1.2 二次根式的性质（5大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

1.2 二次根式的性质 性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 题型一 利用二次根式被开方数的非负性求值 1．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 【答案】C 【分析】由题意利用二次根式的性质，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围. 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 2．小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（   ） A．商的算术平方根性质 B．分数的基本性质 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，还涉及算术平方根和分数的基本性质．从解答过程中分析，找出对应的知识点即可． 【详解】解：A、，这里用到商的算术平方根性质，故不符合题意； B、，这里用到分数的基本性质，故不符合题意； C、没有用到，故符合题意； D、，这里用到，故不符合题意， 故选：C． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根与有理数的乘方，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质对A、B、D进行判断；根据立方根的定义对C进行判断． 【详解】解：A．，故选项A不符合题意； B．，故选项B不符合题意； C．，故选项C符合题意； D．，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 5．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)2030 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值． （1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； （2）根据错误的原因可得； （3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：当时， 原式 原式 ， 小亮错误， 故答案：小亮． （2）解：由题意得 ； 故答案：． （3）解：当时， 原式 原式 ． 题型二 根据二次根式是整数求字母的值 1.若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 2.已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答． 【详解】解：， 是整数， 满足条件的最小正整数为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键． 3．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 【详解】解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 题型三 数轴与二次根式的化简的综合运用 1. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2. 已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ．    【答案】 【分析】直接利用数轴得出，，的符号，再化简得出答案． 【详解】由题图可知，， ，，， ． 【点睛】本题考查了利用数轴确定式子的符号，二次根式的性质及绝对值的意义，根据数轴确定，，的符号是解答本题的关键． 3. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴得到，，再根据二次根式的性质以及立方根的性质化简，再合并即可． 【详解】解：由图可知，，． ∴， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的性质、实数与数轴上点的对应关系，正确根据去绝对值方法和二次根式的性质进行分析是解决本题的关键． 4. 实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)b． 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质． （1）由数轴可得：，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，； （2）解：由（1）可得，，，， ∴． 题型四 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1. 已知点在第四象限，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，坐标系中各象限坐标的特点，牢记第四象限的点满足横、纵坐标，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键． 根据第四象限的点满足横、纵坐标，得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：点在第四象限， ， ， ∴， 故答案为：． 2．已知点在第四象限，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，坐标系中各象限坐标的特点，牢记第四象限的点满足横、纵坐标，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键． 根据第四象限的点满足横、纵坐标，得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：点在第四象限， ， ， ∴， 故答案为：． 3.若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 4.如图所示，直线，化简= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质和根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当时，，当时，． 根据一次函数的性质，求出、的取值范围，再根据绝对值的性质和二次根式的定义将原式化简即可． 【详解】解：根据一次函数的图象，可知， ∴ 则， 故答案为：． 题型五 化简二次根式 （1） （2） 1．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握是解题的关键，根据进行化简即可． 【详解】解：， 由于， ∴， 故答案为：． 2. 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则计算，再化简，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．已知，则（   ） A． B． C．10 D．100 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，二次根式的性质，解答此题的关键是掌握算术平方根和平方互为逆运算．直接根据算术平方根的定义与二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 4．下列各式中化简正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可. 【详解】A. ，故不正确； B. ，故不正确； C. ，故不正确； D. ，正确； 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键. 1．将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：B． 2．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了二次根式的化简，解题的关键是理解新定义运算，掌握二次根式的化简． 根据新定义运算，对式子进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 5．如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 6．如果代数式的值为7，那么，的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意先求出的值，再整体代入所求的式子当中即可. 【详解】由题意得 故答案为： 【点睛】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，解题时要多注意观察，切记不要直接去解一元二次方程求出y的值，这是解题的关键. 7．已知正整数a，b，c满足，则代数式的值是 ． 【答案】10或11 【分析】本题考查二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 把平方后，根据正整数求解即可． 【详解】解：∵， ， 整理得， ∵正整数，， ， ， 或， 或11． 故答案为：10或11． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2二次根式的性质 性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 题型一 利用二次根式被开方数的非负性求值 1．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 2．小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（   ） A．商的算术平方根性质 B．分数的基本性质 C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 题型二 根据二次根式是整数求字母的值 1.若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 2.已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 3．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 题型三 数轴与二次根式的化简的综合运用 1. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 2. 已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ．    3. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C． D． 4. 实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 题型四 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1. 已知点在第四象限，化简 ． 2．已知点在第四象限，化简 ． 3.若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 4.如图所示，直线，化简= ． 题型五 化简二次根式 （1） （2） 1．化简： ． 2. 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C．10 D．100 4．下列各式中化简正确的是（    ）. A． B． C． D． 1．将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 2．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 3．已知，则的值为 ． 4．若满足等式，则的值为 ． 5．如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是 ． 6．如果代数式的值为7，那么，的值是 ． 7．已知正整数a，b，c满足，则代数式的值是 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$