3.6 反比例函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

参考答案与重难题解析·数学 23　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 (2)解法一:∵ 3> 0,∴ 反比例函数的图象在第一、三象 限,且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,∵ 点( -3,a), (1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,∴ ( - 3,a)在第 三象限,(1,b)和(3,c)在第一象限,∴ a<0,b>0,c>0,又 ∵ 1<3,∴ b>c,∴ b>c>a. 多解法 解法二:如解图,由图象得 b>c>a; 第 15 题解图 解法三:将点(- 3,a),(1,b),(3,c)代入 y = 3 x ,得 a = -1,b= 3,c= 1,∴ b>c>a. 【变式 1】B　 【解析】∵ k= 5>0,∴ 反比例函数 y = 5 x 的图 象分布在第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减 小,∵ 点 A(x1 ,-1),B(x2 ,1),C(x3 ,5)都在反比例函数 y = 5 x 的图象上,∴ 点 A( x1 , -1) 分布在第三象限,B( x2 , 1),C(x3 ,5)分布在第一象限,且 1<5,∴ x1 <0,x2 >x3 >0, ∴ x1 <x3 <x2 . 【变式 2】A　 【解析】∵ 在反比例函数 y = 4 x 中,k = 4> 0, ∴ 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限,在每一 象限内 y 随 x 的增大而减小,当 t<-4 时,t+4<0,∴ P( t, y1 ),Q( t+4,y2 )均在第三象限,∵ t<t+4<0,∴ y2 <y1 <0,A 正确,符合题意;当-4<t<0 时,0<t+4<4,∴ 点 P( t,y1 )在 第三象限,点 Q( t+4,y2 )在第一象限,∴ y1 <0,y2 >0,∴ y1 <0<y2 ,B,C 错误,不符合题意;当 t>0 时,t+4>0,∴ P( t, y1 ),Q( t+4,y2 )在第一象限,∵ 0<t<t+4,∴ y1 >y2 >0,D 错 误,不符合题意. 解题通法 反比例函数图象上点的纵坐标比较大小的方法: 方法一(利用函数增减性比较):在同一象限时,根据 k> 0,y 随 x 的增大而减小,k<0,y 随 x 的增大而增大比较; 在不同象限时, x 轴上方图象上点的纵坐标大,反之 则小. 方法二(数形结合法):画出草图,大致标出各点,从图象 中比较大小. (此方法为最简单的方法) 方法三(特殊值法):给 k 和要比较的点的横坐标取满足条 件的数,算出对应的纵坐标,再进行比较. 16. 解:(1)设函数关系式为 p= k V , 根据图象可得:k= pV= 120×0. 04 = 4. 8, ∴ p= 4. 8 V , ∴ 当 p= 150 时,V= 4. 8 150 = 0. 032, ∴ 4 3 ×3r3 = 0. 032, 解得 r= 0. 2, ∵ k= 4. 8>0, ∴ p 随 V 的增大而减小, ∴ 要使气球不会爆炸,V≥0. 032,此时 r≥0. 2, ∴ 气球的半径至少为 0. 2 m 时,气球不会爆炸; (2)由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大导致 爆胎. 17. (1)(-16,1);(2) -36,6;(3) -40<k<-36 或-28<k<-16 　 【解析】 ( 1) ∵ 每个台阶的高和宽分别是 1 和 2, ∴ T1(-16,1),T2(-14,2),T3(-12,3),T4(-10,4),T5(-8,5), T6(-6,6),T7(-4,7),T8(-2,8) . (2)∵ L 过点 T3 ,∴ k= -12×3 = -36,∴ 反比例函数解析式 为 y= -36 x ,当 x= -6 时,y= 6,∴ T6 在反比例函数图象上, ∴ m= 6; (3)由于 T1 和 T8 ,T2 和 T7 ,T3 和 T6 ,T4 和 T5 ,分别在同一 条反比例函数图象上,要使两点在图象一侧,只能是 T4 和 T5 在同一侧或 T1 和 T8 在同一侧,当 T4 和 T5 在同一 侧时,-40<k<-36;当 T1 和 T8 在同一侧时-28<k<-16. 综 上所述,满足条件的 k 的取值范围为-40<k<-36 或-28< k<-16. 