1.3.1等比数列的概念及其通项公式（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

1.3.1等比数列的概念及其通项公式 题型一：等比数列的定义及用定义求通项公式 1．已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求. 【详解】由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 2．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若数列均为等差数列，则数列为等差数列 B．若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列 C．若数列为等差数列，则数列为等比数列 D．存在非零实数使得数列为等比数列 【答案】AC 【分析】根据等差、等比数列的概念及特例可判断A、B，根据等比数列的定义与性质可判断C、D. 【详解】对于，设数列的公差分别为， 则，为常数，故选项正确； 对于，均为等比数列且公比相等，当时，数列不是等比数列，故选项错误； 对于，设等差数列的公差为，则，为常数，所以为等比数列，故选项正确； 对于，若数列为等比数列，则， 当时，，当时，不是常数，故选项错误. 故选：. 3．已知数列是等比数列，且，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果. 【详解】由是等比数列，知. 所以. 故答案为：. 4．设等比数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求. 【详解】令公比为，则，可得， 所以或（舍），可得，则. 故答案为： 题型二：等比中项 1．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【详解】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 2．已知等差数列的公差为，若成等比数列，则等于（    ） A． B．2 C．0或 D．0或2 【答案】C 【分析】依题意，有，利用等差数列通项公式求公差为的值. 【详解】成等比数列，则有， 等差数列的公差为，所以，得， 解得或. 故选：C. 3．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 4．已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据等差数列的通项公式表达和成等比数列，解出，即可求解； （2）求出，再并项求和即可. 【详解】（1）解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 （2）解：因为， 所以 . 题型三：等比数列通项公式的基本量计算 1．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的性质得到，即可求出公比. 【详解】由已知有，所以，从而. 故选：D． 2．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数列均为正项等比数列，设公比分别为，利用等比数列通项公式以及前项积并利用对数的运算得出想要的结论. 【详解】数列均为正项等比数列，设公比分别为；,分别为数列,的前项积， ， , 则. 故选：A 3．已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，证明见解析； (2)，； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由题可得，，然后由与关系可完成证明； （2）由（1）可得为奇数时，，后由为偶数时，可得数列的通项公式； （3）由（2），若，，成等比数列，可得关于的等式，即可完成判断. 【详解】（1）由题. 注意到，因为奇数，则， 因为偶数，则， 则为以为首项，公比为2的等比数列； （2）由（1）可知， 当为奇数时，，故 当为偶数时，， 综上，，； （3）由（2），，，. 若，，成等比数列，则 等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立， 则不存在正整数使，，成等比数列. 4．在公差为的等差数列和公比为的等比数列中，已知． (1)求的值； (2)是否存在常数，使得对于一切自然数，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）根据条件列出等式，求解出公差和公比. （2）先确定和数列的通项公式，然后化简，根据对应原则求出，的值. 【详解】（1）由，得即 解方程组得或（舍去），所以． （2）由（1）知． 由，得， 即，所以，所以， 所以存在，使得对一切自然数，都有． 题型四：由递推关系证明等比数列 1．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据“和差等比数列”的定义，可得，化简可得，进而得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，进而求出，再解不等式即可求解. 【详解】依题意，，化简得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 令，即，又，则， 即，所以满足使不等式的的最小值是8. 故选：A. 2．（多选）已知数列满足，且，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 【答案】ABD 【分析】利用等比数列的定义结合条件等式变形可判定A，从而求出通项公式判断BC，根据数列的单调性判断D. 【详解】根据， 可知是等比数列，首项为，公比为，故A正确； 则有，所以，故B正确，C错误； 不妨设最大项为，则， 即， 解之得，即最大项为，故D正确. 故选：ABD 3．已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】变形为，再利用等比数列的定义可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，而，且， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， . 故答案为：. 4．已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推关系化简，利用等比数列的定义证明数列是等比数列； （2）由（1）求出，再由递推关系化简得出，即可得出通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即， 又，可得， 又由，可得， 所以 题型五：等比数列性质 1．在等比数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】在等比数列中， 则， 所以. 故选：B 2．等比数列中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求得正确答案. 【详解】， 设等比数列的公比为，则， （负根舍去）. 故答案为： 3．已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 . 【答案】 【分析】利用已知和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由等比数列性质可得；， 又因为函数，所以， 即，所以； 令， 则； 所以， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用等比数列的性质得；，进而计算的值，从而解决求值问题. 4．若等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是等比数列，所以，即. 所以. 故答案为： 题型六：等比数列子数列性质及应用 1．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，， 则，所以. 故选：D. 2．等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项的性质求得公比，即可得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 则，所以， 故. 故选：C. 3．（多选）下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（    ） A．若数列是递增数列,则公比 B．若公比,则数列一定是递增数列或递减数列 C．若,则数列是递减数列 D．若,则数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的定义和通项公式结合与的关系一一判断即可. 【详解】对于A,当且时,数列也是递增数列,故A错误; 对于B,当时,数列是常数列,不是递增数列或递减数列,故B错误; 对于C,因为,即,整理得且,所以,则,所以数列是递减数列,故C正确; 对于D,令且,则,,,,,此时成立,但数列不是递增数列,故D错误. 故选:ABD. 4．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 题型七：正项等比数列的对数成等差数列的应用 1．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值,最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 2．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解. 【详解】由和可得， 故， 故选：B 3．若等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是等比数列，所以，即. 所以. 故答案为： 4．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为 . 【答案】 【分析】由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和. 【详解】由题意，，由等比数列的性质可得，解得， ∴，解得， ，则，则数列为等差数列， ，故， ， 故答案为： 题型八：等比数列的其他性质 1．在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知写出等比数列的通项公式，利用指数运算法则和等差数列的求和公式得到关于n的表达式，并化简整理，先求得最大时的n的值，再分析正负，即得最大时的n的值. 【详解】由题意知，， ∴ ， 又，则当或时取得最大值， 又当时，当时， 当时，当时， ∴或时取得最大值. 故选：C 2．在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比数列的性质求解. 【详解】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴. 故选：A 3．等比数列中，，，则满足的最大正整数为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】根据题意得，结合，及等比数列的通项公式从而可求解. 【详解】 由题意知：， 即：，得： 因为：，，所以：， 由，得：， 因为：， 所以：，故B项正确. 故选：B. 4．已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意分析可知，，可得，，结合等比数列的性质分析求解. 【详解】因为递增的等比数列中，，，且， 可知和是一元二次方程的两个根， 且，解得，， 可得，所以 故答案为：2. 题型九：等比数列的通项公式的指数函数特征 1．若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例判断ACD错误，根据数列递增的性质判断B. 【详解】依题意，不妨设，数列是递增的等比数列，由此判断选项错误. 设，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确. 因为数列是公比为的递增等比数列，所以或， 即故选项B正确. 故选：B. 2．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 3．（多选）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意得，为单调递增数列，进而作出函数图象，结合图象性质说明即可. 【详解】解：设的公比为，的公差为， 所以，，， 所以，由可知为单调递增数列，即 因为，，， 所以，即，数列为单调递增数列， 作出函数，的图象如图所示， 由上述图象可知，当时，两函数图象在处相交， 所以，当时，，当或时，. 故选：BCD. 4．（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论． 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 题型十：累乘法求通项公式 1．数列满足：，则除以7的余数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 【答案】B 【分析】构造数列满足，由猜测并运用数学归纳法证得；再由利用累乘法求得，从而得到，由结合为3的倍数、为7的倍数可求除以7的余数. 【详解】设数列满足，则， 当时，若，则， 因此，对任意，均有. 由，两边取对数，可得， 则有，即， 可得，此时也符合，所以. 因为，故若为3的倍数，则必有为3的倍数， 而时，为3的倍数，故为3的倍数，依次有为3的倍数， 因为且时，为7的倍数， 故同理可得为7的倍数. 又， 故被7除余数为1，故除以7的余数为2. 故选：B. 2．已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解. 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 3．已知数列中，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】利用累乘法求解即可. 【详解】解：因为， 所以当时，， 所以， 以上个式子相乘得， 即， 所以． 当时，，也与已知相符， 所以数列的通项公式为． 4．已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等. (1)若数列满足，求数列的前n项和； (2)若数列满足，（），求数列的通项公式. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由题可知：，然后根据等差数列通项公式化为，再结合，建立方程组求解得到，由裂项相消求和即可； （2）由题可得，根据累乘法可求解数列的通项公式. 【详解】（1）设数列的公差为d（）， 与的等比中项与与的等比中项相等，即：， 所以， 又知，解得：，， 所以， ， ， 所以； （2）， 由累乘法可得：， 即， 故数列的通项公式：. 1．已知等比数列满足，则其公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设结合等比数列通项公式即可直接计算得，从而得解. 【详解】设等比数列的公比为q，则由题得， 所以. 故选：B 2．已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（   ） A．-2 B．4 C．8 D．-2或4 【答案】B 【分析】设出公差，根据成等比数列，得到方程，求出，检验后得到答案. 【详解】由题意得，，且， 设公差为，则，解得， 若，则，，满足要求， 若，则，不合要求，舍去， 故. 故选：B 3．在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项公式. 【详解】等式两边同时加1，得， 所以数列是以首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：C. 4．在等比数列中，若，，，则公比等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质可得，结合已知即可求出的值. 【详解】数列是等比数列， 故选：C. 5．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由为等差数列，则，，， ，解得或（舍去）. 故选：C. 6．等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，然后根据裂项法求和. 【详解】设等比数列的公比是，则，即，解得， 于是，， 于是的前项和为. 故选：C 7．已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】A 【分析】由条件可得，，结合关系可得，可得，由此判断AC，举反例判断BD. 【详解】因为，数列为正项数列， 所以，，又， 所以， 所以， 所以为等差数列，A正确，C错误； 设，则，，， 满足条件，， 因为，， 所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误. 故选：A. 8．数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可判断①，根据等比数列为常数列时，即可判断②. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为， 若等差数列满足“性质Ω”； 由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题， 设等比数列的首项和公比分别为，若，，则显然不成立， 因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题 故选：B 9．（多选）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】BD 【分析】由等比数列的性质求得，然后由得出的可能情形，再计算和． 【详解】∵是等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 10．（多选）已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（    ） A．若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列 B．若和{是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列 C．若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项 D．若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项 【答案】ABD 【分析】根据等差和等比数列的性质即可求解AB，举例即可说明CD. 【详解】对于A，由于，是各项均为正数的等差数列， 若，公共项的最小的一项记为于，且，的公差分别为， 若的最小公倍数为，则均为，的公共项,且构成等差，故A正确. 对于B，由于，是各项均为正数的等比数列， 若，公共项的最小的一项记为于，且，的公比分别为， 则均为，的公共项，且构成等比，故B正确. 对于C，若，，则，只有1项是公共项，C错误. 对于D，若，由于， 则，公共项只有，故D正确. 故选：ABD 11．已知，若是与的等比中项，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由条件结合等比中项性质可得，在利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为是与的等比中项， 所以，故， 又， 所以,， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 12．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 13．