专题01 求数列通项的常见解题策略（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

专题01：求数列通项的常见解题策略 题型一：观察法求通项 1．数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 3．根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)，，，，…； (3)0，1，0，1，…； (4)9，99，999，9 999，…. 4．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 题型二：等差、等比数列公式法求通项 1．已知数列满足，（，），则 ． 2．已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ． 3．在正项等比数列中，，则数列的公比是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 4．图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形．在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次排列成一个数列的前四项，请写出其前四项，并给出这个数列的一个通项公式．    题型三：累加法求通项 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2.已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求出数列通项公式 3．已知数列满足，.求数列的通项公式； 4.已知数列满足，，求。 题型四：累乘法 1．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 2．若数列满足，，则 ． 3．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 4．已知数列中，求数列的通项公式． 题型五：递推公式为与的关系式 1．已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 2．设数列的前项和，求此数列的通项公式. 3．已知数列满足，则的通项公式为 . 4．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 题型六：构造等比数列 (其中p，q均为常数，且)。 1．设数列的前n项和为，，，则 . 2．已知数列满足，，则满足的最小正整数 ． 3．已知：，时，，求的通项公式． 4．已知数列满足，，设. (1)求； (2)求的通项公式. 题型七：构造等差数列 1．在数列中，，．求数列的通项公式. 2.已知数列满足. 求数列的通项公式； 3．数列中，，，则是这个数列的第几项（    ） A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 4．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 1．已知数列的前项积，则的值为（   ） A．9 B．5 C． D． 2．已知非零数列的前项和为，为数列的前项积，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其前项和； (2)求数列的通项公式． 3．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 题型八：递推公式求通项 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且，则的通项公式为 ，中的最大项的值为 ． 3．已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 4．已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 题型九：斐波那契数列通项 1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（    ） A． B．是偶数 C． D． 2．斐波那契数列因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 4．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则 ． 1．数列满足，，则（    ） A． B． C． D．2 2．数列的构成法则如下：，若为自然数且之前未出现过，则用递推公式，否则用递推公式，则（    ） A．7 B．3 C．15 D．81 3．已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（   ） A．2 B．3 C． D． 4．已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 6．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 8．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 9．在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．的通项公式为 B．若，则 C．当时，取得最小值 D．数列的前10项和为58 11．在数列中，，且，则 12．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 13．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 14．已知数列的前n项和为，且，，则 ． 15．记等差数列的前项和为，. (1)证明：数列是等差数列. (2)若数列满足，且，求的通项公式. 16．设数列的前项和为.已知，，且. (1)证明：； (2)求. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01：求数列通项的常见解题策略 题型一：观察法求通项 1．数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析给定数列各项的特征，再求出符合意义的一个通项公式. 【详解】数列的分子都是1，分母依次为，则第n项的分母为， 所以数列，的一个通项公式是. 故选：B 2．（多选）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得. 【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确； 对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 故选：AC. 3．根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)，，，，…； (3)0，1，0，1，…； (4)9，99，999，9 999，…. 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）观察数列的前4项的特征，写出符合条件的通项公式即得. 【详解】（1）依题意，，则原数列可变为：， 显然各项分子均为4，分母是17减去3的项数倍的差， 所以符合条件的一个通项公式是. （2）各项的绝对值依次为，显然该数列第n项的分子是2n，分母为对应分子平方减去1的差， 又原数列的奇数项为负，偶数项为正，则第n项的符号由符号因式决定， 所以符合条件的一个通项公式是. （3）数列前4项依次化为：， 所以符合条件的一个通项公式是. （4）依题意，， 所以符合条件的一个通项公式是. 4．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 【答案】(1)（） (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据奇偶项的特征即可写出通项公式； （2）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （3）根据奇偶项的符号与序号之间的关系即可写出通项公式； （4）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （5）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （6）根据前4项的结构特征即可写出通项公式； 【详解】（1）数列的奇数项为a，偶数项为b，因此通项公式可用分段形式来表示， 记为，也可记为． （2）这个数列的前4项为，，，， 其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1， 故． （3）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的奇数，且奇数项为正，偶数项为负， 故． （4）这个数列的前4项为，，，， 它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 故. （5）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察， 其分母都是2，分子都是序号的平方， 故. （6）因为 所以． 题型二：等差、等比数列公式法求通项 1．已知数列满足，（，），则 ． 【答案】 【分析】由题意得到为等差数列，公差为1，从而求出通项公式. 【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1， 所以. 故答案为： 2．已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解. 【详解】由，， 得，由解得， 所以. 故答案为：. 3．在正项等比数列中，，则数列的公比是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式列方程求公比即可. 【详解】设数列的公比是，则. 因为，所以，则，解得或（舍去）. 故选：B 4．图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形．在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次排列成一个数列的前四项，请写出其前四项，并给出这个数列的一个通项公式．    【答案】，且前四项分别为1，3，9，27 【分析】根据图形规律，即可结合等比数列的性质求解. 【详解】由图可知：从左到右着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色个数是前一个着色三角形个数的3倍，前四项分别为1，3，9，27， 由于每一个着色的三角形在下一个图形中会变成3个，所以构成一个以1为首项，3为公比的等比数列， 故通项为 题型三：累加法求通项 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的式子相加可得： ， 所以，所以， 故选：D. 2.已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求出数列通项公式 解：因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋(3n－7)＋…＋5＋2＝ (n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合上式，所以an＝. 3．已知数列满足，.求数列的通项公式； 解：因为， 又 ， 所以. 因为也满足，所以. 4.已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令， 代入上式得个等式累加之， 即 所以 ， 题型四：累乘法 1．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法可数列的通项公式. 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 2．若数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 3．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 4．已知数列中，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】利用累乘法求解即可. 【详解】解：因为， 所以当时，， 所以， 以上个式子相乘得， 即， 所以． 当时，，也与已知相符， 所以数列的通项公式为． 题型五：递推公式为与的关系式 1．已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】 利用数列中和之间的关系，列出数列的通项公式. 【详解】 解：当时，； 当时，，而. 故数列的通项公式为. 【点睛】 本题主要考查数列中和之间的关系列出的式子，属于基础题. 2．设数列的前项和，求此数列的通项公式. 【答案】 【分析】 利用求得数列的通项公式. 【详解】 当时，. 当时，，所以. 所以. 【点睛】 本小题主要考查已知求，要注意验证的情况，属于基础题. 3．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 4．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系，可得，即可利用等比数列的通项求解， （2）根据对数运算可得，即可讨论的奇偶求得数列的前项和. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，， 即，即， 当时，，即， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故． （2）由（1）得，则， 故． 当为偶数时， ； 当为奇数时，为偶数， ． 综上， 题型六：构造等比数列 (其中p，q均为常数，且)。 1．设数列的前n项和为，，，则 . 【答案】 【分析】化简，判断出为等比数列，从而计算出. 【详解】由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 2．已知数列满足，，则满足的最小正整数 ． 【答案】5 【分析】根据题意先求得，，从而求得，再构造等比数列，从而得到数列的通项公式，进而根据的单调性即可求解． 【详解】由，解得， 又，所以． 另一方面由，可得， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以，易知是递增数列， 又，， 所以满足的最小正整数． 故答案为：5． 【点睛】本题考查递推数列． 3．已知：，时，，求的通项公式． 【答案】 【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解. 【详解】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 4．已知数列满足，，设. (1)求； (2)求的通项公式. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据得到，即可得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，然后求解即可； （2）根据等比数列的通项公式得到，然后求即可. 【详解】（1）由得，， 所以数列，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，，. （2）由（1）可得，所以. 题型七：构造等差数列 1．在数列中，，．求数列的通项公式. 【答案】 【分析】递推公式推得，判断数列为等差数列，求出公差d，再写出通项公式. 【详解】因为，所以. 由可得，所以. 又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以. 2.已知数列满足. 求数列的通项公式； 解：（1）由， 可得=1， 则数列是首项为=1，公差为1的等差数列， 则=， 即； 3．数列中，，，则是这个数列的第几项（    ） A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 【答案】A 【解析】由条件可得，则，进而可求出数列的通项公式，令，求出值即可. 【详解】解：由，得， 则， ， 令，得. 故选：A. 【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查数列中某项的项数，是基础题. 4．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【答案】． 【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论． 【详解】∵，所以，即， ∴是等差数列，而， 所以， 所以． 故答案为：． 1．已知数列的前项积，则的值为（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件写出数列的前项积，两式做商求出通项即可. 【详解】数列前项积，即， 则当时，， 两式相除，得， 所以. 故选：C. 2．已知非零数列的前项和为，为数列的前项积，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其前项和； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析， (2). 【分析】（1）根据给定的条件及递推公式，用表示，再利用等差数列定义推理得证，进而求出前项和. （2）由（1）求出，进而求出，再利用求出通项公式. 【详解】（1）数列中，由，得，， 由为非零数列，得，，又当时，， 则，， 在中，当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，. （2）由（1）得，， 则，时，， 当时，，不满足上式， 所以数列的通项公式. 3．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 题型八：递推公式求通项 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边取对数,可得是等比数列，即可求解. 【详解】数列满足，． 两边取对数可得，则是等比数列，首项为，公比为2， ，解得． 故选：D． 2．已知数列满足，且，则的通项公式为 ，中的最大项的值为 ． 【答案】 【分析】由条件证明数列为等差数列，由此可求数列的通项公式；构造，解出即可得取最大值时的值，即可得中的最大项的值. 【详解】由， 可得，又， 则是以为首项，为公差的等差数列， 则， 则， 设是最大项，则有， 即， 解得，又，则或， 故的最大项的值为． 故答案为：；. 3．已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题干等式化简得到与的关系，利用累加法求解的通项公式，可得答案. 【详解】因为，所以， 则，，… ，， 累加得 ， 又因为，所以． 也满足该式，故 故答案为：. 4．已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，证明见解析； (2)，； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由题可得，，然后由与关系可完成证明； （2）由（1）可得为奇数时，，后由为偶数时，可得数列的通项公式； （3）由（2），若，，成等比数列，可得关于的等式，即可完成判断. 【详解】（1）由题. 注意到，因为奇数，则， 因为偶数，则， 则为以为首项，公比为2的等比数列； （2）由（1）可知， 当为奇数时，，故 当为偶数时，， 综上，，； （3）由（2），，，. 若，，成等比数列，则 等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立， 则不存在正整数使，，成等比数列. 题型九：斐波那契数列通项 1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（    ） A． B．是偶数 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合该递推关系对选项逐项计算判断即可得. 【详解】由已知得数列满足递推关系，， 对选项A： ，故A错误； 对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环， ，不能被3整除，且为奇数， 所以也为奇数，故B错误； 对选项C：若选项C正确，又，则， 同理，依次类推， 可得，显然错误，故C错误； 对选项D：， 所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：斐波那契数列问题的解决关键是熟练掌握其递推公式，，从而得解. 2．斐波那契数列因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题中给出的递推公式，求出数列的前12项，然后找出其中是奇数的个数，由古典概型的概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知“兔子数列”满足，， 所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 其中是奇数的有：1，1，3，5，13，21，55，89， 故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为． 故选：C. 3．（多选）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 【答案】BCD 【分析】根据斐波那契数列的定义列出前几项，即可判断A、B，根据递推关系判断C，依题意可得，即可得到，解得即可判断D. 【详解】“斐波那契数列”为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 因为，所以该数列不是一个递增数列，故A错误； 因为，即89是该数列的一项，故B正确； 因为，，， 所以，， ，…， ， 所以，故C正确； 因为，两边同除，可得， 又随着的增大，逐渐趋近于一个常数，所以，解得（负值已舍去），故D正确. 故选：BCD 4．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则 ． 【答案】2024 【分析】根据数列的特点,每个数等于它前面两个数的和,移项得:,使用累加法求得,然后将中的2倍展成和的形式（如)即可求解. 【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，， 由,得, 所以，，，...， 将这个式子左右两边分别相加可得: 所以. 所以 , 所以. 故答案为：. 1．数列满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意得到数列的周期为，即可得到答案. 【详解】，，， ，，……， 所以数列的周期为，. 故选：C 2．数列的构成法则如下：，若为自然数且之前未出现过，则用递推公式，否则用递推公式，则（    ） A．7 B．3 C．15 D．81 【答案】C 【分析】根据递推关系直接求解. 【详解】由，，得, 又，所以, 又，所以, 又，所以, 又，所以. 故选:C. 3．已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差. 【详解】因为，当时，， 两式相减，得，即，故公比为2， 所以，而当时，得， 所以等比数列的通项公式为，， 所以，，公差为． 故选：B 4．已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求. 【详解】由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 5．在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 【答案】A 【分析】由于，然后由累加法求解即可. 【详解】依题意，在数列中，，， 即， 所以 ． 故选：A 6．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用关系及等比数列定义得，将问题化为恒成立，研究右侧的单调性并求其最大值，即可得答案. 【详解】由，令，解得， 当时，由，得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D 7．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 8．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先证明出为等差数列，然后求解出的通项公式，由此可求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 9．在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据已知，结合条件，，可依次求出数列的前几项，从而判断A、B；由题意可得，根据等差数列的定义可判定数列为等差数列，从而判断C、D. 【详解】若，，又，则，A正确； 若，，由A选项可知，又，可得， ，可得，B错误； 若，，则，，，可得， 所以数列为等差数列，且，所以，C正确； 且，D正确. 故选：ACD 10．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．的通项公式为 B．若，则 C．当时，取得最小值 D．数列的前10项和为58 【答案】ABD 【分析】利用，可求得数列的通项公式，进而逐项计算可判断正误. 【详解】由，令，可得. 当时，，两式相减得， 当时，也满足，所以的通项公式为，故A正确. 因为的公差为2，所以，则，故B正确. 由，得，所以时，取得最小值，故C错误. 当时，；当时，. 故，故D正确. 故选：ABD. 11．在数列中，，且，则 【答案】 【分析】由化简可证数列为等差数列，即可得，再利用退一相减法可得. 【详解】由， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 所以， 当时，， ， 当时，满足上式， 综上所述， 故答案为：. 12．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式. 【详解】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 13．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式． 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当时，， 综上，可得． 故答案为：． 14．已知数列的前n项和为，且，，则 ． 【答案】 【分析】由，可知是等比数列，由等比数列的通项公式求出，然后由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，， 又不符合上式，所以. 故答案为： 15．记等差数列的前项和为，. (1)证明：数列是等差数列. (2)若数列满足，且，求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前项和公式求基本量，求出，再用等差数列的定义证明数列是等差数列即可； （2）利用累加法即可求出数列通项公式，注意检验. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题设可得， 解得，， 所以. 则， 故可得， 又， 故数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，数列是以为首项，为公差的等差数列. 故可得， 由，，可得， 又，则， 当时，可得 ， ， ， ， 累加可得， 可得， 又也符合上式， 故. 16．设数列的前项和为.已知，，且. (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用和的关系结合条件即可求解； （2）根据等比数列的定义及已知条件可求数列的通项公式. 【详解】（1）由条件，对任意，有， 因而对任意，，有. 两式相减，得，即，. 又，，所以. 故对一切，. （2）由（1）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列； 数列是首项，公比为3的等比数列. 所以，. 所以. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$