第六节　 反比例函数图象与性质的应用 1. B 2. A　 【解析】将 x= 3 代入 y= 2-x 中,得 y = -1,将(3,-1)代 入 y= k x 中,得 k= -3. 3. A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-k = 0 无实 数根,∴ Δ= 4-4(1-k) <0,解得 k<0,则函数 y = kx 图象经 过第二、四象限,函数 y= 2 x 的图象分布在第一、三象限,∴ 两个函数图象没有交点. 4. -1≤x<0 或 x≥2　 【解析】由两个函数图象及交点坐标的 横坐标可知,当 y1 ≤y2 时,x 的取值范围为 -1≤x< 0 或 x ≥2. 解题通法 比较两个函数值大小,求自变量取值范围常采用数形结 合的方法,步骤如下: ①确定交点坐标; ②若题中未给出函数图象,则要画出大致函数图象; ③观察函数图象确定答案:图象在上方的函数值肯定比 图象在下方的函数值大,找对应的 x 的取值范围 即可. 注:所得的自变量的取值范围一定不能包含 0. 5. D　 【解析】若 a>0,则函数 y = ax-a 的图象经过第一、三、 四象限,函数 y = a x 的图象在第一、三象限,故 A,C 错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 参考答案与重难题解析·数学24　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 若 a<0,则函数 y=ax-a 的图象经过第一、二、四象限,函数 y= a x 的图象在第二、四象限,故 B 错误,D 正确. 解题通法 一系双图或多图问题的方法: ①观察法:观察选项中的函数图象,根据图象所在象限 和与 y 轴交点位置确定两个函数解析式中 a 的取值范 围,即 a 的正负,看同一个选项中 a 的取值范围是否 矛盾; ②假设法:假设反比例函数解析式与图象吻合,即可确 定 a 的取值范围,再根据 a 的取值范围确定一次函数图 象,看是否与选项中的图矛盾. 6. 3(答案不唯一) 思维构建 根据 x1·x2 <0 可得 x1 和 x2 一正一负,即一次函数图象 与反比例函数图象的两个交点在不同象限,根据一次函 数所经过的象限即可确定(6-3k)的正负. 【解析】∵ 一次函数 y = -7x+b 的图象一定经过第二、四象 限,且一次函数与反比例函数交点横坐标乘积<0,∴ 两个 交点分别在第二、第四象限,∴ 6-3k<0,∴ k>2,∴ 满足条 件的 k 值可为 3(答案不唯一) . 7. 解:(1)∵ A(2,3),B(m,-2)两点在反比例函数 y= k x 的图 象上, ∴ k= 2×3 =m×(-2), ∴ k= 6,m= -3; (2)由(1)可知点 B(-3,-2),根据反比例函数图象的中心 对称性质可得点 C(3,2), 设直线 AC 的解析式为 y= k′x+b(k′≠0), 将 A(2,3),C(3,2)代入, 得 2k′+b= 3, 3k′+b= 2,{ 解得 k′= -1, b= 5,{ ∴ 直线 AC 的解析式为 y= -x+5. 8. 解:(1)把点 A(1,m)代入 y= 9 x 中,得 m= 9 1 = 9, ∴ 点 A 的坐标为(1,9), 把点 B(n,1)代入 y= 9 x 中,得 1 = 9 n ,解得 n= 9, ∴ 点 B 的坐标为(9,1), 把 A(1,9)代入 y= -x+b 中, 得-1+b= 9,解得 b= 10, ∴ 一次函数的解析式为 y= -x+10; (2)不等式-x+b> 9 x 的解集为 x<0 或 1<x<9. 9. 解:(1)4;【解法提示】∵ 开机加热时每分钟上升 20 ℃ , ∴ 水温从 20 ℃加热到 100 ℃,所需时间为100 -20 20 =4(min); (2)设水温下降过程中,y 与 x 的函数关系式为 y= k x (k≠0), 由题意得,点( 4,100) 在反比例函数 y = k x ( k≠0) 的图 象上, ∴ k 4 = 100,解得 k= 400, ∴ 水温下降过程中,y 与 x 的函数关系式是 y= 400 x ; (3)在加热过程中,水温为 40 ℃时,20x+20 = 40, 解得 x= 1, 在降温过程中,水温为 40 ℃时,40 = 400 x , 解得 x= 10, ∵ 10-1 = 9, ∴ 一个加热周期内水温不低于 40 ℃的时间为 9 min. 10. (1)2;(2)-6;(3)0≤m≤4　 【解析】(2)由题意可得,k = -3m= -2(m+1),解得 m= 2,∴ k= -6;(3)将点 A( -1,m) 代入 y = - 4 x (x<0),得 m = 4,将点D(-4,m+1) 代入 y = - 4 x (x< 0),得 m = 0,∴ 双曲线 y = - 4 x (x< 0)与四边形 ABDC 总有公共点时,m 的取值范围是 0≤m≤4. 11. A　 【解析】如解图,过点 A 作 AM⊥y 轴,垂足为 M,连接 OB,则 S△AOM =S△OBD = 1 2 | k | = 1 2 ×12 = 6,∵ E 是 OA 的中 点,∴ OE=AE,易得 DE∥AM,∴ DE = 1 2 AM,OD = 1 2 OM, ∵ S△AOM =S△OBD = 6,即 1 2 AM·OM = 1 2 OD·BD = 6,∴ AM ·OD= 1 2 BD·OD,∴ BD= 2AM,∴ DE = 1 2 AM = 1 4 BD,∴ DE= 1 3 BE, ∵ S△ODE = 1 4 S△OBD = 1 4 × 6 = 3 2 , ∴ S△ABE = 3S△ODE = 3× 3 2 = 4. 5. 第 11 题解图 　 　 第 12 题解图 12. A　 【解析】如解图,过点 D 作 DG⊥EF 交 FE 的延长线于 点 G,DG 交反比例函数图象于点 H,∵ 原点 O 为正六边 形 ABCDEF 的中心,EF∥x 轴,∴ ∠EDO = 1 2 ∠EDC = 1 2 × 120° = 60°,∴ ∠EDG = 30°,∴ EG = 1 2 ED,GD = 3 2 ED,设 正六边形 ABCDEF 的边长为 a(a>0),则 E( 1 2 a, 3 2 a), ∵ 正六边形 ABCDEF 向上平移 3 个单位长度,点 D 到达 点 H 处,∴ H(a, 3 ),∵ 点 E,H 都在反比例函数图象上, ∴ 1 2 a· 3 2 a= 3a,解得 a= 4,∴ H(4, 3 ),∴ k= 4 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 参考答案与重难题解析·数学 25　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 13. A　 【解析】如解图,过点 A 作 AG⊥x 轴,垂足为 G,过点 B 作 BH⊥x 轴,垂足为 H,则∠AGO = ∠BHO = 90°,∵ 点 A 在反比例函数 y= - 1 x 图象上,点 B 在反比例函数 y = 4 x 图象上,∴ S△AGO = 1 2 ,S△BOH = 2,∵ BO⊥AO,∴ ∠AOB = 90°,∴ ∠AOG+∠BOH= ∠HBO+∠BOH = 90°,∴ ∠AOG = ∠HBO,∴ △AGO∽△OHB,∴ S△AGO S△OHB = ( AO OB ) 2 = 1 2 2 ,∴ AO BO = 1 2 . 第 13 题解图 14. A 思维构建 过正方形相邻的两个顶点分别向 x 轴作垂线构造一线 三垂直(全等),则两个直角三角形面积相等,结合 k 的 几何意义即可求出 n,然后根据 y= n x 的图象所在象限判 断 n 的正负. 【解析】如解图,连接正方形的对角线,由正方形的性质 知对角线交于原点 O,过点 A,B 分别作 x 轴的垂线,垂足 分别为点 C,D,点 B 在函数 y= 3 x 上. ∵ 四边形是正方形, ∴ AO=BO,∠AOB= ∠BDO = ∠ACO = 90°,∴ ∠CAO = 90° -∠AOC= ∠BOD,∴ △AOC≌△OBD,∴ S△AOC = S△OBD = 3 2 = | n | 2 ,∵ 点 A 在第二象限,∴ n= -3. 第 14 题解图 15. C　 【解析】解法一:如解图,∵ 四边形 OCBA 是矩形,∴ AB=OC,OA=BC,设 B 点的坐标为(a,b),∵ 矩形 OABC 的对称中心为点 M,∴ 延长 OM 恰好经过点 B,M( a 2 , b 2 ),∵ 点 D 在 AB 上,且 AD= 1 4 AB,∴ D( a 4 ,b),∴ BD = 3 4 a,∴ S△BDM = 1 2 × 3 4 a×(b- b 2 )= 3 16 ab,∵ 点 M 在反比例 函数的图象上,∴ 1 4 ab = k,∵ S△ODM = S△AOB -S△AOD -S△BDM = 1 2 ab- 1 2 k- 3 16 ab= 3,∴ ab= 16,∴ k= 1 4 ab= 4. 多解法 解法二:如解图,连接 BM,∵ 点 M 是矩形的对称中心, ∴ S△DMO =S△DMB,S△DBO = 6,∵ AD= 1 4 AB,∴ AD ∶DB= 1 ∶ 3, ∴ S△ADO ∶ S△DBO = 1 ∶ 3,即 S△ADO = 2,∴ k= 2S△ADO = 4. 第 15 题解图 16. B　 【解析】∵ 点 A(4,2)在函数 y = k x (k>0,x>0)上,∴ k = 4×2 = 8,∴ 反比例函数表达式为 y = 8 x (x> 0) . 设直线 OA 的表达式为 y= k′x(k′≠0),∴ 4k′ = 2,∴ k′ = 1 2 ,∴ 直 线 OA 的表达式为 y= 1 2 x. 设直线 OA 沿 y 轴向上平移 m 个单位到直线 BC,∴ B(0,m),直线 BC 的表达式为 y= 1 2 x+m,∵ 点 C 在反比例函数 y = 8 x (x>0)的图象上,∴ 设 C(a, 8 a )(a>0),∴ 8 a = 1 2 a+m,∴ 8 a -m = 1 2 a. 如解图, 过点 C 作 CH⊥y 轴于点 H,则 CH = a,BH = 8 a -m = 1 2 a, ∵ BH2 +CH2 =BC2 ,∴ 1 4 a2 +a2 = 5,∴ a= 2,∴ BH = 1,OH = 4,∴ BO=OH-BH= 3,∴ B(0,3) . 第 16 题解图 17. 15 2 　 【解析】∵ 直线 y1 = k1x+b 与双曲线 y2 = k2 x (其中 k1 ·k2 ≠0)相交于 A(-2,3),B(m,-2)两点,∴ k2 = -2×3 = -2m,∴ m = 3,∴ 点 B 的坐标为(3, -2),∵ BP∥x 轴,∴ BP= 3,∴ S△ABP = 1 2 ×3×(3+2)= 15 2 . 【拓展设问】(-3,0)或(5,0) 避坑神招 由于点 C 可能在 AB 与 x 轴交点的左边,也可能在 AB 与 x 轴交点的右边,所以要分为两种情况讨论. 【解析】设直线 AB 交 x 轴于点 D,则 S△ABC =S△ACD+S△BCD = 1 2 ×3CD+ 1 2 × 2CD = 10,∴ CD = 4,将点 A(-2,3),B( 3, -2)代入 y1 = k1x+b 中得 3 = -2k+b, -2 = 3k+b,{ 解得 k= -1, b= 1,{ ∴ y1 =-x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 参考答案与重难题解析·数学26　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 +1,令 y1 =0,解得 x=1,∴ 点 D 的坐标为(1,0),∴ 点 C 的坐 标为(-3,0)或(5,0). 18. 3　 【解析】设点 P 的坐标为(x, 2 x ),则点 Q 的坐标为(x, x-4),∴ PQ = 2 x -x+ 4,∴ S△POQ = 1 2 ×x×( 2 x -x+ 4) = 1- 1 2 x2 +2x= - 1 2 (x2 -4x-2) = - 1 2 (x-2) 2 +3,∵ - 1 2 <0,二 次函数图象开口向下,有最大值,∴ 当 x = 2 时,S△POQ 有 最大值,最大值是 3. 19. 解:(1)∵ M( 1 2 ,4)在反比例函数 y= k x 的图象上, ∴ k= 1 2 ×4 = 2, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 2 x ; 又∵ N(n,1)在反比例函数 y= 2 x 的图象上, ∴ n= 2,∴ N(2,1) . 设一次函数的表达式为 y = ax+b(a≠0),将 M( 1 2 ,4), N(2,1)代入,得 1 2 a+b= 4, 2a+b= 1, { 解得 a= -2,b= 5,{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -2x+5; (2)如解图,作点 M 关于 y 轴的对称点 M′,连接M′N 交 y 轴于点 P,则 PM+PN 的最小值等于 M′N 的长, 第 19 题解图 ∵ M( 1 2 ,4)与 M′关于 y 轴对称, ∴ M′(- 1 2 ,4), 又∵ N(2,1), ∴ 易得直线 M′N 的表达式为 y= - 6 5 x+17 5 . 令 x= 0,得 y= 17 5 , ∴ 当 PM+PN 的值最小时,点 P 的坐标为(0,17 5 ) . 20. 解:(1)∵ 点 A 在 y= 6 x 的图象上, ∴ 当 x= 2 时,y= 6 2 = 3, ∴ A(2,3), ∴ 将点 A(2,3)代入 y= kx+1,得 k= 1; (2)x<-3 或 0<x<2;【解法提示】由(1)可知一次函数解 析式为 y= x+1, 联立方程组 y= 6 x , y= x+1, { 解得 x= 2,y= 3{ 或 x= -3,y= -2,{ ∴ A(2,3),B(-3,-2), 根据图象可知不等式 kx+1< 6 x 的解集为 x<-3 或 0<x<2. (3)由(1) 可知一次函数解析式为 y = x+ 1,∴ C(0,1), 又由题意可知∠CEG= 45°,CE= 4. 如解图,过点 C 作 CG⊥DE,垂足为 G, 第 20 题解图 ∴ CG= 2 2 . 又∵ A(2,3),C(0,1), ∴ AC= 2 2 . 由平移性质可知,S阴影 = S▱ACFD = AC·CG= 2 2 ×2 2 = 8. 第七节　 二次函数的图象与性质 1. (1)y= 2(x-1) 2 -1;(2)y= -x2 +4x-1; (3)y= x2 -2x-3 2. (1)画图如解图: 第 2(1)题解图 信息:二次函数图象开口向上,顶点坐标为( - 1,0),与 y 轴交于点(0,1),对称轴为直线 x= -1,当 x = -1 时,y 有最 小值 0,当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而增大; (2)二次函数图象开口向下,顶点坐标为( - 2,- 1),对称 轴为直线 x= -2,当 x= -2 时,y 有最大值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>-2 时,y 随 x 的增大而减小; (3)二次函数图象开口向上,顶点坐标为(-2,-1),与 x 轴 交于点(-1,0),( - 3,0),对称轴为直线 x = -2,当 x = - 2 时,y 有最小值-1,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小,当 x> -2 时,y 随 x 的增大而增大; (4)画图如解图; 信息:二次函数图象开口向下,对称轴为直线 x= 1,顶点坐 标为(1,1),最大值为 1,当 x<1 时,y 随 x 的增大而增大, 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,a<0,c= 0; 第 2(4)题解图 　 　 第 2(5)题解图 (5)画图如解图; 信息:二次函数图象开口向上,a>0,c= 2. 3. 该函数图象开口向下,a<0,c>0,对称轴为直线 x = -1,b = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 第六节　 反比例函数图象与性质的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 1 反比例函数与一次函数综合 1. 若正比例函数 y= -2x 与反比例函数 y= k x 的图象交于点(1,-2),则另一 个交点坐标为 ( B ) A. (2,1) B. ( -1,2) C. ( -2,-1) D. ( -2,1) 2. (2024 安徽)已知反比例函数 y= k x (k≠0)与一次函数 y = 2-x 的图象的一 个交点的横坐标为 3,则 k 的值为 ( A ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 3. (2024 泸州)已知关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-k= 0 无实数根,则函数 y= kx 与函数 y= 2 x 的图象交点个数为 ( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y1 = ax+b(a≠0)与双曲线 y2 = k x (k≠ 0)交于点 A( -1,m),B(2,-1) . 则满足 y1≤y2 的 x 的取值范围为 　 . 第 4 题图 5. (北师九上 P161 复习题第 6 题)函数 y = ax-a 与 y = a x (a≠0)在同一平面直 角坐标系中的图象可能是 ( D ) 6. 开放性试题 (2023 日照)已知反比例函数 y = 6-3k x (k>1 且 k≠2)的图象与 一次函数 y= -7x+b 的图象共有两个交点,且两交点横坐标的乘积 x1·x2 <0,请写出一个满足条件的 k 值　 3(答案不唯一) 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　7. (2024 甘孜州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(2,3),B(m,-2)两 点在反比例函数 y= k x 的图象上. (1)求 k 与 m 的值; (2)连接 BO,并延长交反比例函数 y = k x 的图象于点 C. 若一次函数的图 象经过 A,C 两点,求这个一次函数的解析式. 第 7 题图 解:(1)∵A(2,3),B(m,-2)两点在反比例函数 y= k x 的图象上, (2)由(1) 可知点 B ( - 3,- 2),根据反比例函数图象的中心对称性质可得点 C(3,2), 设直线 AC 的解析式为 y=k′x+b(k′≠0), 将 A(2,3),C(3,2)代入,得 2k′+b=3, 3k′+b=2,{ 解得 k′=-1, b=5,{ ∴直线 AC 的解析式为 y=-x+5. 8. (2024 青海)如图,在同一直角坐标系中,一次函数 y= -x+b 和反比例函数 y= 9 x 的图象相交于点 A(1,m),B(n,1) . (1)求点 A,点 B 的坐标及一次函数的解析式; (2)根据图象,直接写出不等式-x+b> 9 x 的解集. 第 8 题图 解:(1)把点 A(1,m)代入 y= 9 x 中,得 m= 9 1 =9, ∴点 A 的坐标为(1,9), 把点 B(n,1)代入 y= 9 x 中,得 1= 9 n ,解得 n=9, ∴点 B 的坐标为(9,1), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 66 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 9. 真实情境 某新款茶吧机,开始加热时,水温每分钟上升 20 ℃ ,加热到 100 ℃时,停止加热,水温开始下降,此时水温 y(℃ )是通电时间 x(min) 的反比例函数. 若在水温为 20 ℃时开始加热,水温 y 与通电时间 x 之间 的函数关系如图所示. (1)将水从 20 ℃加热到 100 ℃需要　 4　 min; (2)在水温下降的过程中,求水温 y 关于通电时间 x 的函数表达式; (3)加热一次,水温不低于 40 ℃的时间有多长? 第 9 题图 (2)设水温下降过程中,y 与 x 的函数关系式为 y = k x (k≠0), 由题意得,点(4,100)在反比例函数 y = k x (k≠0)的 图象上, ∴ k 4 =100,解得 k=400, ∴水温下降过程中,y 与 x 的函数关系式是 y=400 x ; (3)在加热过程中,水温为 40 ℃时,20x+20=40,解得 x=1, 在降温过程中,水温为 40 ℃时,40= 400 x ,解得 x=10,∵10-1=9, ∴一个加热周期内水温不低于 40 ℃的时间为 9 min. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 2 反比例函数与几何图形综合 10. 名师原创 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A( -1,m),B( - 3,m), C( -2,m+1),D( -4,m+1),连接 AB. (1)线段 AB= 　 2　 ; (2)若双曲线 y= k x (k≠0)经过点 B 和点 C,则 k 的值为　 -6　 ; (3)连接 BD,DC,CA,若双曲线 y = - 4 x (x<0)与四边形 ABDC 总有公共 点,则 m 的取值范围是　 0≤m≤4　 . 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. (2024 龙东地区)如图,双曲线 y = 12 x (x>0)经过 A、B 两点,连接 OA、AB, 过点 B 作 BD⊥y 轴,垂足为 D,BD 交 OA 于点 E,且 E 为 AO 的中点,则 △AEB 的面积是 ( A ) A. 4. 5 B. 3. 5 C. 3 D. 2. 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 76 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　12. (2024 通辽)如图,平面直角坐标系中,原点 O 为正六边形 ABCDEF 的中 心,EF∥x 轴,点 E 在双曲线 y = k x (k 为常数,k>0)上,将正六边形 ABC- DEF 向上平移 3个单位长度,点 D 恰好落在双曲线上,则 k 的值为 ( A ) A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13. (2024 苏州)如图,点 A 为反比例函数 y = - 1 x (x<0)图象上的一点,连接 AO,过点 O 作 OA 的垂线与反比例函数 y= 4 x (x>0)的图象交于点 B,则 AO BO 的值为 ( A ) A. 1 2 B. 1 4 C. 3 3 D. 1 3 14. (2023 福建)如图,正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 y = 3 x 和 y = n x 的图象的四个分支上,则实数 n 的值为 ( A ) A. -3 B. - 1 3 C. 1 3 D. 3 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 多解法 ∙∙∙ (2023 张家界)如图,矩形 OABC 的顶点 A,C 分别在 y 轴、x 轴的 正半轴上,点 D 在 AB 上,且 AD = 1 4 AB,反比例函数 y = k x (k>0)的图象 经过点 D 及矩形 OABC 的对称中心 M,连接 OD,OM,DM. 若△ODM 的 面积为 3,则 k 的值为 ( C ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 86 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 综合训练 16. (2024 长春)如图,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,点 A(4,2)在 函数 y= k x (k>0,x>0)的图象上. 将直线 OA 沿 y 轴向上平移,平移后的 直线与 y 轴交于点 B,与函数 y= k x (k>0,x>0)的图象交于点 C. 若 BC = 5 ,则点 B 的坐标是 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (0, 5 ) B. (0,3) C. (0,4) D. (0,2 5 ) 第 16 题图 　 　 　 第 17 题图 　 　 第 18 题图 17. (2023 鄂州)如图,在平面直角坐标系中,直线 y1 = k1x+b 与双曲线 y2 = k2 x (其中 k1·k2≠0)相交于 A( -2,3),B(m,-2)两点,过点 B 作 BP∥x 轴, 交 y 轴于点 P,则△ABP 的面积是　 　 　 　 . 拓展设问 易错 ∙∙ 　 点 C 为 x 轴上一点,若△ABC 的面积为 10,则点 C 的坐 标为　 (-3,0)或(5,0) 　 . 18. (2023 淄博)如图,在直线 l:y= x-4 上方的双曲线 y = 2 x (x>0)上有一个 动点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 l 于点 Q,连接 OP,OQ,则△POQ 面积的最大值是　 　 　 　 . 19. (2024 雅安节选)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象 l 与反比例 函数 y= k x 的图象交于 M( 1 2 ,4),N(n,1)两点. (1)求反比例函数及一次函数的表达式; (2)若点 P 是 y 轴上一动点,连接 PM,PN. 当 PM+PN 的值最小时,求点 P 的坐标. 　 第 19 题图 解:(1)∵M( 1 2 ,4)在反比例函数 y = k x 的图象上,∴ k = 1 2 ×4=2,∴反比例函数的表达式为 y= 2 x . 又∵N(n,1)在反比例函数 y = 2 x 的图象上,∴ n = 2,∴ N(2,1) . 设一次函数的表达式为 y=ax+b(a≠0), 将 M( 1 2 ,4),N(2,1)代入,得 1 2 a+b=4, 2a+b=1, ì î í ïï ïï 解得 a=-2, b=5,{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 96 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 20. (2024 连云港)如图①,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y= kx+1(k≠ 0)的图象与反比例函数 y = 6 x 的图象交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,点 A 的横坐标为 2. (1)求 k 的值; (2)利用图象直接写出 kx+1< 6 x 时 x 的取值范围; (3)如图②,将直线 AB 沿 y 轴向下平移 4 个单位,与函数 y= 6 x (x>0)的 图象交于点 D,与 y 轴交于点 E,再将函数 y = 6 x (x>0)的图象沿 AB 平移,使点 A,D 分别平移到点 C,F 处,求图中阴影部分的面积. 图① 　 　 图② 第 20 题图 解:(1)∵点 A 在反比例函数 y= 6 x 的图象上,∴当 x=2 时,y= 6 2 =3,∴A(2,3), ∴将点 A(2,3)代入 y=kx+1,得 k=1; (2)x<-3 或 0<x<2;【解法提示】由(1)可知一次函数解析式为 y=x+1, 联立方程组 y= 6 x , y=x+1, ì î í ïï ïï 解得 x=2, y=3{ 或 x=-3, y=-2,{ ∴A(2,3),B(-3,-2), 根据图象可知不等式的解集为 x<-3 或 0<x<2. (3)由题意可知 C(0,1),CE=4. 如解图,过点 C 作 CG⊥DE,垂足为 G, ∵CE=4,∠CEG=45°,∴CG=2 2 . 又∵A(2,3),C(0,1),∴AC=2 2 . 由平移性质可知,阴影部分面积就是▱ACFD 的面积,即 2 2 ×2 2 =8. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 07 订正与反思