综合与实践 生活中的优化问题-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

综合与实践 生活中的优化问题 现实生活中，我们经常会遇到距离最短、角度最大、用料最省、成本最小 利润最大等问题.从数学角度看，它们均涉及数量的大小，这类求最大（小）值 的问题常常被称为优化问题.在二次函数的学习中，我们已经学习过一些求最大 (小)值的问题.接下来，我们结合一些案例，进一步研究生活中的优化问题 活动目标 会用数学的眼光发现生活中的优化问题；会用数学知识、思想、方法描述优 化问题，把优化问题转化为数学问题；会通过数学运算、逻辑推理等解决数学问 题；会用数学问题的结果解释优化问题，获得优化问题的答案 活动准备 回忆过去学习的知识内容并查阅资料，列举生活中涉及最大（小)值的优化 问题， 活动任务 活动一分析快递货车上标准包裹箱的数量 随着我国经济、社会的快速发展，快递业务实现了跨越式发展，物品寄送变 得方便、快捷、安全，成为人们日常生活的重要组成部分，几乎与每个人的生活 息息相关 一辆快递货车穿行在A城、B城之间，中间有若干集散点.在货车从A城 驶往B城的过程中，每停靠一个集散点，要卸下前面各集散点发给该集散点的标 准包裹箱各1个，同时又要装上该集散点发往以后各集散点的标准包裹箱各1个」 任务1若A城、B城之间有10个集散点（包括A城、B城），快递货车最 多可装16个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？ 任务2把任务1中的问题一般化，假设A城、B城之间有n个集散点，货 车经过各集散点时，其装载的标准包裹箱数量如何变化？货车上至少有多少个标 准包裹箱的空间才能完成快递任务？离开哪个集散点时，货车上的标准包裹箱的 综合与实践生活中的优化问题177 数量最多？为什么？ 任务3你还能发现和提出哪些问题？能解决你提出的问题吗？ 活动二寻找最大射门角度 足球场上，球员进行直线带球过程中的射门 训练，射门时球员与球门两端会形成一个角度， 什么时候这个射门角度最大？ 我们把这个问题简化，只考虑足球沿草坪 直线运动的情况.射门角度最大的问题可以简化 为：直线上的点在什么位置时与线段两个端点的 连线形成的角度最大的问题 任务1如图1，当球员带球行进的路线1与球门（线段AB)所在的直线平 行时，直线1上是否存在点C,使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C, 如何确定点C的位置？ 在定直线上我一点， B D 使它对定线段的张 角最大.其几何本 质是作过线段AB 且与已知直线相切 的圆，切点即为张 角最大的点， 图1 图2 任务2如图2，当球员带球行进的路线m与球门所在的直线垂直时，直线 m上是否存在点C,使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C,如何确定点 C的位置？ 提示：要考虑直线m与线段AB相交、与线段AB的延长线相交两种情形. 当直线m与线段AB的延长线相交时，假设已知图中线段AB的长为a,点B到 直线m的距离BD为b, 任务3如图3，当球员带球行进的路线n与球 D 门所在的直线相交但不垂直时，直线上是否存在点 C,使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C, 如何确定点C的位置？ 图3 提示：假设已知图中线段AB的长为a,直线AB与n相交于点D,BD的长 为b. 178教材笔记数学九年级上册RJ 任务4你还能提出类似上述问题的其他现实问题吗？ 活动三产品包装箱的设计 生活中，我们会见到各种各样的产品包装箱.产品包装箱的纸张浪费和垃圾 等问题，开始成为社会治理的新问题.如何用更少的包装纸来包装更多的商品， 对于环境保护和商家的利益来讲都是非常重要的.接下来，我们以圆柱和长方体 形状的产品包装箱为例，从数学的角度探究产品包装箱用料最小问题 任务1当圆柱体产品单层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排列 方式 提示：要确定圆柱体产品的长方体包装箱的表面积，在知道圆柱体的底面半 径和高的情况下，主要要考虑产品的排列方式，排列方式有齐排列和错排列两种 (图4是12个圆柱体按2×6方式的齐排列和错排列的底面示意图). 齐排列 错排列 图4 (1)当圆柱体产品底面半径r=60mm,高h=123mm,规格为12瓶/箱时， 考虑单层排列，有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱表面积，哪种方案的 包装箱表面积最小？ (2)对于(1)中的圆柱体产品，按照错排列的方式，有几种方案？分别计 算它们的包装箱表面积，哪种方案的包装箱表面积最小？ (3)综合比较齐排列与错排列的方式，找出最省料的包装方式！ (4)当圆柱体产品的底面半径为r,高为h,规格为瓶/箱时，如何排列该 圆柱体产品可以使对应长方体包装箱的表面积最小？（选做.) 任务2当圆柱体产品多层排列时，研究使得长方体包装箱表面积最小的排 列方式 (1)当圆柱体产品底面半径r=60mm,高h=123mm,规格为12瓶/箱时， 考虑多层排列，有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱的表面积，哪种方案 的包装箱表面积最小？ 综合与实践生活中的优化问题 179 (2)当每箱装12瓶时，不给出圆柱体产品的底面半径r和高h的具体值，哪 种齐排列方案可以使对应长方体包装箱的表面积最小？（选做.） (3)在(2)的基础上，请你结合生活中的真实产品解释说明（2)中的结论 (选做.) 任务3类比上述解决圆柱体产品包装箱表面积最小问题的方法，研究长方 体产品的包装箱表面积最小的问题.（选做.） 活动四提出问题并解决 你还能发现并提出生活中的其他优化问题，并给予解决吗？ 活动过程 1.组建合作团队 本次综合与实践活动需要团队协作.在班级中组成5~8人一组的研究小组， 每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人. 2.方案构思 小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案， 3.方案实施 按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务.根据规划 的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告. 4.展示交流 制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，分 享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足， 活动评价 通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成表、 表现评分表、自我反思表等进行评价，与老师和全班同学一起，通过质疑、辩论、 评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师评价， 完成本次综合与实践活动， 180教材笔记数学九年级上册RJ