精品解析：河南省信阳市淮滨县第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

淮滨一中2024-2025学年上期九年级阶段性测评（三） 数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分） 1. 下列交通标志是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 蜡烛在真空中燃烧是一个随机事件 B. 在射击比赛中，运动员射中靶心和没有射中靶心的可能性相同 C. 某抽奖游戏的中奖率为，说明只有抽奖100次，才能中奖1次 D. 天气预报明天降水概率为，表示明天下雨的可能性较大 3. 若是关于的方程的一个根，则此方程的另一个根（ ） A. -5 B. C. 5 D. 4. 抛物线的顶点坐标（ ） A. (-3，4) B. (-3，-4) C. (3，-4) D. (3，4) 5. 如图，是⊙的直径，为弦，且相交于点，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 6 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 正八边形的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A. 图象经过点(-1,-1) B. 图象在第一、三象限 C. 当时， D. 当时，y随着x的增大而增大 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知点的坐标是，则该点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是_____个． 14. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是__________． 15. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___ 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转，后得到的，并写出点的坐标； （3）关于原点成中心对称的，直接写出的坐标． 18. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，例如．桌面上有4张正面分别标有数字5，6，7，8的不透明卡片，它们除数字外其余均相同，现将它们背面向上洗匀．（注：只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．） （1）求随机翻开一张卡片，正面数字是素数的概率． （2）先随机翻开一张卡片记录上面的数字，再从余下的3张中随机翻开一张记录上面的数字，请用列表或画树状图，求翻到两个数之和为偶数的概率． 19. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，． （1）求，值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上动点，当周长最小时，求点的坐标． 20. 如图，是的外接圆，过点的切线与直径的延长线相交于点，且． （1）求的度数； （2）若，求阴影部分面积． 21. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 23. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转a得到△ADE，连接BD，EC，BD的延长线交EC的延长线于点F． （1）【问题发现】如图①，当α＝60°时，线段BF与EF的数量关系是______，∠BFE＝______； （2）【类比探究】当△ABC旋转到如图②所示的位置时，请判断线段BF与EF的数量关系及∠BFE的度数，并说明理由； （3）【问题解决】当AE∥BC时，请直接写出线段BF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淮滨一中2024-2025学年上期九年级阶段性测评（三） 数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分） 1. 下列交通标志是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意； C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D、不是中心对称的图形，不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 蜡烛在真空中燃烧是一个随机事件 B. 在射击比赛中，运动员射中靶心和没有射中靶心的可能性相同 C. 某抽奖游戏的中奖率为，说明只有抽奖100次，才能中奖1次 D. 天气预报明天降水概率为，表示明天下雨的可能性较大 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的定义，事件的定义一一判断即可． 【详解】解：A、蜡烛在真空中燃烧是一个随机事件，错误，蜡烛在真空中燃烧是一个不可能事件． B、在射击比赛中，运动员射中靶心和没有射中靶心的可能性相同，错误，射中靶心和没有射中靶心的两种情况的机会不等，因而不是等可能事件． C、某抽奖游戏的中奖率为1%，说明只有抽奖100次，才能中奖1次，错误，抽100次奖只能推断为：有可能中奖一次，也有可能一次也不中，还有可能中好几次，属于不确定事件中的可能性事件，而不是买100张一定会一等中奖． D、天气预报明天降水概率为80%，表示明天下雨的可能性较大，正确． 故选D． 【点睛】本题考查概率，事件的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3. 若是关于的方程的一个根，则此方程的另一个根（ ） A. -5 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，代入计算即可． 【详解】∵是关于的方程的一个根，另一个根为， ∴， 解得=5， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 4. 抛物线的顶点坐标（ ） A. (-3，4) B. (-3，-4) C. (3，-4) D. (3，4) 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的特点写出顶点坐标即可得. 【详解】因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3， 4）， 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点，熟练掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键. 5. 如图，是⊙的直径，为弦，且相交于点，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角等知识判断即可． 【详解】∵∠A，∠D是同弧所对的圆周角， ∴， ∴A正确； ∵是⊙的直径，为弦，， ∴，B正确； ∵是⊙的直径， ∴，C正确； ∵， ∴ ∴D错误； 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 6. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 7. 正八边形的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，正n边形的一个内角度数为，根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 故选：C． 8. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A. 图象经过点(-1,-1) B. 图象在第一、三象限 C. 当时， D. 当时，y随着x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解． 【详解】解：A、x=-1，y==-1，∴图象经过点（-1，-1），正确； B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确； C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确； D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y=图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点A的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴旋转4次为一个循环． ∵， ∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选A． 【点睛】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键． 二.填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知点的坐标是，则该点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，明白“若两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反”是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴该点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵图象位于第二象限内， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是_____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸出白球的概率为，再根据摸出白球的概率白球的个数球的总数进行求解即可． 【详解】解：∵小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右， ∴摸出白球的概率为， ∴袋子里白球可能是个， 故答案为：9． 14. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查不规则图形的面积及旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___ 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，，解得， 则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b=0，解得b=-3； 当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得b=， 所以b的值为-3或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 首先把等号左边的部分分解因式，然后再两边直接开平方即可； 用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， 直接开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 其中，，， ， ， 解得：，． 17. 如图，在平面直角坐标系中的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转，后得到的，并写出点的坐标； （3）关于原点成中心对称的，直接写出的坐标． 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析， （3）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，旋转对称图形，中心对称的含义，熟练的作图是解本题的关键； （1）分别确定的顶点关于轴对称的，，，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标； （2）分别确定的顶点绕点逆时针旋转的对称点，，，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标； （3）分别确定的顶点关于原点成中心对称的，，，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标； 【小问1详解】 解：如图，为所求作的三角形，； 【小问2详解】 如图，为所求作的三角形，； 【小问3详解】 如图，为所求作的三角形，． ． 18. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，例如．桌面上有4张正面分别标有数字5，6，7，8的不透明卡片，它们除数字外其余均相同，现将它们背面向上洗匀．（注：只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．） （1）求随机翻开一张卡片，正面数字是素数的概率． （2）先随机翻开一张卡片记录上面的数字，再从余下的3张中随机翻开一张记录上面的数字，请用列表或画树状图，求翻到两个数之和为偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用列表法或树状图法得出所有可能及满足题意的可能，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：5，6，7，8中素数有5和7， 正面数字是素数的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 5 6 7 8 5 11 12 13 6 11 13 14 7 12 13 15 8 13 14 15 共有12种结果，其中两个数之和为偶数有4种， ∴． 【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． 19. 如图，函数图象与函数的图象交于点，． （1）求，的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1）a，b的值分别为6，3，反比例解析式为 （2）或 （3）P点坐标为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，最短路径问题(将军饮马问题)，运用数形结合思想解题是关键． （1）将点，代入直线的解析式即可求出a、b，再将点代入反比例函数解析式即可求出k，从而得解； （2）利用数形结合思想即可得解； （3）作A关于y轴对称点，连与y轴的交点为所求的点，用待定系数法求出直线的解析式，从而得解． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴，， 将点代入得：，即， ∴反比例解析式为， 综上所述：a，b的值分别为6，3，反比例解析式为； 【小问2详解】 由图象可知：当或时，一次函数对应函数值比反比例函数对应的函数值大， 即不等式的解集是：或； 【小问3详解】 作A关于y轴对称点，连交y轴于点P，连， 此时最小，且， 由的长为定值可知，此时周长最短， 设直线为直线的解析式是：， 把代入得：， 解得， ∴直线为直线的解析式是：， 当时， ∴， 故P点坐标为时周长最小． 20. 如图，是的外接圆，过点的切线与直径的延长线相交于点，且． （1）求的度数； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）阴影部分面积． 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，进而求出，则由圆周角定理得到； （2）先证明是等边三角形，得到，进而证明，得到，则，即可得到，再根据阴影部分的面积进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 切圆于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）可得， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，， 的面积， 扇形的面积， 阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌的头盔每个应涨价5元. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元 22. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 23. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转a得到△ADE，连接BD，EC，BD的延长线交EC的延长线于点F． （1）【问题发现】如图①，当α＝60°时，线段BF与EF的数量关系是______，∠BFE＝______； （2）【类比探究】当△ABC旋转到如图②所示的位置时，请判断线段BF与EF的数量关系及∠BFE的度数，并说明理由； （3）【问题解决】当AE∥BC时，请直接写出线段BF的长． 【答案】（1）BF＝EF，60°； （2）BF＝EF，∠BFE＝60°，见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）首先证明∠CAE+∠BAC=60°+120°=180°，则A、B、E三点共线，再证明△EBF是等边三角形，从而得出答案； （2）通过AAS可证明△EDF≌△BCF，得BF=EF，由∠DEF=∠AEC-∠AED=∠AEC-30°，∠BDE=∠BDA+∠ADE=∠BDA+30°，利用三角形外角的性质即可求出∠BFE的度数； （3）当点E在直线AB的右侧时，如图③，过点C作CH⊥BF于H，过点A作AM⊥BC于M，可得∠CBF=∠ABF-∠ABC=75°-30°=45°，∠F=60°，通过解直角三角形可求出BF的长，当点E在直线AB的左侧时，同理可得． 【小问1详解】 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，AB=AC=2，∠BAC=120°， ∴∠DAE=∠BAC=120°，∠BAD=∠CAE=α=60°，AB=AD=AE=AC， ∴∠CAE+∠BAC=60°+120°=180°， ∴A、B、E三点共线， ∵∠CAE=60°，AC=AE， ∴△ACE是等边三角形， 同理△ABD是等边三角形， ∴∠FBE=∠FEB=60°， ∴△EBF是等边三角形， ∴BF=EF，∠BFE=60°； 故答案为：BF=EF，60° 【小问2详解】 解：由旋转可知：AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝120°，BC＝DE， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， 同理：∠ADE＝∠AED＝30°， ∵∠BAD＋∠DAC＝120°， ∠EAC＋∠DAC＝120°， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD△ACE， ∴∠ADB＝∠ACE， ∵∠EDF＝180°－∠ADB－∠ADE＝150°－∠ADB， ∠BCF＝180°－∠ACE－∠ACB＝150°－∠ACE， ∴∠EDF＝∠BCF， ∵∠F＝∠F， ∴△BCF△EDF（AAS）， ∴BF＝EF， ∴∠DEF＝∠AEC－30°，∠BDE＝∠BDA＋30°， ∴∠BFE＝∠BDE－∠DEF＝60°． 【小问3详解】 解：当点E在直线AB的右侧时，如图3， 过点C作CH⊥BF于H，过点A作AM⊥BC于M， ∵AEBC， ∴∠ABC+∠BAE=180°， ∵∠ABC=30°， ∴∠BAE=150°， ∴∠BAD=30°， ∵AB=AD， ∴∠ABF=∠ADB==75°， ∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=75°-30°=45°， ∵CH⊥BF， ∴∠BCH=∠CBF=45°， ∴BH=CH=BC， ∵AB=2，∠ABC=30°，AM⊥BC， ∴AM=AB＝×2=，BM=CM， ∴BM===3， ∴BC=2BM=6， ∴BH=CH=3， ∵CH⊥BF，∠BFE=60°， ∴HF=＝＝， ∴BF=BH+HF=3+； 当点E在直线AB的左侧时，如图4， 同理求得BF=3−， 综上所述：BF的长为3+或3-． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$