精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

哈四中2027届高一上学期第一次月考 数学试卷 2024.10.08 试卷满分:150分 考试时间：13:30—15:30 第一部分（选择题 共64分） 一、单择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列所给四个关系中：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数集、整数集、自然数集、有理数集的概念以及集合与元素的关系即可判断. 【详解】是实数，故①正确；不是整数，故②错误； 是自然数，故③正确；不是有理数，故④错误. 故选：B 2. 已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得或， 韦恩图中阴影部分表示的集合为，而， 所以，阴影部分表示的集合的元数个数为3. 故选：B 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，. 故选：B. 4. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式和一元二次不等式，结合充分条件、必要条件的概念根据两范围的大小即可得出结论. 【详解】将不等式可化为，解得； 等价，解得； 所以可得“”可以推出“”，即充分性成立； 而“”时也可能“”，推不出“”，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 6. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断，对于CD，利用不等式的性质分析判断， 【详解】，，，即， 且，无法取得等号，则，故A正确； 当，时，，，，，故B错误； ，∴，，故C错误； ，，而，则，故D错误． 故选:A 7. 已知，则的最小值是（    ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是5. 故选：A 8. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求命题“，”为真命题，可得，由此可得，再求其补集可得结论. 【详解】若命题“，”为真命题， 则即恒成立，所以， 又因为，所以， 所以命题“，”为假命题时，则实数的取值范围是． 故选：D 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，，所以，所以，故B正确； 对于C：由B项，因为，所以，即，故C正确； 对于D：如，，，，满足，，但是，故D错误. 故选：ABC 10. 已知全集，集合，，则（ ） A. . B. C. . D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，先解不等式求出集合及其补集，再利用集合的运算，对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为全集，集合，， 所以或，， ，， 所以，，， ，故选项AB正确，CD错误. 故选：AB 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 若，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A选项，当时， 当时， 所以两者既不充分也不必要，故A 错误; 对于B选项，当时，可取，但，当时，，故 B 正确; 对于C选项，当 时， ，从而，反之，时，若，则 ，所以两者不是充要条件，故 C错误； 对于D 选项，或，故D正确， 故选：BD . 12. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 第二部分（非选择题 共86分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分. 13. 已知集合，，则集合的子集的个数为______． 【答案】128 【解析】 【分析】利用集合定义求出集合，然后根据子集的性质求得子集个数. 【详解】因为集合，，所以， 所以集合的子集的个数为. 故答案为：128 14. 若，设，，则M，N的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，所以，，所以， 所以. 故答案为： 15. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可． 【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为， 由韦达定理知，， 所以当且仅当取等号． 【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题． 16. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式不等式可得集合A，从而根据集合运算分别求解即可； （2）由可知，根据集合间的关系即可求解. 【小问1详解】 由已知， 当时，，则， 又或，所以或； 【小问2详解】 由可知，，， 所以. 18. 已知二次函数. （1）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）求解关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分离参数构造函数，利用基本不等式求出最小值即得. （2）直接解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 ，不等式恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 不等式， 由，得，所以不等式的解为或； 故原不等式的解集为或. 19. 根据要求完成下列问题： （1）已知命题：，命题：（），且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的解集，再根据命题是命题的必要不充分条件，知道 再分类讨论，结合子集包含关系可解； （2）先解，再根据二次不等式与二次方程关系，结合韦达定理，得到.进而得到,再用乘１法，结合结合基本不等式可解. 【小问1详解】 命题：，解得，设命题表示集合， 设命题表示集合，∵命题是命题的必要不充分条件，∴ ， ，即， 当时，，，符合要求，可取， 当时，解得，∵，∴，解得，经检验符合要求，可取， 当时，解得，∵，∴，解得，经检验符合要求，可取， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 由得，解得， 又由得，其解集为， ∴和是方程的两根，根据韦达定理得、， ∴、，∴， 则， 当且仅当时，即时取等号，即、时，有最小值为. 20. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名科研人员，年人均投入a万元，现把原有科研人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）当30时，试写出调整后国家对科研人员年总投入y万元与技术人员x名的关系式. （2）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （3）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入. 【答案】（1） （2）75人 （3）存在 【解析】 【分析】（1）根据题意求出研发人员的投入和技术人员的投入之和即可，注意写上定义域. （2）根据题意列不等式，解一元二次不等式即可. （3）根据①②列不等式，分离参数，分别利用函数的单调性及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 依题意. 【小问2详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. 【小问3详解】 由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈四中2027届高一上学期第一次月考 数学试卷 2024.10.08 试卷满分:150分 考试时间：13:30—15:30 第一部分（选择题 共64分） 一、单择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列所给四个关系中：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 6. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值是（    ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 12 8. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知全集，集合，，则（ ） A. . B. C. . D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 若，则“”是“”的充要条件 12. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 第二部分（非选择题 共86分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分. 13. 已知集合，，则集合的子集的个数为______． 14. 若，设，，则M，N的大小关系是______． 15. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______． 16. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 18. 已知二次函数. （1）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）求解关于x的不等式的解集（其中）. 19. 根据要求完成下列问题： （1）已知命题：，命题：（），且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值. 20. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名科研人员，年人均投入a万元，现把原有科研人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）当30时，试写出调整后国家对科研人员年总投入y万元与技术人员x名的关系式. （2）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （3）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $