精品解析：辽宁省大连市西岗区第三十七中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷

八年级（上）月考 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意； B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意； C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意； D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意． 故选D． 2. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】A 【解析】 【详解】A. ∵1+2=3，∴不能组成三角形，故A选项正确； B. ∵2+3>4，∴能组成三角形，故B选项错误； C. ∵3+4>5，∴能组成三角形，故C选项错误； D. ∵4+5>6，∴能组成三角形，故D选项错误． 故选A. 3. 已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ） A. (－2，1) B. (－2，－1) C. (－1，2) D. (2，1) 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：点的坐标关于x轴对称，则对称点坐标也关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数．故P 坐标为（-2，-1），选B. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法分别进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 已知分式的值为 0，则 （ ） A. 1 B. C. 1 或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为 0， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 6. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 64 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，理解“，．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：A． 7. 已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　） A. 95° B. 90° C. 85° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可． 【详解】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠C＝∠B， ∵∠B＝25°， ∴∠C＝25°， ∵∠A＝60°， ∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 8. 若多项式有一个因式为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】多项式x2+kx-8有一个因式是（x-2），则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设另一个式子是（x+a），根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解． 【详解】解：设另一个式子是（x+a）， 则（x-2）•（x+a）， =x2+（a-2）x-2a， =x2+kx-8， ∴a-2=k，-2a=-8， 解得a=4，k=2． 故选A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同． 9. 一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1小时，设这台收割机每小时收割x公顷小麦，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设这台收割机每小时收割x公顷小麦，则农民工每小时收割公顷小麦，再根据工作时间工作总量工作效率列出方程即可． 【详解】解：设这台收割机每小时收割x公顷小麦，则农民工每小时收割公顷小麦， 由题意得，，即， 故选：C． 10. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握利用完全平方公式的变形求值和用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键． 用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行适当的变形，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：ax﹣ay=_____． 【答案】a（x-y）. 【解析】 【详解】试题分析：直接提公因式分解因式即可.ax-ay= a（x-y）. 考点：分解因式. 12. 计算：_______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和单项式除以单项式运算法则，根据积的乘方和单项式除以单项式运算法则，准确计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】利用平方差公式对原式变形，将a-b=3代入后进一步变形，再次代入即可． 【详解】解：a2-b2-6b=(a+b)(a-b)-6b, 当a-b=3时，原式=3(a+b)-6b=3a+3b-6b=3a - 3b=3(a-b) 当a-b=3时，原式=3×3=9 故答案为：9. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握平方差公式，能进行正确变形是解题关键． 14. 如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴与的周长差是 ， 故答案为：8． 15. 如图，在中，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接．则的度数为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，与角平分线有关的三角形的内角和问题，全等三角形的判定和性质，等边对等角求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，证明，得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）计算：化简：． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂，零次幂的含义，整式的混合运算； （1）先计算负整数指数幂，零次幂，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加法运算即可； （2）先利用乘法公式计算乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里通分合并，同时将除法写成乘法，然后再约分，将代入计算即可，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标． （1）请在图中画出关于轴对称的图形（其中分别是的对应点，不写画法）； （2）直接写出三点的坐标：______，______，______； （3）在轴上画出点，使得最小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，结合图形写坐标以及最短距离的问题，掌握轴对称图形的特点是解答本题的关键． （1）按照轴对称图形的特点作图即可； （2）根据图形即可作答； （3）连接，交于y轴于点P，连接，即可找到P点． 【小问1详解】 解：按照轴对称图形的特点作图1如下： 即为所作； 小问2详解】 解：根据（1）的图形可知：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，P点即为所求， 19. 如图1，点C在线段上，点D，E分别在的上方和下方，且，， ． （1）请你从①； ②中选择一个合适的条件填入上述横线中，使得（只填序号），并给出证明； （2）如图2，在（1）条件下，连接，是的中线，探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1）②，证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）选择②，先证明，再证明即可； （2）如图，记的交点为，证明，，可得，证明．可得，，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：选择②．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：．理由如下： 如图，记的交点为， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图1中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （2）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （3）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值． 【答案】（1） （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积； （3）先用，表示，再列方程求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由图形，得； 【小问3详解】 解：， ， ∴，得． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． 21. （1）定义：，，称为，的调和平均数．下列赋予实际意义的例子，其中正确的是_________． ①一辆汽车以的速度由甲地驾往乙地，然后以的速度返回，汽车往返两地的平均速度； ②两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为，乙杯含糖率为，将两杯混合后的含糖率； ③用相等的费用购进甲乙两种不同的糖果，甲糖果的单价为每千克元，乙糖果的单价为每千克元，将甲乙两种糖果混在一起成为什锦糖，这种什锦糖每千克的成本价． （2）甲乙两港口相距10千米，一艘游轮从甲港口顺水航行到乙港口需要小时，从乙港口逆水航行到甲港口需要小时，问：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要多少小时？ 【答案】（1）①③（2）小时 【解析】 【分析】本题考查了新定义“调和平均数”，二元一次方程组的应用； （1）①设甲到乙地的距离为，，化简，即可判断；②设每杯的重量为，，化简，即可判断； ③相等的费用为，，化简，即可判断； （2）设游轮在静水中的速度为千米／小时，水流的速度为千米／小时，由题意得 游轮顺水的速度为（千米／小时），游轮逆的速度为（千米／小时），列方程组可求得，即可求解； 理解新定义，顺流速度静水速度水流速速，逆流速度静水速度水流速速是解题的关键． 【详解】解：（1）①设甲到乙地的距离为， ， 故①符合题意； ②设每杯的重量为， ， 故②不符合题意； ③相等的费用为， ， 故③符合题意； 故答案：①③； （2）设游轮在静水中的速度为千米／小时，水流的速度为千米／小时，由题意得 游轮顺水的速度为（千米／小时）， 游轮逆的速度为（千米／小时）， ， 解得： （小时）； 答：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要小时． 22. 庆祝元旦期间，王老师出了一道“年份题”：求的算术平方根． 王老师提示可将上述问题一般化为：求 的算术平方根（n为正整数），然后对n进行特殊化： 当时， ； 当时， ； 当时， ； … （1）根据以上规律，请直接写出 的算术平方根； （2）根据以上等式规律，请写出第n（n为正整数）个等式，并验证其正确性； （3）小喆同学将上述问题更一般化为：求的算术平方根，并猜想 ，其中m，n为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，m，n应满足什么关系并证明． 【答案】（1） （2），理由见详解 （3）不成立；成立时的条件 【解析】 【分析】本题考查了等式的探究规律，整式乘法的混合运算，完全平方公式和算术平方根的性质； （1）观察等式得，即可求解； （2）可得猜想：，分别对左边、右边进行运算，即可求解； （3）由，可判断是否成立， 若成立，可得，即可求解； 找出规律是解题关键． 【小问1详解】 解： ∴算术平方根为； 【小问2详解】 解：由题意得 ， 左边 ， 右边 ， 左边右边， 故原式成立； 【小问3详解】 解：不成立； ， 不成立， 若成立，则有 ， ， ， ，为正整数， ， ， ． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图2，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点， 使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图3，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长至点， 使，连接，如图所示，由三角形全等的判定定理得到，进而确定，再结合平行线性质确定，最后由等腰三角形的判定与性质得到即可得证； （2）延长至点， 使，连接，如图所示，由三角形全等的判定定理得到，进而确定，，再由三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形性质即可得证； （3）由等腰直角三角形的判定与性质得到，在“字形”三角形和中得到，设，，利用含的直角三角形性质及勾股定理求出，，代值计算即可得证． 【详解】解：（1）延长至点， 使，连接，如图所示： 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）延长至点， 使，连接，如图所示： 为中点， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ，即； （3）如图所示： 在中，，则， ， ， 过作交的延长线于点， ， 在和中，，， 由三角形内角和定理可得， 在中，，则， 设，则，由勾股定理可得， 在中，，则， 设，则，由勾股定理可得， ， ，即， ，即． 【点睛】本题考查几何综合，涉及中点定义、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理及平方差公式等知识，熟练掌握相关几何性质、利用“倍长中线”做出辅助线，运用三角形全等判定与性质求证是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级（上）月考 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ） A (－2，1) B. (－2，－1) C. (－1，2) D. (2，1) 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分式的值为 0，则 （ ） A. 1 B. C. 1 或 D. 0 6. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 64 B. 8 C. D. 7. 已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　） A 95° B. 90° C. 85° D. 80° 8. 若多项式有一个因式为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1小时，设这台收割机每小时收割x公顷小麦，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：ax﹣ay=_____． 12. 计算：_______. 13. 已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是_____． 14. 如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是________． 15. 如图，在中，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接．则的度数为________（用含的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）计算：化简：． 17 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标． （1）请在图中画出关于轴对称的图形（其中分别是的对应点，不写画法）； （2）直接写出三点的坐标：______，______，______； （3）在轴上画出点，使得最小． 19. 如图1，点C在线段上，点D，E分别在的上方和下方，且，， ． （1）请你从①； ②中选择一个合适条件填入上述横线中，使得（只填序号），并给出证明； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，是的中线，探究与的数量关系，并证明． 20. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图1中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （2）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示； （3）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值． 21. （1）定义：，，称为，的调和平均数．下列赋予实际意义的例子，其中正确的是_________． ①一辆汽车以的速度由甲地驾往乙地，然后以的速度返回，汽车往返两地的平均速度； ②两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为，乙杯含糖率为，将两杯混合后的含糖率； ③用相等的费用购进甲乙两种不同的糖果，甲糖果的单价为每千克元，乙糖果的单价为每千克元，将甲乙两种糖果混在一起成为什锦糖，这种什锦糖每千克的成本价． （2）甲乙两港口相距10千米，一艘游轮从甲港口顺水航行到乙港口需要小时，从乙港口逆水航行到甲港口需要小时，问：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要多少小时？ 22. 庆祝元旦期间，王老师出了一道“年份题”：求的算术平方根． 王老师提示可将上述问题一般化为：求 的算术平方根（n为正整数），然后对n进行特殊化： 当时， ； 当时， ； 当时， ； … （1）根据以上规律，请直接写出 的算术平方根； （2）根据以上等式规律，请写出第n（n为正整数）个等式，并验证其正确性； （3）小喆同学将上述问题更一般化为：求的算术平方根，并猜想 ，其中m，n为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，m，n应满足什么关系并证明． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图2，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点， 使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图3，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$