4.2 三角形及其重要线段-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 四 章 三 角 形 第二节　 三角形及其重要线段 A 基础分点练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 1 三角形的分类与稳定性 1. (2023 吉林)如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理 是　 三角形具有稳定性　 . 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,墨汁遮住了三角形的一部分,则这个三角形可能是　 ②③　 . (填 其所有可能性的序号) ①直角三角形;②等腰三角形;③钝角三角形;④等边三角形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 2 三角形的三边关系 3. 开放性试题 (2023 连云港)一个三角形的两边长分别是 3 和 5,则第三边长 可以是　 4(答案不唯一) 　 . (只填一个即可) 4. (2022 益阳)如图①所示,将长为 6 的矩形纸片沿虚线折成 3 个矩形,其中 左右两侧矩形的宽相等,若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体,则 图中 a 的值可以是 ( B ) 第 4 题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 3 三角形的内角和与内外角关系 5. (2023 遂宁)若三角形三个内角的比为 1 ∶ 2 ∶ 3,则这个三角形是　 直角　 三角形. 6. 如图,AB 和 CD 相交于点 O,则下列结论正确的是 ( A ) 第 6 题图 A. ∠1 = ∠2 B. ∠2 = ∠3 C. ∠1>∠4+∠5 D. ∠2<∠5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 四 章 三 角 形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 4 三角形中的重要线段 7. (2023 云南)如图,A,B 两点被池塘隔开,A,B,C 三点不共线. 设 AC,BC 的 中点分别为 M,N. 若 MN= 3 米,则 AB= ( B ) A. 4 米 B. 6 米 C. 8 米 D. 10 米 拓展设问 若∠C= 50°,∠B= 60°,则∠AMN= 　 110　 °. 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. (2024 河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段 BD 一定是△ABC 的 ( B ) A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 9. 如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线. (1)若△ABC 的面积为 4,则△ABD 的面积为　 2　 ; (2)若 AC= 4,△ABD 比△ACD 的周长多 2,则 AB= 　 6　 . 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 10. (2023 丽水)如图,在△ABC 中,AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AC 于 点 E,∠B= ∠ADB. 若 AB= 4,则 DC 的长是　 4　 . 11. (北师七下 P88 第 2 题改编)如图,在△ABC 中,BD 是△ABC 的一条角平 分线. (1)若∠A= 50°,∠C= 72°,则∠ABD= 　 29　 °; (2)若△ABD 的面积为 10,AB= 5,则点 D 到 BC 的距离为　 4　 . 变式 1 (北师八上 P180 第 4 题改编)如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,CE 平分∠ACB,∠A= 65°,则∠E 的度数为　 122. 5　 °. 第 11 题图 　 　 　 　 第 11 题变式 1 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 49 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 四 章 三 角 形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　变式 2 (北师八上 P187 第 16 题改编)如图,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的平 分线,CE 是外角∠ACM 的平分线,BE 与 CE 相交于点 E,若∠A= 60°,则 ∠BEC 是 ( B ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 第 11 题变式 2 题图　 　 　 　第 11 题变式 3 题图 变式 3 如图,点 D,F 分别在△ABC 的边 AC,AB 的延长线上,BE,CE 分 别平分∠FBC,∠BCD,若∠A= 60°,则∠E 的度数为　 60°　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 B 能力提升练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　12. (2023 河北)四边形 ABCD 的边长如图所示,对角线 AC 的长度随四边形形 状的改变而变化.当△ABC 为等腰三角形时,对角线 AC 的长为 ( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13. (人教八上 P9 第 8 题改编)如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别 为点 D 和点 E,AD 与 CE 交于点 O,连接 BO并延长交 AC 于点 F,若 AB= 5,BC= 4,AC= 6,则 CE ∶ AD ∶ BF= 　 12 ∶15 ∶10　 . 14. 如图,AE 是∠BAC 的平分线,BD 是△ABC 的中线,AE,BD 相交于点 E, EF⊥AB 于点 F,若 AB= 14,AC= 12,S△BDC = 20,则 EF 的长为 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. (2022 安顺)如图,在△ABC 中,AC = 2 2 ,∠ACB = 120°,D 是边 AB 的中 点,E 是边 BC 上一点,若 DE 平分△ABC 的周长,则 DE 的长为 ( C ) A. 5 2 B. 2 +1 2 C. 2 D. 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 59 订正与反思 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 四 章 三 角 形 16. (2022 遂宁)如图,D,E,F 分别是△ABC 三边上的点,其中 BC = 8,BC 边 上的高为 6,且 DE∥BC,则△DEF 面积的最大值为 ( A ) 第 16 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 17. 易错 ∙∙ 　 (2022 哈尔滨)在△ABC 中,AD 为边 BC 上的高,∠ABC = 30°, ∠CAD= 20°,则∠BAC 是　 80 或 40　 度. 18. (2023 潍坊)如图,在△ABC 中,CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点 E,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F,G 为 BC 的中点,连接 FG.求证:FG= 1 2 AB. 第 18 题图　 证明:∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD, ∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCD, ∴∠ACD=∠FEC,∴EF=CF, ∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°, ∴∠EAC+∠ACD=90°,∠AEF+∠FEC=90°, ∴∠EAC=∠AEF,∴AF=EF, ∴AF=CF,∴F 是 AC 的中点, ∵G 是 BC 的中点, ∴GF 是△ABC 的中位线, ∴FG= 1 2 AB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 C 综合与实践 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　19. (2022 河北)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线 BM上取一点 A,设 AC=d, 若对于 d 的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求 d 的取值范围. ”对 于其答案,甲答:d≥2,乙答:d= 1. 6,丙答:d= 2 ,则正确的是 ( B ) 第 19 题图 A. 只有甲答得对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 69 订正与反思 订正与反思 参考答案与重难题解析·数学36　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 解法三:如解图③,设直线 BD 分别交 l1,l2 于点 H,I,过 点 D 作 DM∥l1,则∠α+ ∠ADM = 180°. ∵ ∠α = 50°,∴ ∠ADM = 130°,又 ∵ ∠ADE = 146°, ∴ ∠MDI = 146° - 130° = 16°. ∵ l1∥l2,∴ DM∥l2,∴ ∠DIF = ∠MDI = 16°. ∵ △EFG 是等边三角形,∴ ∠EGF = 60°. ∵ ∠EGF = ∠β+ ∠DIF,∴ ∠β= ∠EGF-∠DIF= 60°-16° = 44°. 第 18 题解图③ 19. 45　 【解析】2 条直线相交,最多有 1 个交点,3 条直线相 交,最多有 3 个交点,即 1+ 2 = 3,4 条直线相交,最多有 6 个交点,即 1+ 2+ 3 = 6,5 条直线相交,最多有 10 个交 点,即 1+2+3+4 = 10,…,10 条直线相交,最多有 1+2+3+ 4+…+7+8+9 = 45(个)交点. 第二节　 三角形及其重要线段 1. 三角形具有稳定性 2. ②③ 3. 4(答案不唯一)　 【解析】由题意得 5-3<x<5+3,即 2<x<8,∴ x 的值可以是 4(大于 2 小于 8 的数均可). 4. B　 【解析】长为 6 的线段围成等腰三角形的腰长为 a,则 该等腰三角形的底边长为 6- 2a,由题意得 2a>6-2a, 6-2a>0,{ 解 得 3 2 <a<3,所给选项中 a 的值分别为 1,2,3,4,∴ 只有 2 符合上面不等式组的解集,∴ a 的值可以是 2. 5. 直角　 【解析】设这个三角形最小的内角是 x°,则另外两 内角的度数分别为 2x°,3x°,根据题意得 x+ 2x+ 3x = 180, 解得 x= 30,∴ 3x° = 3× 30° = 90°,∴ 这个三角形是直角三 角形. 6. A　 【解析】A. ∵ ∠1 和∠2 是对顶角,∴ ∠1 = ∠2,故 A 正 确;B. ∵ ∠2 是△AOD 的外角,∴ ∠2>∠3,故 B 错误;C. ∵ ∠1 是△BOC 的外角,∴ ∠1 = ∠4+∠5,故 C 错误;D. ∵ ∠2 是△BOC 的外角,∴ ∠2>∠5,故 D 错误. 7. B　 【解析】∵ 点M,N 分别是 AC 和 BC 的中点,∴ MN 是三 角形 ABC 的中位线,∴ AB= 2MN= 2×3 = 6(米) . 【拓展设问】110　 【解析】∵ 点 M,N 分别是 AC 和 BC 的中 点,∴ MN 是三角形 ABC 的中位线,∴ MN∥AB,∵ ∠B = 60°,∴ ∠CNM= 60°,∴ ∠AMN= ∠C+∠CNM= 110°. 8. B 9. (1)2;(2)6 10. 4　 【解析】∵ ∠B= ∠ADB,AB = 4,∴ AD =AB = 4,∵ DE 是 AC 的垂直平分线,∴ DC=AD= 4. 11. (1)29;(2)4 【变式 1】122. 5　 【解析】∵ ∠A = 65°,∴ ∠ABC+∠ACB = 180° - ∠A = 115°, ∵ BE 平分 ∠ABC, CE 平分 ∠ACB, ∴ ∠EBC= 1 2 ∠ABC, ∠ECB = 1 2 ∠ACB, ∴ ∠EBC + ∠ECB = 1 2 ( ∠ABC + ∠ACB) = 57. 5°, ∴ ∠E = 180° - (∠EBC+∠ECB)= 122. 5°. 【变式 2】B　 【解析】∵ ∠A= 60°,∴ ∠ACM= 60°+∠ABC. ∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠ACM,∴ ∠ACE = 1 2 ∠ACM = 30°+ 1 2 ∠ABC = 30° + ∠EBC,又∵ ∠ACB = 180° - 60° - ∠ABC= 120°-2∠EBC,∴ ∠BCE= ∠ACB+∠ACE = 120°- 2∠EBC+ 30° + ∠EBC = 150° - ∠EBC,∴ ∠BEC = 180° - (∠EBC+∠BCE)= 180°-(∠EBC+150°-∠EBC)= 30°. 【变式 3】 60° 　 【解析】∵ ∠A = 60°,∴ ∠ABC+ ∠ACB = 180°-∠A = 120°,∴ ∠FBC+ ∠BCD = 180° -ABC+ 180° - ∠ACB = 240°, ∵ BE, CE 分别平分 ∠FBC, ∠BCD, ∴ ∠CBE = 1 2 ∠FBC,∠BCE = 1 2 ∠BCD,∴ ∠CBE+∠BCE = 1 2 ( ∠FBC + ∠BCD) = 120°, ∴ ∠E = 180° - ( ∠CBE + ∠BCE)= 60°. 12. B　 【解析】∵ △ABC 为等腰三角形,∴ AB = AC 或 AC = BC,当 AC=BC= 4 时,AD+CD=AC= 4,此时不满足三角形 三边关系定理,当 AC=AB= 3 时,满足三角形三边关系定 理,∴ AC= 3. 13. 12 ∶ 15 ∶ 10　 【解析】在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,AD 与 CE 交于点 O,BF 经过点 O,∴ 点 O 为△ABC 的垂心,∴ BF⊥ AC,∴ 1 2 AB·CE= 1 2 BC·AD= 1 2 AC·BF,∵ AB= 5,BC= 4, AC=6,∴ 1 2 ×5CE = 1 2 ×4AD = 1 2 ×6BF,∴ CE ∶ AD ∶ BF = 12 ∶ 15 ∶ 10. 14. B　 【解析】如解图,过点 E 作 EG⊥AC 于点 G,∵ AE 是 ∠BAC的平分线,EF⊥AB 于点 F,∴ EF=EG,设 EF=EG=x, ∵ BD 是△ABC 的中线,S△BCD =20,AC= 12,∴ AD= 1 2 AC= 6, S△ABD =S△BCD = 20,∴ S△ABE +S△ADE = 20,∴ 1 2 AB·EF+ 1 2 AD·EG= 20,∴ 1 2 ×14x+ 1 2 ×6x= 20,解得 x= 2,∴ EF= 2. 第 14 题解图 　 　 第 15 题解图 15. C　 【解析】如解图,延长 BC 至点 F,使 CF=CA,连接 AF, ∵ ∠ACB= 120°,∴ ∠ACF= 60°,∴ △ACF 为等边三角形, ∴ AF=AC= 2 2 ,∵ DE 平分△ABC 的周长,D 是边 AB 的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 参考答案与重难题解析·数学 37　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 中点,∴ BE= CE+AC,∴ BE = CE+CF = EF,∵ BD = DA,∴ DE 是△ABF 的中位线,∴ DE= 1 2 AF= 2 . 16. A　 【解析】如解图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M,交 DE 于点 N,则 AN⊥DE,设 AN=a,∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠B,∠AED= ∠C,∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC = AN AM ,∴ DE 8 = a 6 ,∴ DE= 4 3 a, ∴ S△DEF = 1 2 DE·MN = 1 2 × 4 3 a·(6-a) = - 2 3 a2 + 4a = - 2 3 (a-3) 2 +6,∵ - 2 3 <0,0<a<6,∴ 当 a= 3 时,△DEF 的面 积有最大值,最大值为 6. 第 16 题解图 17. 80 或 40　 【解析】当△ABC 为锐角三角形时,如解图①, ∠BAD= 180° - ∠B - ∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°, ∴ ∠BAC= ∠BAD+∠CAD= 60°+20° = 80°;当△ABC 为钝角 三角形时,如解图②,∠BAD = 180°-∠B-∠ADB = 180°- 30° - 90° = 60°, ∴ ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 20° = 40°. 综上所述,∠BAC= 80°或 40°. 图① 　 　 　 图② 第 17 题解图 18. 证明:∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD= ∠BCD, ∵ EF∥BC, ∴ ∠FEC= ∠BCD, ∴ ∠ACD= ∠FEC, ∴ EF=CF, ∵ AE⊥CD, ∴ ∠AEC= 90°, ∴ ∠EAC+∠ACD= 90°,∠AEF+∠FEC= 90°, ∴ ∠EAC= ∠AEF, ∴ AF=EF, ∴ AF=CF, ∴ F 是 AC 的中点,∵ G 是 BC 的中点, ∴ GF 是△ABC 的中位线, ∴ FG= 1 2 AB. 19. B　 【解析】由题意知,当 CA⊥BA 或 CA≥BC 时,能作出 唯一一个△ABC,①当 CA⊥BA 时,∵ ∠B = 45°,BC = 2,∴ AC=BC·sin45° = 2× 2 2 = 2 ,即此时 d= 2 ;②当 CA=BC 时,∵ ∠B= 45°,BC = 2, ∴ 此时 AC = 2,即 d≥2,综上所 述,当 d= 2或 d≥2 时能作出唯一一个△ABC. 第三节　 等腰三角形 1. 3　 2. D 3. 4　 【解析】∵ D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中点,∴ BC = 2DE= 2×2 = 4,DE∥BC,∴ ∠AED = ∠C,∵ ∠AED = ∠BEC, ∴ ∠BEC= ∠C,∴ BE=BC= 4. 4. (1)50°或 80°;(2)40,50;(3)3,4;(4)40; (5)8 或 10　 【解析】若 8 为等腰△ABC 的腰长 AB,则底边 长为 28-8-8 = 12,此时三角形的三边长分别为 8,8,12,符 合三角形的三边关系;若 8 为等腰△ABC 的底边长,则腰 长 AB 为(28-8) ÷ 2 = 10,此时三角形的三边长分别为 8, 10,10,符合三角形的三边关系,∴ AB 的长度为 8 或 10. 5. 100°　 【解析】∵ AC = AE,BC = BD,∴ 设∠AEC = ∠ACE = x°,∠BDC = ∠BCD = y°,∴ ∠A = 180° - 2x°, ∠B = 180° - 2y°,∵ ∠ACB+∠A+∠B = 180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE = 180°,∴ ∠ACB+(180° - 2x°) +(180° - 2y°) = 180°,180° - (x°+ y°) = ∠DCE,∴ ∠ACB+ 360° - 2( x° + y°) = 180°,∴ ∠ACB+2∠DCE= 180°,∵ ∠DCE= 40°,∴ ∠ACB= 100°. 6. (1)60,30;(2)4,2;(3)3 3 7. C　 【解析】∵ △ABC 为等边三角形,∴ AC=AB=BC,∠ABC = ∠ACB= 60°,∵ BD 是 AC 边上的中线,∴ BD⊥AC,AD = CD= 1 2 AC= 1 2 AB,∠ABD= ∠CBD= 30°,∵ CE =CD,∴ ∠E = ∠CDE,∵ ∠ACB = ∠E+∠CDE = 2∠E,∴ ∠E = 30°,∴ ∠CBD= ∠E,∴ BD = DE = 4 3 ,在 Rt△ABD 中,由勾股定 理得 AB2 - AD2 = BD2 ,即 AB2 - ( 1 2 AB) 2 = ( 4 3 ) 2 ,解得 AB= 8. 8. A　 【解析】如解图,连接 AP,则 S△ABC = S△ACP +S△ABP,∵ PE ⊥AB,PF⊥AC,∴ S△ACP = 1 2 AC·PF,S△ABP = 1 2 AB·PE,又 ∵ S△ABC = 1,AB=AC= 2,∴ 1 = 1 2 AC·PF+ 1 2 AB·PE,即 1 = 1 2 ×2PF+ 1 2 ×2PE,∴ PE+PF= 1. 第 8 题解图 9. B　 【解析】∵ D,E 分别是 AC,BC 的中点,∴ DE 为△ABC 的 中位线,∴ BE = 1 2 BC = 4,DE∥AB,DE = 1 2 AB= 5,∴ ∠BFE = ∠ABF. ∵ ∠ABC 的平分线交 DE 于点 F,∴ ∠ABF = ∠EBF, ∴ ∠BFE=∠EBF,∴ EF=BE=4,∴ DF=DE-EF=1. 10. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,CD⊥AB,∴ ∠ABC = 60°,BC = AC = AB = 12,∴ BD = 6,CD = 6 3 ,∵ ∠BED = 60°,∴ DE= 2 3 ,AE=BE = 4 3 ,∴ 减少用钢为(AB+AC+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73