精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； 第I卷(选择题，共58分) 一、单选题:共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的最大值为2 C. 的最小正周期是 D. 在区间单调递减 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 方程有3个实数解 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 的所有零点之和为0 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_____________. 13. 若，则_____________. 14. 已知函数.若，则的零点个数是_____________;若只有一个零点，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求下列各式的值. （1）; （2）. 16. 已知. （1）求的最值及取得最值时的值; （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 17. 某同学有压岁钱10000元，计划存入银行，银行最新推出两种存款理财方案. 方案一：年利率为单利（单利指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方式），每年的存款利率为； 方案二：年利率为复利（复利指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计息的计息方式），每年的存款利率为； （1）若该同学存款年，其所获得的利息为元，分别写出两种方案中，关于的函数关系式； （2）若该同学存款5年，应选择哪种方案？若存款10年，应选择哪种方案?请分别说明理由. 参考数据:. 18. 若，且. （1）曲线过点，求函数的值域； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数和，若和有公共的定义域，且，，则称与可交换；若，则称为与的相关点. （1）求证：与可交换; （2）若与可交换，求； （3）在(2)的条件下，求与的相关点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； 第I卷(选择题，共58分) 一、单选题:共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定格式改写即可，存在量词命题的否定格式：首先将存在量词改为全称量词，然后对原结论否定. 【详解】因为命题为：， 那么命题的否定需变量词、否结论，即为：. 故选：C. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，可得集合，利用集合交集运算，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3. 已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义分析求解即可. 【详解】由题意可知：，且， 可得，解得. 故选：C. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算及基本不等式可得解. 【详解】由，即， 解得，，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为， 故选：C. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性，并借助媒介数比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以，，的大小关系是. 故选：D 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 7. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可得在区间上单调递减且在区间上恒成立，列出不等式组，解之即得. 【详解】因函数在定义域范围内单调递增， 由题意，可得在区间上单调递减且在区间上恒成立， 而，故需使 ①， 由即在区间上恒成立，即②， 综合①，②，可得. 故选：B. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的最大值为2 C. 的最小正周期是 D. 在区间单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性定义即可判断A项；通过正余弦函数的图象性质，分别求出和的最值即可判断B项；根据函数的周期性定义可判断C项；利用正余弦函数在的单调性和值域，结合复合函数的单调性即可判断D项. 【详解】对于A,函数的定义域为, 因，故A错误； 对于B，当时，，则， 当且仅当时，取得最大值1； 又，当且仅当时，取得最大值， 因，则的最大值为，故B错误； 对于C，对于， 不能恒等于，故C错误； 对于D，当时，单调递减，且，此时因在上单调递增， 则由复合函数的单调性知，在上单调递减； 又当时，单调递增，且，此时因在上单调递减， 则由复合函数的单调性知，在上单调递减. 综上所述，函数在区间单调递减，故D正确. 故选：D. 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式逐个选项判断即可. 【详解】根据诱导公式四，，A正确； 对于B，，B正确； 根据诱导公式五，，C错； 根据诱导公式三，，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 方程有3个实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合二次函数与指数函数的图象与性质，作图，可得答案. 【详解】对于A，由，则，故A错误； 由函数，作图如下： 对于B，由图可知在上单调递增，故B正确； 对于C，由图可知，则函数的值域为，故C正确； 对于D，由，则，由图可知直线与函数的图象有两个交点，而直线与函数的图象无交点， 所以方程存在两个根，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 的所有零点之和为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,B，只需分别取和即可判断；对于C，先取，求得，再取，证得为偶函数即可；对于D，利用函数的图象对称性和即可判断. 【详解】对于A，取，得，故A正确； 对于B，取，则得，即，故B错误； 对于C，取，则得，解得； 取，则得，即有，故C正确； 对于D，由C可知，，即函数为R上的偶函数，函数图象关于轴对称，且， 故的所有零点对应的点都关于轴对称，则的所有零点之和为0，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求出半径，再根据扇形面积公式直接求解. 【详解】由题知，设该扇形半径为，由， 则，解得， 所以该弧所在的扇形面积为. 故答案为： 13. 若，则_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式，将弦的齐次式化成正切，代入计算即得. 【详解】由. 故答案为：1. 14. 已知函数.若，则的零点个数是_____________;若只有一个零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】先将代入解析式，由函数零点得方程，利用两函数在区间上的交点个数即可确定函数的零点个数；再由函数零点得，设，，就的取值结合函数图象分类讨论两函数的交点个数，即得参数的范围. 【详解】当时，由可得， 设， 因在上单调递减，则， 而在上单调递增，， 因，故两者在上必有且仅有一个交点，此时只有1个零点； 由，可得， 不妨记，. ① 当时，，此时与在上必有且仅有一个交点(如图1)，符合题意； ② 当时，的对称轴为直线， 在上单调递增，且，， 此时与在上无交点（如图2），不合题意； ③ 当时，的对称轴为直线，抛物线的顶点为在第四象限， 要使与在上有且仅有一个交点，需满足： （如图3）或（如图4）， 由（1）得，由（2）得，因，故得或. 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为：1；. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求下列各式的值. （1）; （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两边平方，化简即得的值； （2）先求出的值，再由和，缩小范围为，即得的值. 【小问1详解】 由两边平方可得：， 解得：； 【小问2详解】 由， 因，且，故，则， 故. 16. 已知. （1）求的最值及取得最值时的值; （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，；当时，； （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题设求得的范围，结合正弦函数的图象性质，可得函数在各区间上的单调性，即可求出其最值及取得最值时的值； （2）由（1）已得在上单调递增，结合题意，先求出的范围，使其为的子集，即得不等式组，解之即得. 【小问1详解】 由可得：， 因在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且当时，即时，函数取得最小值； 当时，即时，函数取得最大值为1， 即：当时，；当时，； 【小问2详解】 由时，则， 由（1）知在上单调递增， 故只需使解得， 即实数的取值范围为 . 17. 某同学有压岁钱10000元，计划存入银行，银行最新推出两种存款理财方案. 方案一：年利率为单利（单利指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方式），每年的存款利率为； 方案二：年利率为复利（复利指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计息的计息方式），每年的存款利率为； （1）若该同学存款年，其所获得的利息为元，分别写出两种方案中，关于的函数关系式； （2）若该同学存款5年，应选择哪种方案？若存款10年，应选择哪种方案?请分别说明理由. 参考数据:. 【答案】（1） 方案一：；方案二：. （2） 当时，方案一：；方案二：. 由，则应选择方案一. 当时，方案一：；方案二：. 由，则应选择方案二. 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的关系，可得答案； （2）代入给定的的值，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 若，且. （1）曲线过点，求函数的值域； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式，求出，再利用二次函数的值域和对数函数的单调性即得函数的值域； （2）利用对数运算性质将题设方程化简成，整理成，通过求函数在上的值域，即得参数范围. 【小问1详解】 由过点，可得，则， ，因恒成立，故函数的定义域为， 由可得， 故函数的值域为； 【小问2详解】 由， 可得, 化简得：，即得， 设，则，， 令，则，， 因在上单调递减，故， 即，又且，故得. 19. 对于函数和，若和有公共的定义域，且，，则称与可交换；若，则称为与的相关点. （1）求证：与可交换; （2）若与可交换，求； （3）在(2)的条件下，求与的相关点. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合指、对数运算分析证明即可； （2）根据题意整理出和的解析式，结合题意列式求解即可； （3）设，由题意可得，结合单调性分析求解即可. 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 且的定义域为， 可知的定义域为，的定义域为，则， 且， ， 即对于任意，， 所以与可交换. 【小问2详解】 因为函数和的定义域为， 则和的定义域为，即， 且， ， 若与可交换，则， 可得，解得. 【小问3详解】 由（2）可知：， 且，在内单调递增， 设， 则，， 若，即， 因为，且在内单调递增， 可得， 又因为，且在内单调递增， 可得，即， 整理可得，解得或， 所以与的相关点为. 【点睛】关键点点睛：第三问的解题关键在于利用利用整体思想结合单调性解，可以简化运算，方便理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $