精品解析：上海市杨浦区六校联考2024-2025学年 九年级上学期12月月考数学试卷

上海市杨浦区2024－2025学年初三上学期六校联考12月月考数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 2. 在中，，如果，，那么的长是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 在中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列条件中能够判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　） A. B. C. D. 6. 老师出示了小黑板上题后．小沁说：过点；小蓓说：过点；小卓说：；小茉说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有（ ） 已知抛物线与轴交于，试添加一个条件，使它的对称轴为直线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知5a=4b，那么=_____． 8. 计算：tan60°﹣cos30°=_____． 9. 如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____． 10. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是______千米． 11. 如果向量、、满足关系式，那么______．（用向量、表示） 12. 某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是_____． 13. 若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是______． 14. 已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=6，那么AF的长是_____． 15. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为_____． 16. 如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则_________． 17. 如图，在中，，连结，如果和的面积都为1，则的面积为______． 18. 已知菱形中，，点为上一点且，连接，把沿翻折，点落在点处，连接交于点G，则______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． （1）填空：______；（直接写出答案） （2）设，，那么______，______（用向量、表示） （3），作出在和方向上的分向量；（不用写作图过程，但要写结论） 21. 已知一个二次函数的图像经过、、三点. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点的位置，求所得新抛物线的解析式. 22. 如图1，已知梯形中，，，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2） （1）求的度数以及和的长（和的长用含的式子表示）； （2）请画出一个用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没有空隙） 23. 如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点B，与轴交于点，经过点的射线与轴相交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求点的坐标； （3）点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是轴上一点，且，求点的坐标． 25. 如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨浦区2024－2025学年初三上学期六校联考12月月考数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 2. 在中，，如果，，那么的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 3. 在中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列条件中能够判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵AD：BD=1：3， ∴， ∴当时，， ∴DE∥BC，故C选项能够判断DE∥BC； 而A，B，D选项不能判断DE∥BC； 故选C． 4. 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求解． 【详解】解：向下平移2个单位，再向左平移3个单位得． 故选：D． 5. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AC与BC互相垂直， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAD=∠BCD， 在Rt△BCD中 cos∠BCD=， BC=. 故选B． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 6. 老师出示了小黑板上题后．小沁说：过点；小蓓说：过点；小卓说：；小茉说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有（ ） 已知抛物线与轴交于，试添加一个条件，使它的对称轴为直线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目信息，要判断每个人的说法是否正确，不妨分别计算在四种说法下抛物线的对称轴，看其是否是直线；本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，对称轴，与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：当添加的条件为小沁的说法时， ∵抛物线过点、， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故小沁的说法正确； 当添加的条件为小蓓的说法时， ∵抛物线过、， ∴， 解得、， 此时函数解析式为， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故小蓓的说法正确； 当添加的条件为小卓的说法时，此时函数解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， 因此函数解析式为，此时对称轴为，与题目中结论一致； 故小卓的说法正确； 当添加的添加为小茉的说法时， ∵抛物线被轴截得的线段长为2，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为或，所以对称轴为轴或直线，与题目中的结论不符； 故小茉的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，小茉的说法错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知5a=4b，那么=_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知将原式变形进而代入求出答案． 【详解】∵5a=4b， ∴a=b， ∴． 故答案为． 8. 计算：tan60°﹣cos30°=_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可得tan60°﹣cos30°==． 故答案为． 9. 如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____． 【答案】a＞0　 【解析】 【详解】根据二次函数的图像，由抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，知a＞0， 故答案为a＞0． 10. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是______千米． 【答案】60 【解析】 【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：. 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 11. 如果向量、、满足关系式，那么______．（用向量、表示） 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查的是平面向量，转化为关于的方程求解是解题的关键．把看成关于的方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是_____． 【答案】y=10（x+1）2 【解析】 【详解】根据题意，把十月份的看作单位1，进而可得十二月邮件数为：y=10（x+1）2，所以y关于x的函数解析式是y=10（x+1）2． 故答案为y=10（x+1）2 【点睛】本题考查了根据题意列出一次函数的解析式，关键是找准等量关系． 13. 若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是______． 【答案】4∶9 【解析】 【详解】试题解析：两个相似三角形的周长比是 这两个三角形的相似比是 对应角平分线的比等于相似比,是 故答案是： 点睛：相似三角形的周长比等于相似比.对应角平分线，中线，高之比都等于相似比.面积比等于相似比的平方. 14. 已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=6，那么AF的长是_____． 【答案】4 【解析】 【详解】由三角形的重心的概念和性质，由AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点F，可知F点是三角形ABC的重心，可得AF=AD=×6=4. 故答案为4. 点睛：此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 15. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】利用平行线分线段成比例定理，由l1∥l2∥l3，得到，然后由已知，求得. 故答案为． 点睛：此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题关键． 16. 如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键；连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理即可解答； 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，直径, ∴, ∵， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，连结，如果和的面积都为1，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由证明，设，，则，由，得，求得，于是得到问题的答案．此题重点考查相似三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，正确地求出与的比是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ， 设， ∵， 则， ， 得， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 故答案为：． 18. 已知菱形中，，点为上一点且，连接，把沿翻折，点落在点处，连接交于点G，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于H，延长，交于点P，连接，，过A作于M，于N，于O，过B作交延长线于Q，设，，由角平分线的性质可证，可得，再证明，可得，证明，，，，证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，可得，即可得解． 【详解】解：设与交于H，延长，交于点P，连接，，过A作于M，于N，于O，过B作交延长线于Q， 设，， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， 把沿翻折，点落在点处， ，，，，， ，， ，，， ， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． （1）填空：______；（直接写出答案） （2）设，，那么______，______（用向量、表示） （3），作出在和方向上的分向量；（不用写作图过程，但要写结论） 【答案】（1） （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）利用三角形法则计算即可； （3）分别过点作的平行线，构造平行四边形，则与共起点的两个向量记为分向量． 【小问1详解】 解： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为，． 【小问3详解】 解： 如图，分别为在和方向上的分向量． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质，与判定平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 已知一个二次函数的图像经过、、三点. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点的位置，求所得新抛物线的解析式. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用顶点式写出所得新抛物线的表达式． 【详解】（1）设所求二次函数的解析式为：. 由题意，得 解得 该二次函数的解析式为. （2）新抛物线是由二次函数的图像平移所得， . 又顶点坐标是， . 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 22. 如图1，已知梯形中，，，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2） （1）求的度数以及和的长（和的长用含的式子表示）； （2）请画出一个用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没有空隙） 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据等面积法得出，再证明，则，，即可作答． （2）结合解直角三角形的性质，在，，则，即可作图进行作答． 本题考查了相似三角形的性质，等腰梯形，等边三角形的性质，解直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2）， ∴，，， 如图所示：在图1中，过点A作，记图1的梯形的高为， 在图2中，过点E作，过点T作，图2的大梯形的高为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：如图1，且，，四边形是等腰梯形， ∴， 在，， ∴， ∵用三块这种梯形纸片拼成一个等边三角形， ∴满足题意的等边三角形如图所示： 23. 如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角，得，由平行，得，进而，于是； （2）由，得，可证得，进而证得，于是，可证，从而，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质；运用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点B，与轴交于点，经过点的射线与轴相交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求点的坐标； （3）点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1），对称轴 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）把和点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而可得到抛物线的解析式，然后，依据抛物线的对称轴公式可得到抛物线的对称轴； （2）过点作轴，垂足为．设，则，则，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，进行求解即可； （3）先求得，则．当点在的上方时可证明，从而可求得点的坐标；当点在的下方时，设与轴交点为，则，可得到，从而可求得的值，然后再求得的解析式，从而可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得：， 抛物线的解析式为． 将代入得：，解得， 抛物线的解析式为． 抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：过点作轴，垂足为． 设，则． ， ． ． 将点代入得：，解得． ． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为，，点是点关于抛物线对称轴的对称点， ． ， ． 如图所示： 当点在的上方时，， ， ． 由（1）可知：，． ． 点的坐标为． 当点在的下方时，如图所示： 设与轴交点为，则，可得到， ，解得：， ，． 设的解析式为，将点和点的坐标代入得： ， 解得：，． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，平行线的性质，两点间的距离公式，正确进行分类讨论是解答本题的关键． 25. 如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），定义域为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据、直角三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）延长交于K，先证明求得，再证明得到，再由得到，再代入求解即可； （3）先根据等腰三角形的定义分①，②和③三种情况，再利用等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、解直角三角形求解即可得． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； 【小问2详解】 解：延长交于K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵矩形中，， ∴， ∴，又， ∴； 由（1）结论，得， ∴， 即，定义域为； 【小问3详解】 解：由题意，当为等腰三角形时，分以下三种情况： ①当时，为等腰三角形， ， ， ∴， ∵， ， ，即是的平分线， 过E作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴， 解得； ②当时，为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为等腰三角形， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由得， 解得， 综上，为等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论，并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $