结果求参数】 41．（24-25高一上·海南海口·月考）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（24-25高一上·福建福州·期中）集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·江苏苏州·月考）集合，若．则实数a的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 44．（24-25高一上·天津·月考）已知集合或，，且，则实数的取值范围是 45．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【考点10 空集的运算及其性质应用】 46．（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列是关于的描述，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·江苏通州·月考）下列写法中正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·上海·月考）以下几个关系中正确的是（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 49．（23-24高一上·江苏扬州·月考）（多选）下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【考点11 Venn图在集合运算中的应用】 51．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 52．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·福建·期中）如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高一上·江苏苏州·月考）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·江苏无锡·月考）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【考点12 集合运算的创新问题】 56．（24-25高一上·江苏苏州·月考）定义集合，的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 57．（23-24高一上·浙江绍兴·月考）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与集合B的差集，记作．现已知集合，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·江苏苏州·期中）（多选）给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 59．（24-25高一上·江苏常州·月考）（多选）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（    ） A．若，则 是的环 B．若，则存在的一个环，含有8个元素 C．若，则存在的一个环，含有4个元素且 D．若，则存在的一个环，含有7个元素且 60．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集. (1)分别判断集合是不是理想数集； (2)任取一个元理想数集，求证：； 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 过关检测 1．（24-25高一上·江苏淮安·月考）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全山东聊城·月考）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知集合满足，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．（23-24高一上·吉林·月考）已知集合，，，则M，N，P的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 7．（24-25高一上·福建福州·月考）（多选）已知集合均为的子集，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东茂名·期中）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 9．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（多选）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 10．（24-25高一上·江苏徐州·期中）设集合的所有非空子集为，其中.设中所有元素之和为，则 . 11．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 13．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 14．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知集合，，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 75．（24-25高一上·江苏南京·月考）对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. (1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； (3)设集合，若，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$