3.9 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 第九节　 二次函数的实际应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 1 利润最值问题 1. (2022 聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为 8 元,在销售 过程中,每天的销售量 y(个)与销售价格 x(元 / 个)的关系如图所示,当 10≤ x≤20 时,其图象是线段 AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最 大利润为　 121　 元(利润=总销售额-总成本) . 第 1 题图 2. (2024 遂宁)某酒店有 A、B 两种客房,其中 A 种 24 间,B 种 20 间. 若全部 入住,一天营业额为 7 200 元;若 A、B 两种客房均有 10 间入住,一天营 业额为 3 200 元. (1)求 A、B 两种客房每间定价分别是多少元? (2)酒店对 A 种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果 每个房间定价每增加 10 元,就会有一个房间空闲;当 A 种客房每间 定价为多少元时,A 种客房一天的营业额 W 最大,最大营业额为多 少元? 解:(1)设 A 种客房每间定价是 x 元,B 种客房每间定价是 y 元, 依题意有 24x+20y=7 200, 10x+10y=3 200,{ ∴ x=200, y=120.{ 答:A、B 两种客房每间定价分别是 200 元、120 元; (2)设 A 种客房每间定价为 m 元, ∴W=m(24-m -200 10 )= - 1 10 (m-220) 2+4 840. ∵- 1 10 <0, ∴当 m=220 时,W 取最大值,最大值为 4 840. 答:当 A 种客房每间定价为 220 元时,A 种客房一天的营业额 W 最大,最大营业额 为 4 840 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 38 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 3. 真实情境 (2023 临沂)综合与实践: 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以 15 元 /盆的价格新购进了某种盆栽花卉,为了确 定售价,小莹帮妈妈调查了附近 A,B,C,D,E 五家花卉店近期该种盆栽 花卉的售价与日销售量情况,记录如下: 售价(元 / 盆) 日销售量(盆) A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理,填写在下表中: 售价 (元 / 盆) 　 18　 　 20　 　 22　 　 26　 　 30　 日销售 量(盆) 　 54　 　 50　 　 46　 　 38　 　 30　 模型建立 (2)分析数据的变化规律,找出日销售量与售价之间的关系; 拓广应用 (3)根据以上信息,小莹妈妈在销售该种花卉中, ①要想每天获得 400 元的利润,应如何定价? ②售价定为多少时,每天能够获得最大利润? 解:(2)观察表格可知日销售量是售价的一次函数, 设日销售量为 y 盆,售价为 x 元 /盆,y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b(k≠0), 将(18,54),(20,50)代入,得 18k+b=54, 20k+b=50,{ 解得 k=-2, b=90,{ ∴ y=-2x+90; (3)①由题意得(x-15)(-2x+90)= 400, 解得 x=25 或 x=35. 答:要想每天获得 400 元的利润,定价为 25 元 /盆或 35 元 /盆; ②设每天获得的利润为 w 元, 根据题意得 w=(x-15)(-2x+90)= -2x2+120x-1 350=-2(x-30) 2+450, ∵-2<0, ∴当 x=30 时,w 取最大值,最大值为 450. 答:售价定为 30 元 /盆时,每天能够获得最大利润 450 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 2 几何图形面积问题 4. (2023 天津)如图,要围一个矩形菜园 ABCD,其中一边 AD 是墙,且 AD 的 长不能超过 26 m,其余的三边 AB,BC,CD 用篱笆,且这三边的和为 40 m,有下列结论:①AB 的长可以为 6 m;②AB 的长有两个不同的值满 足菜园 ABCD 面积为 192 m2;③菜园 ABCD 面积的最大值为 200 m2 . 其 中,正确结论的个数是 ( C ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第 4 题图 　 　 　 　 变式 1 题图 变式 1 (2022 沈阳改编)如图,用一根 60 厘米的铁丝制作一个“日”字型框 架 ABCD,铁丝恰好全部用完. 矩形框架 ABCD 面积的最大值为　 150 　 平方厘米. 变式 2 用长为 47 m 的木栅栏靠墙围成一个矩形养鸡场(不能超出墙的 长度),墙长 25 m,在与墙垂直的一边留出 1 m 宽的出入口(另选材料建 出入门),求养鸡场面积的最大值. 变式 2 题图 解:设矩形鸡场与墙垂直的一边长为 x m,鸡场的面积为 y m2 . 则与墙平行的一边长为(47-2x+1)m,由题意可得 y=x(47-2x+1), 即 y=-2(x-12) 2+288, 由题意得 47-2x+1>0, 47-2x+1≤25,{ 解得 11. 5≤x<24, ∵-2<0,∴当 x=12 时,y 有最大值,且最大值为 288, ∴鸡场面积的最大值为 288 m2 . 5. (2024 自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地 上两段围墙 AB⊥CD 于点 O(如图),其中 AB 上的 EO 段围墙空缺. 同学 们测得 AE= 6. 6 m,OE= 1. 4 m,OB= 6 m,OC= 5 m,OD= 3 m,班长买来可 切断的围栏 16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜 地最大面积是　 46. 4　 m2 . 第 5 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 3 抛物线型问题 6. (2024 广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点 P 处)的高度 OP 是 7 4 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是 5 m, 高度是 4 m. 若实心球落地点为 M,则 OM= 　 　 　 　 m. 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 7. (2022 广安)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2 米时,水面宽 6 米,水 面下降　 　 　 　 米时,水面宽 8 米. 8. (2023 河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏. 某同学借此情境编制了一道数学 题,请解答这道题. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表 1 m 长. 嘉嘉在点 A(6, 1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线 C1:y = a(x-3) 2 +2 的 一部分,淇淇恰在点 B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线 为抛物线 C2:y= - 1 8 x2 + n 8 x+c+1 的一部分. (1)写出 C1 的最高点坐标,并求 a,c 的值; (2)若嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上,且到点 A 水平距离不超过 1 m 的 范围内可以接到沙包,求符合条件的 n 的整数值. 第 8 题图 解:(1)∵抛物线 C1:y=a(x-3) 2+2, ∴抛物线 C1 的最高点坐标为(3,2), ∵点 A(6,1)在抛物线 C1:y=a(x-3) 2+2 上, ∴1=a(6-3) 2+2,∴ a = - 1 9 ,∴抛物线 C1 的表达式 为 y=- 1 9 (x-3) 2+2, 当 x=0 时,y=- 1 9 (0-3) 2+2=1,即 c=1; (2)∵嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上,且到点 A 水平距离不超过 1 m 的范围内可 以接到沙包, ∴点 A 的纵坐标为 1,横坐标为 XA 的范围为 S≤XA≤7, 当抛物线 C2 经过(5,1)时,1=- 1 8 ×25+ n 8 ×5+1+1,解得 n=17 5 , 当抛物线 C2 经过(7,1)时,1=- 1 8 ×49+ n 8 ×7+1+1,解得 n=41 7 , ∴n 的取值范围为17 5 ≤n≤41 7 , ∵n 为整数,∴符合条件的 n 的整数值为 4 和 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 68 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 9. (2024 武汉)16 世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二 级火箭的始祖. 火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平 距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用 信息技术模拟火箭运行过程. 如图,以发射点为原点,地平线为 x 轴,垂 直于地面的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 y=ax2 +x 和直线 y= - 1 2 x+b. 其中,当火箭运行的水平距离为 9 km 时,自动引发火 箭的第二级. (1)若火箭第二级的引发点的高度为 3. 6 km, ①直接写出 a,b 的值; ②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1. 35 km,求这两个位置之间的距离; (2)直接写出 a 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km. 第 9 题图 解:(1)a=- 1 15 ,b=8. 1; ②由①得:y=- 1 15 x2+x=- 1 15 (x2-15x+225 4 )+15 4 =- 1 15 (x-15 2 ) 2+15 4 (0≤x≤9), ∴火箭运行的最高点是15 4 km,∴15 4 -1. 35=2. 4(km), ∴2. 4=- 1 15 x2+x,解得 x1 =12>9(不合题意,舍去),x2 =3. 由①得:y=- 1 2 x+8. 1,∴2. 4=- 1 2 x+8. 1,解得 x=11. 4, ∴11. 4-3=8. 4(km) . 答:这两个位置之间的距离为 8. 4 km; (2)- 2 27 <a<0. 【解法提示】当 x=9 时,y=81a+9. ∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9) . 设火箭落地点与发射点的水平距离 为 15 km. ∴ y=- 1 2 x+b 经过点(9,81a+9),(15,0), ∴ - 1 2 ×9+b=81a+9, - 1 2 ×15+b=0, ì î í ï ï ï ï 解得 a=- 2 27 , b=7. 5, ì î í ïï ïï ∴- 2 27 <a<0 时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 78 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 类　 型 4 类抛物线型问题 10. (2024 天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h(单位:m)与小 球的运动时间 t(单位:s)之间的关系式是 h= 30t-5t2(0≤t≤6) . 有下列 结论:①小球从抛出到落地需要 6 s;②小球运动中的高度可以是 30 m; ③小球运动 2 s 时的高度小于运动 5 s 时的高度. 其中,正确结论的个数 是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. (2024 湖北黄石一模)公路上正在行驶的甲车发现前方 20 m 处沿同一方 向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程 s(单位:m)、速度 v(单位:m / s)与时间 t(单位:s)的关系分别可以用二次函数和一次函数 表示,其图象如图所示. 第 11 题图 (1)直接写出 s 关于 t 的函数关系式为　 　 　 　 　 　 和 v 关于 t 的函数 关系式为　 v=-t+16　 (不要求写出 t 的取值范围); (2)当甲车减速至 9 m / s 时,它行驶的路程是多少? (3)若乙车以 10 m / s 的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是 多少? 解:(1)s=- 1 2 t2+16t,v=-t+16; (2)∵ v=-t+16,∴当 v=9 时,-t+16=9,解得 t=7, ∵ s=- 1 2 t2+16t,∴当 t=7 时,s=- 1 2 ×72+16×7=87. 