第12讲 反比例的图像与性质（练习，19题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 函数 第12讲 反比例的图像与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 反比例函数的定义 👉题型02 判断反比例函数的图像 👉题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 👉题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 👉题型05 根据反比例函数解析式判断其性质 👉题型06 判断反比例函数所在象限 👉题型07 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 👉题型08 由反比例函数增减性求值 👉题型09 由反比例函数的性质比较大小 👉题型10 求反比例函数解析式 👉题型11 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 👉题型12 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 👉题型13 已知反比例系数求图形面积 👉题型14 已知图形面积求反比例系数 👉题型15 反比例函数与实际问题 👉题型16 新考法：新考法问题 👉题型17 新考法：跨学科问题 👉题型18 一次函数与反比例函数综合 👉题型19 反比例函数与几何图形综合 👉题型01 反比例函数的定义 1．（2024·上海闵行·三模）若函数是反比例函数，则的值是 ． 2．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值． x 2 4 y 3 ▲ （1）反比例函数的比例系数是 ． （2）表中“▲”处的数为 ． 👉题型02 判断反比例函数的图像 4．（2024·重庆·三模）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 6．（2024·西藏拉萨·一模）在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．  B．  C．  D．   7．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 👉题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 8．（2024山东模拟）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 10．（2024吉安市一模）已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 11．（2022·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 👉题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 12．（2023三明市一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（2022滁州市二模）反比例函数y＝的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（　　） A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6 15．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 👉题型05 根据反比例函数解析式判断其性质 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 17．（2024·安徽·模拟预测）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．经过点 C．图象关于原点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 👉题型06 判断反比例函数所在象限 19．（2024·河北秦皇岛·一模）若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·河南新乡·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象一定位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 21．（2023·山东泰安·中考真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   22．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 👉题型07 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 23．（2024·贵州贵阳·二模）如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ． 24．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）对于反比例函数，当时，，则k的取值范围是 ． 25．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 26．（2024·湖南衡阳·二模）若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，0，2，4，6，现背面向上，其上面的数字能使反比例函数的图象过第一、三象限的概率为 ． 👉题型08 由反比例函数增减性求值 27．（2024·海南海口·二模）反比例函数在各自象限内，随的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 28．（2024·河北秦皇岛·一模）反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则 29．（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 31．（2024·河北沧州·二模）设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 👉题型09 由反比例函数的性质比较大小 32．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·天津·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 34．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 35．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 👉题型10 求反比例函数解析式 36．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 37．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知点A在正比例函数的图象上，过点A作轴于点B，以为边作正方形，点D在反比例函数的图象上． (1)当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式； (2)若正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k的值． 👉题型11 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 38．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 39．（2024·河北沧州·一模）如图，正比例函数 y=x与反比例函数（）的图象交于点A，，过点A作，交x轴于点B；作，交反比例函数的图象于点；过点作，交x轴于点；再作，交反比例函数的图象于点，依次进行下去…    根据以上信息，解答下列问题． （1）k的值为 ． （2）点的横坐标为 ． 40．（2023衡阳市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，……，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 41．（2022·陕西西安·模拟预测）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则 ， （用的代数式表示） 👉题型12 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 42．（2023·江苏南京·一模）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的值可以是 （写出一个即可）． 43．（2024·山西吕梁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上，且，写出一个满足条件的k的值为 ． 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象过经点，且，写出一个符合条件的的值是 ． 45．（2024·湖北武汉·模拟预测）写出一个函数表达式，使其图象经过第二象限，且函数图象关于原点成中心对称，则表达式可为 ． 👉题型13 已知反比例系数求图形面积 46．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 47．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 48．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 49．（2024·广西玉林·一模）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 👉题型14 已知图形面积求反比例系数 50．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 51．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（        ） A．6 B． C． D．3 52．（2024·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数 和 的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 53．（2024·山东菏泽·二模）如图，中，，顶点A，分别在反比例函数与的图象上，，则的值为 ． 54．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 55．（2024·安徽·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接，过点A作轴于点C，交于点D．若的面积为8，则k的值为 ． 56．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则 ．    👉题型15 反比例函数与实际问题 57．（2024·河南周口·模拟预测）很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ (2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 58．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 59．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 60．（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 2 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 61．（2024·山西晋中·三模）某汽车监测站用一种一氧化碳检测仪测量家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)根据图2可以判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成___________函数，其函数解析式为___________． (2)若某家用燃油汽车的气敏电阻为，求该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量． (3)若家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量不超过方可达到环保标准，请直接写出该家用燃油汽车的气敏电阻应控制在什么范围． 👉题型16 新考法：新考法问题 62．（2024临沂市三模）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 63．（2021·浙江杭州·一模）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 64．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 65．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 66．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】 (1)当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． (2)当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． (3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 👉题型17 新考法：跨学科问题 67．（2024·河南信阳·模拟预测）在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值为 B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D．要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 68．（2024·河南·三模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（    ） 小贴士 电路总功率， 其中是电路电源电压 A．该图象不是反比例函数图象 B．R随E增大而减小 C．当烟雾浓度减小时，示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大 69．（2024·广西南宁·模拟预测）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 👉题型18 一次函数与反比例函数综合. 70．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 71．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线： ，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 72．（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 👉题型19 反比例函数与几何图形综合 73．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 74．（2024·山东青岛·模拟预测）如图①，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组内有同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块的面积为 ，得 ，满足条件的可看作反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标．由木栏总长为，得 ，满足条件的可看作一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看作两个函数图像交点的坐标． 如图②，反比例函数 的图像与直线 的交点坐标为和 ，因此木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为，或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图②中画出一次函数图像，并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数 ，发现直线 可以看作直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线 与反比例函数 的图像有唯一交点． （3）请在图②中画出直线 过点时的图像，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为与 的图像在第一象限内交点的存在问题． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 75．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 76．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 4．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ． 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． (1)求、、的值； (2)在线段上若有一点，当时，求出点的坐标． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·新疆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 7．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 10．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 11．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．    12．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 13．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 14．