3.7 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

参考答案与重难题解析·数学26　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 +1,令 y1 =0,解得 x=1,∴ 点 D 的坐标为(1,0),∴ 点 C 的坐 标为(-3,0)或(5,0). 18. 3　 【解析】设点 P 的坐标为(x, 2 x ),则点 Q 的坐标为(x, x-4),∴ PQ = 2 x -x+ 4,∴ S△POQ = 1 2 ×x×( 2 x -x+ 4) = 1- 1 2 x2 +2x= - 1 2 (x2 -4x-2) = - 1 2 (x-2) 2 +3,∵ - 1 2 <0,二 次函数图象开口向下,有最大值,∴ 当 x = 2 时,S△POQ 有 最大值,最大值是 3. 19. 解:(1)∵ M( 1 2 ,4)在反比例函数 y= k x 的图象上, ∴ k= 1 2 ×4 = 2, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 2 x ; 又∵ N(n,1)在反比例函数 y= 2 x 的图象上, ∴ n= 2,∴ N(2,1) . 设一次函数的表达式为 y = ax+b(a≠0),将 M( 1 2 ,4), N(2,1)代入,得 1 2 a+b= 4, 2a+b= 1, { 解得 a= -2,b= 5,{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -2x+5; (2)如解图,作点 M 关于 y 轴的对称点 M′,连接M′N 交 y 轴于点 P,则 PM+PN 的最小值等于 M′N 的长, 第 19 题解图 ∵ M( 1 2 ,4)与 M′关于 y 轴对称, ∴ M′(- 1 2 ,4), 又∵ N(2,1), ∴ 易得直线 M′N 的表达式为 y= - 6 5 x+17 5 . 令 x= 0,得 y= 17 5 , ∴ 当 PM+PN 的值最小时,点 P 的坐标为(0,17 5 ) . 20. 解:(1)∵ 点 A 在 y= 6 x 的图象上, ∴ 当 x= 2 时,y= 6 2 = 3, ∴ A(2,3), ∴ 将点 A(2,3)代入 y= kx+1,得 k= 1; (2)x<-3 或 0<x<2;【解法提示】由(1)可知一次函数解 析式为 y= x+1, 联立方程组 y= 6 x , y= x+1, { 解得 x= 2,y= 3{ 或 x= -3,y= -2,{ ∴ A(2,3),B(-3,-2), 根据图象可知不等式 kx+1< 6 x 的解集为 x<-3 或 0<x<2. (3)由(1) 可知一次函数解析式为 y = x+ 1,∴ C(0,1), 又由题意可知∠CEG= 45°,CE= 4. 如解图,过点 C 作 CG⊥DE,垂足为 G, 第 20 题解图 ∴ CG= 2 2 . 又∵ A(2,3),C(0,1), ∴ AC= 2 2 . 由平移性质可知,S阴影 = S▱ACFD = AC·CG= 2 2 ×2 2 = 8. 第七节　 二次函数的图象与性质 1. (1)y= 2(x-1) 2 -1;(2)y= -x2 +4x-1; (3)y= x2 -2x-3 2. (1)画图如解图: 第 2(1)题解图 信息:二次函数图象开口向上,顶点坐标为( - 1,0),与 y 轴交于点(0,1),对称轴为直线 x= -1,当 x = -1 时,y 有最 小值 0,当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而增大; (2)二次函数图象开口向下,顶点坐标为( - 2,- 1),对称 轴为直线 x= -2,当 x= -2 时,y 有最大值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>-2 时,y 随 x 的增大而减小; (3)二次函数图象开口向上,顶点坐标为(-2,-1),与 x 轴 交于点(-1,0),( - 3,0),对称轴为直线 x = -2,当 x = - 2 时,y 有最小值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小,当 x> -2 时,y 随 x 的增大而增大; (4)画图如解图; 信息:二次函数图象开口向下,对称轴为直线 x= 1,顶点坐 标为(1,1),最大值为 1,当 x<1 时,y 随 x 的增大而增大, 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,a<0,c= 0; 第 2(4)题解图 　 　 第 2(5)题解图 (5)画图如解图; 信息:二次函数图象开口向上,a>0,c= 2. 3. 该函数图象开口向下,a<0,c>0,对称轴为直线 x = -1,b = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 参考答案与重难题解析·数学 27　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 2a,当 x= -1 时,该函数取得最大值,当 x<-1 时,y 随 x 的 增大而增大,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小. 4. C　 【解析】∵ 直线 l 为二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的图 象的对称轴,∴ 对称轴为直线 x= - b 2a >0,当 a<0 时,则 b> 0,当 a>0 时,b<0,∴ a,b 异号. 5. ②③④⑥⑦　 【解析】∵ 二次函数的图象开口向上,与 y 轴 的交点在 y 轴负半轴上,∴ a>0,c<0,∵ 二次函数的对称轴 为直线 x= -1,∴ - b 2a = -1,∴ b= 2a>0,∴ abc<0,故①错误; ∵ 二次函数的图象与 x 轴有两个不同的交点,∴ b2 - 4ac> 0,故②正确;根据图象可知,当 x = - 1 时,y< 0,∴ a-b+c< 0,故③正确;∵ 二次函数的图象与 x 轴的一个交点的坐标 为(1,0),∴ a+b+c = 0,∴ a+b = -c,故④正确;∵ b = 2a,∴ 2a+b= 4a>0,故⑤错误;根据图象可知,当 x = 2 时,y>0,∴ 4a+2b+c> 0,故⑥正确;∵ 二次函数的对称轴为直线 x = -1,二次函数的图象与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0), ∴ 二次函数的图象与 x 轴的另一个交点的坐标为( - 3, 0),∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的两个根是 x1 = -3,x2 = 1,故⑦正确. 综上所述,正确的有②③④⑥⑦. 6. D　 【解析】抛物线的对称轴为直线 x = - 4 2a = - 2 a ,当 a>0 时,抛物线开口向上,对称轴在 y 轴左侧,与 y 轴正半轴交 于点(0,a),一次函数 y=ax+a 图象经过第一、二、三象限, 与 y 轴正半轴交于点(0,a),故 A、C 选项不正确;当 a< 0 时,抛物线开口向下,对称轴在 y 轴右侧,与 y 轴负半轴交 于点(0,a),一次函数 y=ax+a 图象经过第二、三、四象限, 与 y 轴负半轴交于点( 0,a),故 B 选项不正确, D 选项 正确. 7. 解:把点 A(1,-2)和 B(0,-5)代入 y= x2 +bx+c,得 1+b+c= -2, c= -5,{ 解得 b= 2, c= -5,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +2x-5, ∵ y= x2 +2x-5 = (x+1) 2 -6, ∴ 图象的顶点坐标为(-1,-6) . 解题通法 根据已知条件设出合适解析式的方法. 已知条件 常设解析式 任意三点坐标 一般式:y = ax2 +bx+ c (a≠0) 与 x 轴的两个交点+任意一 点坐标 交点式:y = a( x- x1 ) (x-x2)(a≠0) 顶点+任意一点 对称轴+最值+任意一点 顶点式:y=a(x-h) 2 + k(a≠0) 8. 解:解法一:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ - b 2a = - b 4 = 2,解得 b= -8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的解析式为 y= 2x2 -8x+6. 多解法 解法二:∵ 抛物线 y= 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x = 2,且 与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的解析式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2 -8x+6. 9. 解:解法一:根据表格可知二次函数图象的顶点坐标为(3, -4),可设二次函数的解析式为 y=a(x-3) 2 -4, 将(1,0)代入得,0 =a(1-3) 2 -4,解得 a= 1, ∴ 该二次函数的解析式为 y= (x-3) 2 -4 = x2 -6x+5. 多解法 解法二:根据表格可知二次函数图象与 x 轴的交点坐标 为(1,0)和(5,0),可设二次函数的解析式为 y = a(x-1) ·(x-5), 将(0,5)代入得 5 =a(0-1)(0-5), 解得 a= 1, ∴ 该二次函数的解析式为 y=(x-1)(x-5)= x2 -6x+5. 解法三:设二次函数的解析式为 y=ax2 +bx+c, ∵ 二次函数的图象经过点(0,5),∴ c= 5. 将(1,0)和(2,-3)代入 y=ax2 +bx+5, 得 0 =a+b+5, -3 = 4a+2b+5,{ 解得 a= 1, b= -6,{ ∴ 该二次函数的解析式为 y= x2 -6x+5. 10. 解:∵ 直线 y= 3 4 x+3 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点, ∴ A(-4,0),B(0,3), ∵ 抛物线 y= - 3 4 x2 +bx+c 经过 A,B 两点, ∴ -12-4b+c= 0, c= 3,{ ∴ b= - 9 4 , c= 3, { ∴ 抛物线的解析式为 y= - 3 4 x2 - 9 4 x+3. 11. B　 【解析】将二次函数 y= (x+1) 2 +3 的图象向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,所得抛物线对应 的函数表达式为 y= (x+1-2) 2 +3-1,即 y= (x-1) 2 +2. 解题通法 求平移后二次函数解析式的思路: 若为一般式,需要先化为顶点式,根据平移方式即可得 到平移后的顶点坐标,结合平移不改变二次项系数即可 得到平移后对应的顶点式. 12. y= 2x2 -4x+1,y= -2x2 -4x-1 13. (1)7,-1;(2)14,-1;(3)2,-2　 【解析】由二次函数 y = x2 -2x-1 可知,抛物线开口向上,对称轴为直线 x = - b 2a = 1. (1)当-2≤x≤0 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 当 x = -2 时,y 取得最大值为 7,当 x= 0 时,y 取得最小值为-1;(2) 当 2≤x≤5 时,y 随 x 的增大而增大,∴ 当 x= 2 时,y 取得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 参考答案与重难题解析·数学28　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 最小值为-1,当 x= 5 时,y 取得最大值为 14;(3)当 0≤x ≤3 时,∵ 0≤1≤3,∴ 当 x = 1 时,y 取得最小值-2,又∵ 1 - 0 < 3 - 1, ∴ 当 x = 3 时,函数取得最大值, y = 32 - 2 × 3-1 = 2. 解题通法 自变量取值范围确定,求二次函数最值需要分情况 讨论: ①若对称轴在自变量取值范围内,则要从顶点和自变量 取值范围的两个端点中确定二次函数的最值; ②若对称轴不在自变量取值范围内,则要从自变量取值 范围的两个端点中确定二次函数的最值. 14. D　 【解析】二次函数 y = -x2 +2x+1 的图象开口向下,对 称轴为直线 x = - 2-2 = 1,∵ B(1,y2 )在对称轴上,∴ y2 最 大,点 A到对称轴的距离为 1-(-1)= 2,点 C 到对称轴的距 离为 4-1=3,根据点距离对称轴越远,函数值越小,∴ y1 >y3, ∴ y2>y1>y3. 解题通法 比较函数值大小的方法 方法一(距离法):当 a>0 时,图象上的点到对称轴的距 离越小,函数值越小,反之越大;当 a<0 时,图象上的点 到对称轴的距离越小,函数值越大,反之越小. 方法二(异侧转同侧):求出点关于对称轴对称的点的横 坐标,然后利用同侧的增减性比较. 15. D　 【解析】解法一:∵ 点 P(m,n)在抛物线 y=ax2(a≠0) 上,∴ n=am2 ,把 x=m 代入 y=a(x+1) 2 得 a(m+1) 2 ≠n+ 1,也不等于 n-1,故点(m,n+1)和点(m,n-1)不在抛物 线 y=a(x+ 1) 2 上,A,C 不合题意;把 x = m+ 1 代入 y = a(x+1) 2 得 a(m+2) 2 ≠n,故点(m+1,n)不在抛物线 y = a(x+1) 2 上,B 不合题意;把 x=m-1 代入 y = a(x+1) 2 得 a(m-1+1) 2 = am2 = n,故点(m- 1,n)在抛物线 y = a( x+ 1) 2 上,D 符合题意. 多解法 解法二:抛物线 y = a(x+1) 2 可看作是抛物线 y = ax2 向 左平移 1 个单位长度得到的,点 P(m,n)向左平移 1 个 单位长度后所得的点的坐标为(m-1,n). 16. D　 【解析】由题意可得 6 =m2 -m,解得 m1 = 3,m2 = -2,∵ 二次函数 y= x2 +mx+m2 -m 图象的对称轴在 y 轴左侧,∴ - b 2a = - m 2 <0,即 m>0,∴ m = 3,∴ y = x2 +3x+6,∴ 二次函 数有最小值为 4ac-b2 4a = 4×1×6-3 2 4×1 = 15 4 . 17. D　 【解析】由函数图象可得,a<0,- b 2a >0,∴ b>0,∴ 一次 函数 y = x+b 的图象经过第一、二、三象限,不经过第四 象限. 18. 4　 【解析】∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴相交于点 A(1, 0),点 B(3,0),∴ 该抛物线的对称轴为直线 x = 1 +3 2 = 2, ∵ 抛物线与 y 轴相交于点 C,点 D 在抛物线上,CD∥x 轴, ∴ 点 D 的横坐标为 2×2 = 4,∴ CD= 4-0 = 4. 19. D　 【解析】由题知, 4a-2b+c= -8, c= 0, 9a+3b+c= -3, { 解得 a= -1, b= 2, c= 0, { ∴ 二次 函数的解析式为 y= -x2 +2x. ∵ a= -1<0,∴ 抛物线的开口 向下,故 A 选项不符合题意. ∵ y= -x2 +2x = -(x-1) 2 +1, ∴ 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,故 B 选项不符合题 意. 令 y= 0 得,-x2 +2x= 0,解得x1 = 0,x2 = 2,∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(2,0) . 又∵ 抛物线的顶点坐标 为(1,1),∴ 抛物线经过第一、三、四象限,故 C 选项不符 合题意. ∵ 二次函数解析式为 y = -(x- 1) 2 + 1,∴ 抛物线 的对称轴为直线 x= 1,故 D 选项符合题意. 20. -4<m<0　 【解析】∵ 抛物线开口向上,∴ a>0,∵ 抛物线 的对称轴在 y 轴左侧,抛物线经过点(1,0),∴ - b 2a <0,x= -1 时,y<0,∴ b>0,m= a-b+c<0,∵ 抛物线经过(0,-2), ∴ c= -2,∵ 抛物线经过(1,0),∴ a+b+c= 0,∴ a+b = 2,b = 2-a,∴ m=a-b+c = 2a- 4,∵ a> 0,∴ 2a- 4>- 4,∴ - 4<m <0. 21. 解:(1)①由题意得 a-b+1 = 4, 4a+2b+1 = 1,{ 解得 a= 1, b= -2,{ ∴ 二次函数的表达式是 y= x2 -2x+1; ②∵ y= x2 -2x+1 = (x-1) 2 , ∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x= 1, ∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小;(答案不唯一) (2)∵ x= 0 和 x= 2 时的函数值都是 1, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 0 +2 2 = 1, ∴ (1,n)是顶点,(-1,m)和(3,p)关于对称轴对称, ∴ m= p. 若在 m,n,p 这三个实数中,只有一个是正数,则抛物线必 须开口向下,且 m≤0, ∵ - b 2a = 1, ∴ b= -2a, ∴ 二次函数表达式为 y=ax2 -2ax+1, ∴ m=a+2a+1≤0, ∴ a≤- 1 3 . 22. 解:(1)①当 a= -4 时,y= x2 +2ax+a-3 = x2 -8x-7; ②当 x= - b 2a = 4 时,y 取得最小值,为 16-32-7 = -23; (2)合理, ∵ y= x2 +2ax+a-3,且 1>0,∴ 函数有最小值, 当 x= - b 2a = -a 时,y 取得最小值, 故甲同学的说法合理; (3)正确, 当 x= -a 时,y= x2 +2ax+a-3 = -a2 +a-3 = -(a- 1 2 ) 2 -11 4 , ∵ y= -a2 +a-3,且-1<0,∴ y 有最大值, 当 a= 1 2 时,y 的最大值为-11 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 第七节　 二次函数的图象与性质 A 基础分点练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 1 二次函数的基本性质 1. 按要求将二次函数的表达式转化为其他形式: (1)二次函数 y= 2x2 -4x+1 化为顶点式为　 y= 2(x-1) 2-1　 ; (2)二次函数 y= -(x-2) 2 +3 化为一般式为　 y=-x2+4x-1　 ; (3)二次函数 y= (x+1)(x-3)化为一般式为　 y=x2-2x-3　 . 2. 根据已知条件写出你能得到的信息,看谁写的多,有画图区的请在画图 区内画出大致图象. (1)y= x2 +2x+1; 画图区 信息: 二次函数图象开口向上,顶点坐标为(-1, 0),与 y 轴交于点(0,1),对称轴为直线 x=- 1,当 x=-1 时,y 有最小值 0,当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-1 时,y 随 x 的增 大而增大 (2)y= -2(x+2) 2 -1; 二次函数图象开口向下,顶点坐标为(-2,-1),对称轴为直线 x=-2,当 x=-2 时,y 有最大值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>-2 时,y 随 x 的增大而减小. (3)y= (x+1)(x+3); 二次函数图象开口向上,顶点坐标为(-2,-1),与 x 轴交于点(-1,0),(-3,0),对 称轴为直线 x=-2,当 x=-2 时,y 有最小值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小, 当 x>-2 时,y 随 x 的增大而增大. (4)已知 x,y 的几组对应值如表所示,请在下面的平面直角坐标系中,描 点并画出这个函数的图象; x … -1 0 1 2 3 … y … -3 0 1 0 m … 画图区 信息: 二次函数图象开口向下,对称轴为直线 x =1,顶点坐标为(1,1),最大值为 1,当 x< 1 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,a<0,c=0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　(5)二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 y 轴交于点(0,2),最小值是-1. 画图区 信息: 二次函数图象开口向上,a>0,c=2 第 3 题图 3. 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示,请尽可能多的 写出该二次函数的性质,和同学比一比. 该函数图象开口向下,a<0,c>0,对称轴为直线 x = -1,b = 2a, 当 x=-1 时,该函数取得最大值,当 x<-1 时,y 随 x 的增大而 增大,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 2 二次函数图象与 a、b、c 的关系 4. (2023 株洲)如图所示,直线 l 为二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象的对 称轴,则下列说法正确的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. b 恒大于 0 B. a,b 同号 C. a,b 异号 D. 以上说法都不对 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线 x = -1,与 x 轴的 一个交点 A 的坐标为(1,0),其图象如图所示,下列结论: ①abc>0;②b2 -4ac>0;③a-b+c<0;④a+b= -c;⑤2a+b= 0;⑥4a+2b+c>0; ⑦关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -3,x2 = 1. 其中正确的是　 ②③④⑥⑦　 (填序号) . 6. (2024 四川成都模拟)二次函数 y=ax2 +4x+a 与一次函数 y=ax+a 在同一平 面直角坐标系中的图象可能是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 命题点 3 二次函数解析式的确定 7. (2023 宁波节选)已知二次函数 y = x2 +bx+c 图象经过点 A(1,-2)和 B(0, -5) . 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标. 解:把点 A(1,-2)和 B(0,-5)分别代入 y=x2+bx+c 得 1+b+c=-2, c=-5,{ 解得 b=2, c=-5,{ ∴二次函数的表达式为 y=x2+2x-5, ∵ y=x2+2x-5=(x+1) 2-6, ∴图象的顶点坐标为(-1,-6) . 8. 多解法 ∙∙∙ 已知抛物线 y= 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x= 2,且经过点(1,0), 求抛物线的解析式. 解:解法一:∵抛物线的对称轴为直线 x=2, ∴- b 2a =- b 4 =2,解得 b=-8, 又∵抛物线经过点(1,0),∴2-8+c=0,解得 c=6, ∴抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6. 9. 多解法 ∙∙∙ 已知二次函数值 y 和自变量 x 部分的对应取值如下表: x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 -3 -4 -3 0 … 求该二次函数的解析式. 解:解法一:根据表格可知二次函数图象的顶点坐标为(3,-4),可设二次函数的解 析式为 y=a(x-3) 2-4,将(1,0)代入得,0 = a(1-3) 2-4,解得 a = 1,∴二次函数的 解析式为 y=(x-3) 2-4=x2-6x+5. 10. 如图,直线 y= 3 4 x+3 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,抛物线 y = - 3 4 x2 + bx+c 经过 A,B 两点. 求抛物线的解析式. 第 10 题图 解:∵直线 y= 3 4 x+3 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点, ∴A(-4,0),B(0,3), ∵抛物线 y=- 3 4 x2+bx+c 经过 A,B 两点,∴ -12-4b+c=0, c=3,{ ∴ b=- 9 4 , c=3, ì î í ïï ïï ∴抛物线的表达式为 y=- 3 4 x2- 9 4 x+3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 4 二次函数图象的变换 11. (2023 徐州)在平面直角坐标系中,将二次函数 y= (x+1) 2 +3 的图象向右 平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,所得抛物线对应的函数 表达式为 ( B ) A. y= (x+3) 2 +2 B. y= (x-1) 2 +2 C. y= (x-1) 2 +4 D. y= (x+3) 2 +4 12. 将抛物线 y= -2x2 +4x-1 沿 x 轴翻折,得到的抛物线的解析式为 　 , 沿 y 轴翻折,得到的抛物线的解析式为　 y=-2x2-4x-1　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 B 能力提升练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　13. 已知二次函数 y= x2 -2x-1. (1)当-2≤x≤0 时,y 的最大值为　 7　 ,最小值为　 -1　 ; (2)当 2≤x≤5 时,y 的最大值为　 14　 ,最小值为　 -1　 ; (3)当 0≤x≤3 时,y 的最大值为　 2　 ,最小值为　 -2　 . 14. 已知二次函数 y= -x2 +2x+1 的图象上有三点 A( -1,y1),B(1,y2 ),C(4, y3),则 y1,y2,y3 的大小关系是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y1 >y2 >y3 B. y3 >y2 >y1 C. y3 >y1 >y2 D. y2 >y1 >y3 15. 多解法 ∙∙∙ (2023 南充)若点 P(m,n)在抛物线 y=ax2(a≠0)上,则下列各点 在抛物线 y=a(x+1) 2 上的是 ( D ) A. (m,n+1) B. (m+1,n) C. (m,n-1) D. (m-1,n) 16. (2023 陕西)在平面直角坐标系中,二次函数 y = x2 +mx+m2 -m(m 为常 数)的图象经过点(0,6),其对称轴在 y 轴左侧,则该二次函数有 ( D ) A. 最大值 5 B. 最大值 15 4 C. 最小值 5 D. 最小值 15 4 17. (2023 河南)二次函数 y=ax2 +bx 的图象如图所示,则一次函数 y = x+b 的 图象一定不经过 ( D ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第 17 题图 　 　 　 　 第 18 题图 18. (2023 娄底)如图,抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴相交于点 A(1,0),点 B(3, 0),与 y 轴相交于点 C,点 D 在抛物线上,当 CD∥x 轴时,CD= 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 订正与反思 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 19. (2024 陕西)已知一个二次函数 y=ax2 +bx+c 的自变量 x 与函数 y 的几组 对应值如下表: x … -4 -2 0 3 5 … y … -24 -8 0 -3 -15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ( D ) A. 图象的开口向上 B. 当 x>0 时,y 的值随 x 的值增大而减小 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 x= 1 20. (2022 遂宁)抛物线 y=ax2 +bx+c(a,b,c 为常数)的部分图象如图所示,设 m=a-b+c,则 m 的取值范围是　 -4<m<0　 . 第 20 题图 21. (2023 杭州)设二次函数 y=ax2 +bx+1(a≠0,b 是实数) . 已知函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如下表所示: x … -1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若 m= 4, ①求二次函数的表达式; ②写出一个符合条件的 x 的取值范围,使得 y 随 x 的增大而减小; (2)若在 m,n,p 这三个实数中,只有一个是正数,求 a 的取值范围. 解:(1)①由题意得 a-b+1=4, 4a+2b+1=1,{ 解得 a=1, b=-2,{ ∴二次函数的表达式是 y=x2-2x+1; ②∵ y=x2-2x+1=(x-1) 2,∴抛物线开口向上,对称轴为直线 x=1, ∴当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小;(答案不唯一) (2)∵ x=0 和 x=2 时的函数值都是 1,∴抛物线的对称轴为直线 x=- b 2a =1, ∴ (1,n)是顶点,(-1,m)和(3,p)关于对称轴对称, 若在 m,n,p 这三个实数中,只有一个是正数,则抛物线必须开口向下,且 m≤0, ∵- b 2a =1,∴ b=-2a,∴二次函数表达式为 y=ax2-2ax+1, ∴m=a+2a+1≤0,∴ a≤- 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 C 综合与实践 22. 真实情境 (2024 广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于 x 的二次函数 y = x2 +2ax+a-3 的 最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出 a= -4,求二次函数 y= x2 +2ax+a-3 的最小值. ①请你写出对应的函数解析式; ②求当 x 取何值时,函数 y 有最小值,并写出此时的 y 值; 【举一反三】老师给出更多 a 的值,同学们即求出对应的函数在 x 取何值时,y 的最小值. 记录 结果,并整理成下表: a … -4 -2 0 2 4 … x … ∗ 2 0 -2 -4 … y 的最小值 … ∗ -9 -3 -5 -15 … 注:∗为②的计算结果. 【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现. ” 甲同学:“我发现,老师给了 a 值后,我们只要取 x= -a,就能得到 y 的最小值. ” 乙同学:“我发现,y 的最小值随 a 值的变化而变化,当 a 由小变大时,y 的最小值先增大后减 小,所以我猜想 y 的最小值中存在最大值. ” (2)请结合函数解析式 y= x2 +2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理? (3)你认为乙同学的猜想是否正确? 若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由. 解:(1)①当 a=-4 时,y=x2+2ax+a-3=x2-8x-7; ②当 x=- b 2a =4 时,y 取得最小值,为 16-32-7=-23; (2)合理,理由: ∵ y=x2+2ax+a-3,且 1>0,∴函数有最小值, 当 x=- b 2a =-a 时,y 取得最小值, 故甲同学的说法合理; (3)正确,理由: 当 x=-a 时,y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3=-(a- 1 2 ) 2-11 4 , ∵ y=-a2+a-3 且-1<0,∴ y 有最大值, 当 a= 1 2 时,y 的最大值为 - 11 4 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋函数中的分类讨论见大单元结构化整合练 P22 67