5, ∴当甲车减速至 9 m/ s 时,它行驶的路程是 87. 5 m; (3)∵当 t=0 时,甲车的速度为 16 m/ s, ∴当 0<v<10 时,两车之间的距离逐渐变大, 当 10<v<16 时,两车之间的距离逐渐变小, ∴当 v=10 m/ s 时,两车之间距离最小,将 v=10 代入 v=-t+16 中,得 t=6, 将 t=6代入 s=- 1 2 t2+16t 中,得 s=78,此时两车之间的距离为 10×6+20-78=2(m), ∴6 秒时两车相距最近,最近距离是 2 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第十节　 二次函数与几何图形综合题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋二次函数与几何图形综合题见二轮专题培优练 P9~ 24 88 订正与反思 参考答案与重难题解析·数学32　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 式组无解;若点 B 在对称轴的左侧,点 A 在对称轴的右 侧,由题意可得 2n+3>1, n-1<1, 1-(n-1)>2n+3-1, { 解得-1<n<0,∴ n 的 取值范围为-1<n<0. 30. A　 【解析】由题意,∵ 当 y≥t 时,x≤-m-2 或 x≥-m+4, ∴ 抛物线开口向上,且对称轴是直线 x= -m-2-m+4 2 = -m +1,∴ 当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小, ∵ -m-3<-m+1,A(-m-3,p),B(2m,q)是抛物线 y = ax2 + bx+c 上的两点,且 p>q,∴ -m+1-(-m-3)> | -m+1-2m | , ∴ | 3m-1 | <4,∴ -4<3m-1<4,∴ -1<m< 5 3 . 31. >,- 1 2 <m<1　 【解析】∵ y= -x2 +4x-1 = -(x-2) 2 +3,∴ 二 次函数 y= -x2 +4x-1 图象的对称轴为直线 x = 2,开口向 下,∵ 0<x1 <1,x2 >4,∴ 2-x1 <x2 -2,即(x1 ,y1 )比(x2 ,y2 ) 离对称轴直线的水平距离近,∴ y1 >y2 ;∵ m<x1 <m+1,m+ 1<x2 <m+2,m+2<x3 <m+3,∴ x1 <x2 <x3 ,∵ 对于 m<x1 <m+ 1,m+1<x2 <m+2,m+2<x3 <m+3,存在 y1 <y3 <y2 ,∴ x1 <2, x3 >2,且 A(x1 ,y1 )离对称轴最远,B(x2 ,y2 ) 离对称轴最 近,∴ 2-x1 >x3 -2> | x2 -2 | ,∴ x1 +x3 <4,且 x2 +x3 >4,∵ 2m+ 2<x1 +x3 <2m+4,2m+3<x2 +x3 <2m+5,∴ 2m+2<4,且 2m+ 5>4,解得- 1 2 <m<1. 32. 解:(1)将 a= 1 代入得 y= x2 -2x= (x-1) 2 -1, ∴ 顶点坐标为(1,-1); (2)解法一:y=ax2 -2a2x=ax(x-2a), 令 y= 0,则 ax(x-2a)= 0,解得 x= 0 或 x= 2a, ∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(2a,0), ∵ 点 M(3a,y1 )和点 N(x2 ,y2 )是抛物线上的两点, ①若 a>0,则抛物线开口向上,点(2a,0)在对称轴右侧, 则点 M(3a,y1 )也在对称轴右侧, ∵ 抛物线开口向上时,对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大, ∴ 要使 y1 <y2 ,则 3a<x2 , ∴ 3a<3,解得 a<1, ∴ 0<a<1; ②若 a<0,则抛物线开口向下,点(2a,0)在对称轴左侧, 则点 M(3a,y1 )也在对称轴左侧, ∴ 点 M(3a,y1 )关于对称轴 x=a 对称的点为(-a,y1 ), ∵ 3≤x2 ≤4, ∴ 点 N 在对称轴右侧, ∵ 抛物线开口向下时,对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小, ∴ 要使 y1 <y2 ,则-a>x2 , ∴ -a>4,解得 a<-4, 综上,a 的取值范围为 0<a<1 或 a<-4. 多解法 解法二:由题得,y1 =a·(3a) 2 -2a2·3a= 3a3, y2 =ax 2 2 -2a 2x2, ∵ y1 <y2, ∴ y2 -y1 =a(x 2 2 -2ax2 -3a 2)= a(x2 -3a)(x2 +a)>0, ①当 a>0 时,(x2 -3a)(x2 +a)>0, ∴ x2 -3a>0, x2 +a>0 { 或 x2 -3a<0, x2 +a<0, { 解得 x2 >3a 或 x2 <-a, ∵ 3≤x2 ≤4,∴ 3a<3 或-a>4, ∴ a<1 或 a<-4, ∵ a>0,∴ 0<a<1; ②当 a<0 时,(x2 -3a)(x2 +a)<0, ∴ x2 -3a>0, x2 +a<0 { 或 x2 -3a<0, x2 +a>0, { 解得 3a<x2 <-a, ∵ 3≤x2 ≤4,∴ 3a<3, -a>4,{ 解得 a<-4, 综上,a 的取值范围为 0<a<1 或 a<-4. 第九节　 二次函数的实际应用 1. 121　 【解析】当 10≤x≤20 时,设 y = kx+b(k≠0),把(10, 20),(20,10)代入可得 10k+b= 20, 20k+b= 10,{ 解得 k= -1, b= 30,{ ∴ 每天的 销售量 y(个)与销售价格 x(元 /个)的函数解析式为 y = -x+30. 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为 w 元,w= (x-8)y= (x-8) ( -x+30) = -x2 +38x-240 = -(x- 19) 2 +121,∵ -1<0,∴ 当 x= 19 时,w 有最大值为 121. 2. 解:(1)设 A 种客房每间定价是 x 元,B 种客房每间定价是 y 元, 由题意得 24x+20y= 7 200, 10x+10y= 3 200,{ ∴ x= 200, y= 120.{ 答:A、B 两种客房每间定价分别是 200 元、120 元; (2)设 A 种客房每间定价为 m 元, ∴ W=m(24-m -200 10 )= - 1 10 (m-220) 2 +4 840. ∵ - 1 10 <0, ∴ 当 m= 220 时,W 取最大值,最大值为 4 840. 答:当 A 种客房每间定价为 220 元时,A 种客房一天的营 业额 W 最大,最大营业额为 4 840 元. 3. 解:(1)调表如下: 售价 (元 / 盆) 　 18　 　 20　 　 22　 　 26　 　 30　 日销售 量(盆) 　 54　 　 50　 　 46　 　 38　 　 30　 (2)观察表格可知日销售量是售价的一次函数, 设日销售量为 y 盆,售价为 x 元 /盆,y 与 x 之间的关系式为 y =kx+b(k≠0), 将(18,54),(20,50)代入,得 18k+b= 54, 20k+b= 50,{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 参考答案与重难题解析·数学 33　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 解得 k= -2, b= 90,{ ∴ y= -2x+90; (3)①由题意得(x-15)(-2x+90)= 400, 解得 x= 25 或 x= 35. 答:要想每天获得 400 元的利润,定价为 25 元 /盆或 35 元 /盆; ②设每天获得的利润为 w 元, 根据题意得 w= (x- 15) ( - 2x+ 90) = - 2x2 + 120x- 1 350 = -2(x-30) 2 +450, ∵ -2<0, ∴ 当 x= 30 时,w 取最大值,最大值为 450. 答:售价定为 30 元 /盆时,每天能够获得最大利润 450 元. 4. C　 【解析】设 AD 的边长为 x m,则 AB 的边长为40 -x 2 m, 当 AB= 6 m 时,即40 -x 2 = 6,解得 x = 28,∵ AD 的长不能超 过 26 m,∴ x≤26,故①不正确;∵ 菜园 ABCD 的面积为 192 m2 ,∴ x·40 -x 2 = 192,整理得 x2 - 40x+ 384 = 0,解得 x = 24 或 x= 16,∴ AB 的长有两个不同的值满足菜园 ABCD 面积 为 192 m2 ,故②正确;设矩形菜园 ABCD 的面积为 y m2 ,根 据题意得 y= x·40 -x 2 = - 1 2 (x2 -40x)= - 1 2 (x-20) 2 +200, ∵ - 1 2 <0,0<x≤26,∴ 当 x = 20 时,y 有最大值,最大值为 200,故③正确,∴ 正确结论有 2 个. 【变式 1】150　 【解析】设框架的长 AB 为 x 厘米,则 AD 为 60-3x 2 厘米,∴ S= x·60 -3x 2 ,即 S = - 3 2 x2 + 30x = - 3 2 ( x- 10) 2 +150,∵ - 3 2 <0,∴ 要使框架的面积最大,则 x = 10,此 时 AD= 15 厘米,矩形 ABCD 面积最大为 150 平方厘米. 