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 15．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，C，点A的横坐标为．    (1)求点B的坐标和反比例函数的表达式； (2)设P是x轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标； (3)若D是线段上一动点，过点D作垂线交反比例函数图象于点E，F，连接，当与相似时，求点D的坐标． 16．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 17．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 18．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． $$第三章 函数 第12讲 反比例的图像与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 反比例函数的定义 👉题型02 判断反比例函数的图像 👉题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 👉题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 👉题型05 根据反比例函数解析式判断其性质 👉题型06 判断反比例函数所在象限 👉题型07 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 👉题型08 由反比例函数增减性求值 👉题型09 由反比例函数的性质比较大小 👉题型10 求反比例函数解析式 👉题型11 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 👉题型12 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 👉题型13 已知反比例系数求图形面积 👉题型14 已知图形面积求反比例系数 👉题型15 反比例函数与实际问题 👉题型16 新考法：新考法问题 👉题型17 新考法：跨学科问题 👉题型18 一次函数与反比例函数综合 👉题型19 反比例函数与几何图形综合 👉题型01 反比例函数的定义 1．（2024·上海闵行·三模）若函数是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数的定义：，列式计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 故答案为： 2．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴且， 解得，． 故答案为：5． 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值． x 2 4 y 3 ▲ （1）反比例函数的比例系数是 ． （2）表中“▲”处的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数关系式及反比例函数图像上的点与反比例函数解析式的对应关系， （1）设出反比例函数的解析式为：，把，代入求解即可得到k值； （2）将代入求解即可． 【详解】设反比例函数解析式为 将，代入得， ∴反比例函数的比例系数是； （2）∵ ∴ 当时，， ∴中“▲”处的数为． 故答案为：，． 👉题型02 判断反比例函数的图像 4．（2024·重庆·三模）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为者，即为反比例函数图象上的点，据此即可判断求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由得，， 、∵， ∴点在反比例函数图象上，该选项符合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数图象上，该选项不合题意； 故选：． 5．（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．由抛物线与轴没有交点可求得，即可求解． 【详解】∵抛物线与轴没有交点， ∴没有实数根， ∴ ∴ ∴函数的图象在第一、第三象限， 故选：A． 6．（2024·西藏拉萨·一模）在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数的图象性质得到经过第一、二、三象限；根据反比例函数的图象性质得到分布在第一、三象限，然后对各选项进行判断． 【详解】解：函数经过第一、二、三象限，函数分布在第一、三象限． 故选：C． 7．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 👉题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 8．（2024山东模拟）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，扇形面积；根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点，即可求出圆的半径． 【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点， ∴可知圆的半径 ， ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故选：C． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 10．（2024吉安市一模）已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得点坐标． 【详解】解：点的坐标为， 根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得第一象限内点坐标为，在第三象限内点坐标为或， 点的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点坐标满足反比例函数的解析式． 11．（2022·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 【答案】−2 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、N两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称， ∵k>0， ∴图像经过一、三象限， y图像也关于(0，0)中心对称， ∵2>0， ∴图像经过一、三象限， 又∵M、N为y=kx与y交点， ∴M、N也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限， ∴M(x1， )，N(−x1，)， ∴x1⋅y2==−2， 故答案为−2． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键． 👉题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式 12．（2023三明市一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：，， ∴，即：， ∴的值可以为； 故选C． 13．（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据图象上一次函数和反比例函数的性质就可得出判断． 【详解】解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：，， 根据反比例函数图象过一、三象限可知：， ，，， 故选：A． 14．（2022滁州市二模）反比例函数y＝的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（　　） A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6 【答案】B 【分析】由一次函数的解析式求得A、B的坐标，然后根据图象得到关于k的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上， ∴a+5＝1，b＝﹣2+5， ∴a＝﹣4，b＝3， ∴A（﹣4，1），B（﹣2，3）， 由图象可知，， 解得﹣6＜k＜﹣4， ∴k的值可能为﹣5， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数与一次函数的综合，反比例函数图象等知识．解题的关键在于根据A、B的位置与反比例函数的关系列不等式组． 15．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 👉题型05 根据反比例函数解析式判断其性质 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质：（）反比例函数的图象是双曲线；（）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．本题根据反比例函数的性质即可直接作出判断． 【详解】解：A.、把代入得，，则不在图象上，故A错误； B、∵，∴图象位于第一、三象限，故B错误； C、∵，∴当时，随的增大而减小，故C正确； D、∵，当时，图象在第一象限，故D错误． 故选：C． 17．（2024·安徽·模拟预测）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．经过点 C．图象关于原点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数，当时，图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，图象分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数图形位于二、四象限，故A不正确，不符合题意； ∵， ∴B不正确，不符合题意； 该反比例函数图象关于原点成中心对称，故C正确，符合题意； ∵， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大，故D不正确，不符合题意； 故选；C． 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； 、当时，随增大而增大，故不符合题意; 、若在该函数图象上，则，故符合题意； 、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选：. 👉题型06 判断反比例函数所在象限 19．（2024·河北秦皇岛·一模）若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与反比例函数图象的综合应用，先求解，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵当时，， ∴过， ∴对应的图象是， 故选D 20．（2024·河南新乡·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象一定位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象判断各项系数的符号，反比例函数的性质；由图象可判断，，，由反比例函数性质即可求解；会利用二次函数图象判断各项系数的符号，理解反比例函数性质是解题的关键． 【详解】解：由图象得 抛物线开口方向向上， ， 与轴交点在轴的负半轴， ， 对称轴在轴的左侧， ， ， ， 反比例函数的图象一定位于第二、四象限； 故选：D． 21．（2023·山东泰安·中考真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 22．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限， ∴，； ∴ ∴反比例函数的图象位于第二、四象限 故选：C 👉题型07 已知反比例函数经过象限求参数取值范围 23．（2024·贵州贵阳·二模）如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数y＝图象的一支位于第二象限， ∴， 解得， 故答案为：。 24．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）对于反比例函数，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可判断出反比例函数位于第二象限，即可得到，从而得出结果． 【详解】解：对于反比例函数，当时，， 反比例函数当时，位于第二象限， ， ， 故答案为：． 25．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 26．（2024·湖南衡阳·二模）若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，0，2，4，6，现背面向上，其上面的数字能使反比例函数的图象过第一、三象限的概率为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了概率公式，由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出k的取值范围，然后由概率公式进行计算可以得解． 【解答】解：∵反比例函数的图象过第一、三象限， ∴， 解得：， ∴，，0，2时，反比例函数的图象过第一、三象限， ∴满足题意的概率为：． 故答案为：． 👉题型08 由反比例函数增减性求值 27．（2024·海南海口·二模）反比例函数在各自象限内，随的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质判断即可，正确理解当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限，随的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数在各自象限内，随的增大而增大， ∴， 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 故选：． 28．（2024·河北秦皇岛·一模）反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 直接利用反比例函数的性质和定义得出且，进而得出的值． 【详解】解：在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减少， 且， ， 故答案为：． 29．（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数的取值范围，能根据反比例函数的增减性判断所在象限是解答本题的关键． 先根据“当，”得到反比例函数在二、四象限，进而得到，求解即可解答本题． 【详解】解：时，， 反比例函数在二、四象限， ， 解得：， 故选：A． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可． 【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 故答案为2． 31．（2024·河北沧州·二模）设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，首先根据与的取值分析，的增减性，然后根据增减性确定最值，进而求解，关键是根据反比例函数的增减性确定最值． 【详解】解：， ∴在每个象限内，随的增大而减小， ， 当时最大， 即， ， ， ， ∴在每个象限内，随的增大而增大， ， 当时最小， 即， ， ， 解得：， ， 故选：A． 👉题型09 由反比例函数的性质比较大小 32．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图像及增减性，当时，反比例函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵当时，反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数（）的图像上， 又， ∴． 故选：C 33．（2024·天津·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴． 故选：B． 34．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．由，，从而可得答案． 【详解】解：在中，有两点， ∴，， ∴， 故选C 35．（2024·山东临沂·模拟预测）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 👉题型10 求反比例函数解析式 36．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)；6 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）)把点B代入正比例函数、反比例函数关系式可求出，的值； （2）过点B作于点H，根据，求出点C的横坐标，求出，代入求出进而求得，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点，． 又∵正比例函数的图象经过点， ，解得 ， ，． （2）解：如解图，过点B作于点H． 由（1）可知，正比例函数的表达式为 x， 反比例函数的表达式为． ∵点C在正比例函数的图象上，且轴，， ∴点C的纵坐标为6． 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ，点A的横坐标为4． ∵点A在反比例函数 的图象上， ∴点A的坐标为， ， ，， ． 37．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知点A在正比例函数的图象上，过点A作轴于点B，以为边作正方形，点D在反比例函数的图象上． (1)当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式； (2)若正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键． （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可求k的值； （2）由正方形的面积为m，得边长为，可表示出D和A的纵坐标为，进而求出D的坐标，代入反比例函数 即可． 【详解】（1）解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴当时，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵正方形的面积为m， ∴， ∴点D和点A的纵坐标为， 把点A的纵坐标为代入得， ， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴， ∴点D的坐标为． 将点D的坐标代入，得． 👉题型11 与反比例函数有关的规律有关的探究问题 38．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 故答案为：． 39．（2024·河北沧州·一模）如图，正比例函数 y=x与反比例函数（）的图象交于点A，，过点A作，交x轴于点B；作，交反比例函数的图象于点；过点作，交x轴于点；再作，交反比例函数的图象于点，依次进行下去…    根据以上信息，解答下列问题． （1）k的值为 ． （2）点的横坐标为 ． 【答案】 1 【分析】（1）根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、都是等腰直角三角形，设，则点，根据，可求出，进而得到点的横坐标为1，进一步求出值即可； （2）求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案． 【详解】解：（1）如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、．   直线的关系式为，， 是等腰直角三角形， 同理可得、、都是等腰直角三角形， 设， 则点， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）∵， 点的横坐标为1， 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点的横坐标为； 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点的横坐标为； 同理可得：点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； ． 点的横坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键． 40．（2023衡阳市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，……，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， … 由上可知， …，3个为一组依次循环， ∵， ∴， 故答案为：2 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 41．（2022·陕西西安·模拟预测）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则 ， （用的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，即 ，根据，得出即可． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、、、、， ∴， ， ， … ， ∵， ∴ ． 故答案为：；． 👉题型12 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质 42．（2023·江苏南京·一模）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．（1）正比例函数，时，正比例函数图象过第一、三象限；时，正比例函数图象过第二、四象限；（2）反比例函数，时，反比例函数图象在第一、三象限；时，反比例函数图象在第二、四象限． 【详解】正比例函数与函数的图像没有交点， ， k的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 43．（2024·山西吕梁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上，且，写出一个满足条件的k的值为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据随的增大而减小，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上．，， ∴随的增大而减小，则函数图象位于第一、三象限， ∴， ∴（答案不唯一） 故答案为：2（答案不唯一）． 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象过经点，且，写出一个符合条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意，即，任意取一个符合条件的值即可． 【详解】解：反比例函数的图象过经点， ，即， 符合条件的的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 45．（2024·湖北武汉·模拟预测）写出一个函数表达式，使其图象经过第二象限，且函数图象关于原点成中心对称，则表达式可为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了正比例函数和反比例函数图象性质的应用能力，关键是能准确理解以上知识．根据正比例函数和反比例函数的性质可得，所有的正比例函数和反比例函数的图象都符合题意． 【详解】解：由题意得，所有的正比例函数和反比例函数的图象都在第二、四象限且关于原点对称， 故答案为：（答案不唯一）． 👉题型13 已知反比例系数求图形面积 46．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 47．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出反比例函数解析式，利用解析式得到，，再根据即可求解，熟练掌握反比例函数值几何意义是解题的关键． 【详解】∵对角线的中点，且点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 48．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于中等题型．先 出，再求出阴影部分的面积． 【详解】解：矩形中，， 点A与点P的横坐标相同，点B与点P的纵坐标相同， 将代入得：，将代入得：， ， ， ． 故答案为：7． 49．（2024·广西玉林·一模）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入反比例之中即可求出的值；连接交于，根据菱形性质得与互相垂直平分，则，，，，进而得，在中由勾股定理得，从而得为等边三角形，由此得，从而得，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得，则，由此可得图形阴影部分面积之和． 【详解】解点在反比例的图象上， ； 连接交于点，设与交于点，如图所示： 四边形为菱形， 与互相垂直平分，， 点的纵坐标为， ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为菱形， 和互相垂直平分， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 图形阴影部分面积之和为：． 故选：B． 👉题型14 已知图形面积求反比例系数 50．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的中位线可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵的面积为12，轴， ∴，即， 又∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故选：B． 51．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（        ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，根据同高三角形的面积比等底边比，求出的面积，即可得出k 的值． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴轴， ∵点A 在反比例函数上，点 B在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 52．（2024·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数 和 的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】题考查平行四边形的性质、反比例函数系数的几何意义，过点作轴于点，过点作轴于点，得出四边形是矩形，则利用反比例函数的比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴ 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故答案为：． 53．（2024·山东菏泽·二模）如图，中，，顶点A，分别在反比例函数与的图象上，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数中的几何意义，解直角三角形的相关运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．作轴于点，轴于点，可得，结合，可知，从而可证，再根据相似三角形面积比为相似比的平方结合反比例函数中的几何意义可得，结合图像即可求得的值． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点， ，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 由图可知：的图像在第二象限， ， 故答案为：． 54．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵轴交反比例函数图像于点N， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： 55．（2024·安徽·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接，过点A作轴于点C，交于点D．若的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数值的几何意义可知：，利用相似推导出，继而得到值即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 根据反比例函数值的几何意义可知：， ∴ ， ， ∵ ∴ ， 设， 则有：， 解得， ， ∴， 反比例函数图象在第四象限， ． 故答案为：． 56．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，根据题意可得：，结合的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∵的面积， ∴； 故答案为：10． 👉题型15 反比例函数与实际问题 57．（2024·河南周口·模拟预测）很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ (2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】(1)0.5米 (2)25度 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可； （2）把代入，求得，再作差即可求解． 【详解】（1）解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为， 由图可得，当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米． （2）解：当时，， ∴（度）， 答：明明的眼镜度数下降了25度． 58．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 【答案】(1) (2)自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数解析式，再令代入解析式求出x值，最后即可． 【详解】（1）设加热过程中函数解析式为，点，在函数图象上， ，解得， 当时，y与x之间的函数关系式为：； （2）∵点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为， ， 反比例函数解析式为：， 当时，， 自动停止加热到水温降到室温的时间为：（分钟）， 答：自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟． 59．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为：． (2)这天内有小时水果生长不受伤害． 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． 60．（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 2 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 【答案】(1)（的整数），首付款为6万元 (2)平均每月应付万元 (3)他能在规定不计算利息的期限内结算 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是找出等量关系，列出函数解析式． （1）利用待定系数法，即可求出解析式； （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值； （3）知道了y的值，利用解析式即可求出自变量的值． 【详解】（1）解：由表格猜想y与x成反比例函数关系， 设y与x的函数表达式为， 当，，代入表达式得， ， 与x的函数表达式为（的整数）， 经检验表中其他各组对应值均满足此表达式， 当时，， （万元）． 首付款为6万元； （2）当时，（万元）， 答：平均每月应付0.35万元； （3）当时，， 解得， ， 答：他能在规定不计算利息的期限内结算． 61．（2024·山西晋中·三模）某汽车监测站用一种一氧化碳检测仪测量家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)根据图2可以判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成___________函数，其函数解析式为___________． (2)若某家用燃油汽车的气敏电阻为，求该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量． (3)若家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量不超过方可达到环保标准，请直接写出该家用燃油汽车的气敏电阻应控制在什么范围． 【答案】(1)反比例； (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用： （1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式； （2）把代入计算既可； （3）根据题意列不等式，然后将变形求解即可 【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有， ∴，即， ∴R与β之间成反比例函数，解析式为：． 故答案为：反比例函数，． （2）解：在中，当时，， 解得， 该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量为． （3）解：根据题意得， 由得，, ∴ ∴ 故答案为： 👉题型16 新考法：新考法问题 62．（2024临沂市三模）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)猜测是关于的反比例函数， (3)当砝码质量为时，托盘与点的距离为 (4)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）利用反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：画出图象如图所示： （2）解：根据图象，猜测是关于的反比例函数， 设， 将代入函数解析式得：， 解得：， ∴； 验证：当时； 当时，，故猜想成立； （3）解：当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：应往托盘中添加砝码， 理由如下：∵是关于的反比例函数， ∴当托盘向左移动（不能移动到点）时，相当于与点的距离在逐渐变小， ∴应往托盘中添加砝码． 63．（2021·浙江杭州·一模）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； （3）解：他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴他不能撬动这块石头． 64．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 【答案】(1)当增大时，变小 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）根据反比例函数的性质，即可求解； （2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得和的值，即可求得相应的函数解析式． 【详解】（1）解：，则当增大时，变小 （2）解：由题意得：． ∵，；， ∴． 解得： 65．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 66．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】 (1)当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． (2)当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． (3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 【答案】(1)①反比例；② ；③ (2) (3)不匹配，检测距离应调整为 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据图象上的点猜测为反比例函数关系，②求出比例系数，再验证即可，③代入函数解析式，即可得到答案； （2）根据的增减性进行解答即可； （3）根据题意解得检测距离应为，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象中点的坐标规律得到n与b成反比例关系， 设，将其中的点代入，得到， ∴， 将其余点一一代入，都符合关系式， 故答案为：①反比例；② ； ③将代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为； （2）， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， 又； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， 由相似三角形性质得， 由（1）知， 解得检测距离应为 答：不匹配，检测距离应调整为．（或者小何同学应当向视力表方向前进） 👉题型17 新考法：跨学科问题 67．（2024·河南信阳·模拟预测）在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值为 B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D．要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．观察图象得：当时，，可得，再根据反比例函数的性质解答，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，， ∴，解得：， 即灯丝的阻值为，故A选项正确，不符合题意； ∴用含R的代数式表示I为，故B选项正确，不符合题意； 当时，， 即当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为，故C选项正确，不符合题意； ∵通过灯泡的电流不低， ∴，解得：， 即要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为，故D选项错误，符合题意； 故选：D 68．（2024·河南·三模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（    ） 小贴士 电路总功率， 其中是电路电源电压 A．该图象不是反比例函数图象 B．R随E增大而减小 C．当烟雾浓度减小时，示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的定义、增减性以及相关物理知识，能够跨学科思维成为解题的关键． 根据反比例函数图像的定义以及增减性可判定A、B，然后结合物理知识可判定C、D． 【详解】解：A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法正确，不符合题意； B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意； C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R两端的电压，根据可知，电压表的示数变大，故本选项说法错误，符合题意； D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本该选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 69．（2024·广西南宁·模拟预测）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 【答案】(1)4，3 (2)①见解析；②不断减小 (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：，， ，， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 👉题型18 一次函数与反比例函数综合. 70．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． （1）由一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得． （2）联立方程，解方程组即可求得的坐标；令的图象交轴和轴于点，求出的坐标为，根据可得答案． 【详解】（1）解：的图象经过， ， 解得， ， 反比例函数的图象经过， 反比例函数的解析式为； （2）解：由，解得或， ， 令的图象交轴和轴于点， 则，解得：， 的坐标为， ，即的面积为3． 71．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线： ，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式的应用； （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解； （3）直线：（）经过点，则直线：，联立直线与，得出一元二次方程，根据题意，令判别式为，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数的解析式为：， 又∵点在反比例函数， ∴，解得， ∴点的坐标为：， 把点、的坐标代入， 得：， 解之，得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）根据图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：或； （3）∵直线：（）经过点， ∴，即， ∴直线：， 由与，消去，得：， 即， ∵直线与反比例函数仅有一个公共点， ∴． ∴， ∴直线的解析式为． 72．（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)存在，或或或或 【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可； （2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可． 【详解】（1）对于，当时，． ∴， ∴， 设点B的横坐标为t，则 ∵， ∴， 解得． ∴， 把代入中，得 ∴． （2）由（1）得，则反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，． 设，则 ，，． ①若，即， ∴， 解得． 此时点E的坐标为．· ②若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， ③若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， 综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形． 👉题型19 反比例函数与几何图形综合 73．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中． （1）求出，将代入求出，得出的坐标，把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）求出四边形的面积，求出的值，即可求出的坐标． 【详解】（1），四边形是矩形， ， 将代入得：， ， 把的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； （2）把代入得：，即， ， 由题意得：， ， 点的坐标是或． 74．（2024·山东青岛·模拟预测）如图①，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组内有同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块的面积为 ，得 ，满足条件的可看作反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标．由木栏总长为，得 ，满足条件的可看作一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看作两个函数图像交点的坐标． 如图②，反比例函数 的图像与直线 的交点坐标为和 ，因此木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为，或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图②中画出一次函数图像，并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数 ，发现直线 可以看作直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线 与反比例函数 的图像有唯一交点． （3）请在图②中画出直线 过点时的图像，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为与 的图像在第一象限内交点的存在问题． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）不能围出，理由见详解； （3）图像见详解，， （4） 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． （1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图像，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图像，将点代入，即可求出的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图像经过点，，则当与图像在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图像，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）反比例函数 ，直线：， 联立得：， 解得：，， 反比例函数与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；，； 故答案为：，， （2）不能围出． 