已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是 . 【答案】4 【分析】先根据可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可得到，结合可得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得，两式相减得，而， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即， 因为，则，即， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最小值是， 故答案为：. 14．已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为 . 【答案】 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】解：因为，且，所以， 所以数列为等比数列，则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 所以 故答案为: 15．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)6 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可； （2）对的表达式进行放缩，利用裂项相消法进行求解即可； （3）利用作差比较法，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 作差得， 两边同时除以得， 又，所以，得， 所以，故对， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，则． 设等比数列的公比为， 因为，所以由，或 又因以数列是递增数列，所以． （2）因为， 所以 ． （3）由（1）知，即，令，则， ， 所以当时，，当时，，当时，， 即有，， 又， 故当时，，所以，， 又， 所以，当时，，故使得成立的最大整数为6． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是，之二是利用作差比较法判断数列的单调性. 16．已知数列的各项均为正实数，，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用反比例函数单调性，可得答案. 【详解】（1）由，则，且， 所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1等比数列的概念及其通项公式 题型一：等比数列的定义及用定义求通项公式 1．已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若数列均为等差数列，则数列为等差数列 B．若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列 C．若数列为等差数列，则数列为等比数列 D．存在非零实数使得数列为等比数列 3．已知数列是等比数列，且，，则 . 4．设等比数列满足，，则 . 题型二：等比中项 1．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 2．已知等差数列的公差为，若成等比数列，则等于（    ） A． B．2 C．0或 D．0或2 3．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 题型三：等比数列通项公式的基本量计算 1．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 2．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 4．在公差为的等差数列和公比为的等比数列中，已知． (1)求的值； (2)是否存在常数，使得对于一切自然数，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型四：由递推关系证明等比数列 1．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（多选）已知数列满足，且，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 3．已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 4．已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 题型五：等比数列性质 1．在等比数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．等比数列中，，则的值为 ． 3．已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 . 4．若等比数列的各项均为正数，且，则 . 题型六：等比数列子数列性质及应用 1．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 2．等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 3．（多选）下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（    ） A．若数列是递增数列,则公比 B．若公比,则数列一定是递增数列或递减数列 C．若,则数列是递减数列 D．若,则数列是递增数列 4．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 题型七：正项等比数列的对数成等差数列的应用 1．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 2．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 3．若等比数列的各项均为正数，且，则 . 4．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为 . 题型八：等比数列的其他性质 1．在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 2．在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 3．等比数列中，，，则满足的最大正整数为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 4．已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 题型九：等比数列的通项公式的指数函数特征 1．若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十：累乘法求通项公式 1．数列满足：，则除以7的余数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 2．已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列中，求数列的通项公式． 4．已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等. (1)若数列满足，求数列的前n项和； (2)若数列满足，（），求数列的通项公式. 1．已知等比数列满足，则其公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（   ） A．-2 B．4 C．8 D．-2或4 3．在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 4．在等比数列中，若，，，则公比等于（   ） A． B． C． D．或 5．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 6．等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 7．已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 8．数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 9．（多选）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A． B．5 C．6 D．7 10．（多选）已知无穷数列和的各项均为整数，和是非常数数列，且和中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是（    ） A．若和是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列 B．若和{是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列 C．若为等差数列，为等比数列，则所有相等的项不止一项 D．若为递增数列，为递减数列，则所有相等的项可能只有一项 11．已知，若是与的等比中项，则的最小值是 ． 12．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 13．已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是 . 14．已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为 . 15．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 16．已知数列的各项均为正实数，，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 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