【变式 2】解:设矩形鸡场与墙垂直的一边长为 x m,鸡场面积 为 y m2,则与墙平行的一边长为(47-2x+1)m,由题意可得 y= x(47-2x+1), 即 y= -2(x-12) 2 +288, 由题意得 47-2x+1>0, 47-2x+1≤25,{ 解得 11. 5≤x<24, ∵ -2<0, ∴ 当 x= 12 时,y 有最大值,且最大值为 288, ∴ 鸡场面积的最大值为 288 m2 . 解题通法 常用关系式:矩形面积=长×宽,矩形周长= 2(长+宽); 步骤:①根据所给材料的总长度,表示出矩形的长和宽; ②根据矩形的面积公式列出函数关系式;③根据二次函 数的性质求面积最值. 5. 46. 4　 【解析】设矩形在射线 OA 上的一段长为 x m. (1)当 x≤8 时,S= x·16 -x-1. 4+5 2 = - 1 2 x2 +9. 8x = - 1 2 (x-9. 8) 2 +48. 02, 当 x = 8 时, S = 46. 4, ( 2) 当 x > 8 时, S = x · (16 +6. 6+5 2 -x)= -x2 +13. 8x= -(x-6. 9) 2 +47. 61,由于在 x >8 的范围内,S 均小于 46. 4. 所以由(1)(2)得最大面积为 46. 4 m2 . 6. 35 3 　 【解析】如解图,以点 O 为坐标原点,OM 所在直线为 x 轴正半轴,OP 所在直线为 y 轴正半轴,建立平面直角坐 标系,由题意可知,P(0, 7 4 ),B(5,4),其中 B 点为抛物线 顶点,设抛物线顶点式为 y=a(x-5) 2 +4,将 P(0, 7 4 )代入 上式,解得 a= - 9 100 ,即抛物线的解析式为 y = - 9 100 (x-5) 2 +4,M 为抛物线与 x 轴的交点,令 y = - 9 100 (x- 5) 2 + 4 = 0, 解得 x1 = 35 3 ,x2 = - 5 3 (舍去),∴ OM= 35 3 m. 第 6 题解图 　 　 第 7 题解图 7. 14 9 　 【解析】如解图,以水平面所在的直线 AB 为 x 轴,以 过拱顶 C 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系,O 为原点,由题意可得 AO=OB = 3 米,点 C 坐标为(0, 2),通过以上条件可设顶点式y=ax2 +2(a≠0),把点 A 坐 标(-3,0)代入抛物线解析式,得 9a+2 = 0,解得 a = - 2 9 , ∴ 抛物线解析式为 y= - 2 9 x2 +2,当 x = 4 时,y = - 2 9 ×16+2 = -14 9 ,∴ 当水面宽 8 米时,水面下降14 9 米. 8. 解:(1)∵ 抛物线 C1 :y=a(x-3) 2 +2, ∴ 抛物线 C1 的最高点坐标为(3,2), ∵ 点 A(6,1)在抛物线 C1 :y=a(x-3) 2 +2 上, ∴ 1 =a(6-3) 2 +2,∴ a= - 1 9 , ∴ 抛物线 C1 的表达式为 y= - 1 9 (x-3) 2 +2, 当 x= 0 时,y= - 1 9 (0-3) 2 +2 = 1,即 c= 1; (2)∵ 嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上,且到点 A 水平距离 不超过 1 m 的范围内可以接到沙包, ∴ 点 A 的纵坐标为 1,横坐标 xA 的范围为 5≤xA≤7, 当抛物线 C2 经过(5,1)时,1 = - 1 8 ×25+ n 8 ×5+1+1, 解得 n= 17 5 , 当抛物线 C2 经过(7,1)时,1 = - 1 8 ×49+ n 8 ×7+1+1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 参考答案与重难题解析·数学34　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 解得 n= 41 7 , ∴ n 的取值范围为17 5 ≤n≤41 7 , ∵ n 为整数, ∴ 符合条件的 n 的整数值为 4 和 5. 9. 解:(1)①a= - 1 15 ,b = 8. 1;【解法提示】∵ y = ax2 +x 经过点 (9,3. 6), ∴ 81a+9 = 3. 6,解得 a= - 1 15 . ∵ y= - 1 2 x+b 经过点(9,3. 6), ∴ 3. 6 = - 1 2 ×9+b,解得 b= 8. 