木栏总长为， ，则， 画出直线的图像，如图中所示： 与函数图像没有交点； 不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图像， 将点代入，得：， 解得：； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块，与图像在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理可得：， ， 整理得：， 把代入得：， 解得：， 反比例函数图像经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图像在点右边，点左边存在交点时，满足题意； 把代入，得， 解得： 把代入得：， 解得：， ． 75．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 76．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 1．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 2．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ． 【答案】 ③ 或 【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，取，不存在“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，取时，，得到是的“近轴点”； （2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到． 【详解】（1）①中， 时，， 不存在“近轴点”； ②， 由对称性，当时，， 不存在“近轴点”； ③， 时，， ∴是的“近轴点”； ∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③ 故答案为：③； （2）中， 时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ∴， ∴； 当直线过时，， ∴， ∴； ∴m的取值范围为或． 故答案为：或． 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． (1)求、、的值； (2)在线段上若有一点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先求出点坐标，然后利用三角形的面积公式可求出，根据即可求出，设，于是可得，根据点在反比例函数上即可求出的值，利用点在反比例函数上即可求出的值，利用一次函数的图象经过点即可求出的值； （2）连接，首先求出直线与轴的交点的坐标，然后可证得，于是可得，设，则有，解该分式方程，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， 又点在反比例函数上， ， ， 点在反比例函数上， ， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， 、、的值分别为，，； （2）解：如图，连接， 由（1）可知：直线的表达式为， 当时，， ， ， 轴， ， 轴轴， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得：或， 经检验，或是原分式方程的解， 点在第一象限， 将舍去， ， ， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解一元一次方程，垂线的定义，相似三角形的判定与性质，解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值． 【详解】过点E作，则， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴ ∴ 即，解得： 故选D 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 5．（2024九年级下·新疆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴点与点关于原点对称，故正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小， 当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故正确； ∴正确结论有个， 故选：． 6．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵，， ∴当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 7．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 8．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 9．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可． 【详解】解：根据题意有：， 故答案为：（答案不唯一） 10．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 11．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．    【答案】 【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为．    由题意，在中，，， ． ． ． 又绕点顺时针旋转至的位置， ． ． 又点是的中点， ． 在中， ， ． ，． 又在上， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键． 12．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 13．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可； （3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式． （2）解：由表格可知，， 画出函数图象如下： ． （3）解：联立，解得或， ∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则， ∴，点到的距离与点到的距离之和为， ∵的面积为15， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以点的坐标为． 14．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 15．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，C，点A的横坐标为．    (1)求点B的坐标和反比例函数的表达式； (2)设P是x轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标； (3)若D是线段上一动点，过点D作垂线交反比例函数图象于点E，F，连接，当与相似时，求点D的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：，点 (2)点的坐标为：或或或 (3)点 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，列出等式即可求解；当时，同理可解； （3）与相似时，则，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 即点， 则， 则反比例函数的表达式为：， 与轴交于点， 令，解得， 则点； （2）解：设点， 由点的坐标得，， 当时， 则， 解得：或， 则点的坐标为：或； 当时， 则， 解得：， 则点的坐标为：或， 综上，点的坐标为：或或或； （3）解：过点作轴，过点作交于点，过点作轴，过点作轴，则， 则 ， 则，，    设点， ∵直线， 则直线的表达式为：， 则， 同理可得：， 联立反比例函数表达式和的表达式得：， 整理得：， 则， 当与相似时， 则， 即， 即， 即， 整理得：， 解得：(舍去)或， 即点． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到相似三角形的性质、解直角三角形、解一元二次方程、一次函数与反比例函数的性质以及次函数与反比例函数交点等知识点，数据处理是解题的难点． 16．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入得，， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：， ∵直线与函数图象交于，两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 把代入得，， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： （3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 18．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． $$