1; ②由①得 y= - 1 15 x2 +x= - 1 15 (x2 -15x+225 4 )+15 4 = - 1 15 (x-15 2 ) 2 +15 4 (0≤x≤9), ∴ 火箭运行的最高点是15 4 km, ∴ 15 4 -1. 35 = 2. 4(km), ∴ 2. 4 = - 1 15 x2 +x,解得 x1 = 12>9(不合题意,舍去),x2 = 3. 由①得 y= - 1 2 x+8. 1, ∴ 2. 4 = - 1 2 x+8. 1,解得 x= 11. 4, ∴ 11. 4-3 = 8. 4(km) . 答:这两个位置之间的距离为 8. 4 km; (2)- 2 27 <a<0. 【解法提示】当 x= 9 时,y= 81a+9. ∴ 火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9) . 设火箭落地点与发射点的水平距离为 15 km. ∴ y= - 1 2 x+b 经过点(9,81a+9),(15,0), ∴ - 1 2 ×9+b= 81a+9, - 1 2 ×15+b= 0, ì î í ï ï ï ï 解得 a= - 2 27 , b= 7. 5, { ∴ - 2 27 <a< 0 时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km. 10. C　 【解析】①令 h= 0,则 30t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 6,∴ 小球从抛出到落地需要 6 s,故①正确;②h = 30t- 5t2 = -5( t2 -6t)= -5( t-3) 2 +45,∵ -5<0,∴ 当 t = 3 时,h 有最 大值,最大值为 45,∴ 小球运动中的高度可以是 30 m,故 ②正确;③当 t= 2 时,h= 30×2-5×4 = 40(m),当 t= 5 时,h = 30×5-5×25 = 25(m),∴ 小球运动 2 s 时的高度大于运 动 5 s 时的高度,故③错误. 11. 解:(1) s= - 1 2 t2 +16t,v= -t+16;【解法提示】由题图可知, 二次函数图象经过原点,设二次函数表达式为 s = at2 +bt (a≠0),一次函数表达式为 v = kt+c(k≠0),∵ 二次函数 经过(2,30),( 4,56),∴ 4a+2b= 30, 16a+4b= 56,{ 解得 a= - 1 2 , b= 16, { ∴ 二次函数表达式为 s= - 1 2 t2 + 16t,∵ 一次函数经过( 0, 16),(8,8),∴ 8k+c= 8, c= 16,{ 解得 k= -1, c= 16,{ ∴ 一次函数表达式 为 v= -t+16. (2)∵ v= -t+16, ∴ 当 v= 9 时,-t+16 = 9,解得 t= 7, ∵ s= - 1 2 t2 +16t, ∴ 当 t= 7 时,s= - 1 2 ×72 +16×7 = 87. 5, ∴ 当甲车减速至 9 m / s 时,它行驶的路程是87. 5 m; (3)∵ 当 t= 0 时,甲车的速度为 16 m / s, ∴ 当 0<v<10 时,两车之间的距离逐渐变大, 当 10<v<16 时,两车之间的距离逐渐变小, ∴ 当 v= 10 m / s 时,两车之间距离最小, 将 v= 10 代入 v= -t+16 中,得 t= 6, 将 t= 6 代入 s= - 1 2 t2 +16t 中,得 s= 78, 此时两车之间的距离为 10×6+20-78 = 2(m), ∴ 6 秒时两车相距最近,最近距离是 2 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四章　 三角形 第一节　 线段、角、 相交线与平行线(含命题) 1. A 2. (1)7;(2)4. 5;(3)3 或 6　 【解析】(1)BC =AB-AC = 9-2 = 7;(2)∵ 点 C 是线段 AB 的中点,∴ AC =BC = 1 2 AB = 4. 5; (3)当点 C 靠近点 A 时,BC = 2 3 AB = 6;当点 C 靠近点 B 时,BC= 1 3 AB= 3;综上所述,BC 的长为 3 或 6. 【易错警示】点 C 为 AB 的三等分点要分两种情况讨论:① 点 C 靠近点 A;②点 C 靠近点 B. 3. D　 4. A　 5. D 6. (1)100,50;(2)60;(3)30,2. 7. B　 【解析】如解图,设 EF 交 AB 于点 M,∵ AB∥CD,∠1 = 65°,∴ ∠AME= 180°-∠1 = 115°,∴ ∠2 = ∠AME= 115°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43