3.4 一次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 第四节　 一次函数的实际应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 1 行程问题 1. (2023 威海)一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程 y(千米)与行驶时间 x(时) 之间的函数关系如图所示. 当 0≤x≤0. 5 时,y 与 x 之间的函数表达式为 y=60x;当 0. 5≤x≤2 时,y 与 x 之间的函数表达式为　 y= 80x-10　 . 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (2022 盐城改编)小丽从甲地匀速步行去乙地,小华骑自行车从乙地匀速 前往甲地,同时出发. 两人离甲地的距离 y(m)与出发时间 x( min)之间 的函数关系如图所示. 当两人相遇时,他们到甲地的距离为　 960　 m. 3. 为增强学生体质,某中学在体育课中加强了学生的长跑训练. 在一次女 子 800 米耐力测试中,小静和小茜在校园内 400 米的环形跑道上同时起 跑,同时到达终点.所跑的路程 s(米)与所用的时间 t(秒)之间的函数图象如 图所示,则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 ( C ) 第 3 题图 A. 80 秒 B. 105 秒 C. 120 秒 D. 150 秒 4. 数学文化 (2023 武汉)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善 行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追 之. 问几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走路程 s(单位:步)关 于善行者的行走时间 t 的函数图象, 则两图象交点 P 的纵坐标 是　 250　 . 第 4 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　5. (2024 牡丹江)一条公路上依次有 A、B、C 三地,甲车从 A 地出发,沿公路 经 B 地到 C 地,乙车从 C 地出发,沿公路驶向 B 地. 甲、乙两车同时出发, 匀速行驶,乙车比甲车早 2 7 小时到达目的地. 甲、乙两车之间的路程 y km 与两车行驶时间 x h 的函数关系如图所示,请结合图象信息,解答下列问题: (1)甲车行驶的速度是　 70　 km / h,并在图中括号内填上正确的数; (2)求图中线段EF所在直线的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围); (3)请直接写出两车出发多少小时,乙车距 B 地的路程是甲车距 B 地路 程的 3 倍. 第 5 题图 解:(1)70;补全图如解图; (2)由题图可知 E,F 的坐标分别为( 5 2 ,0),(4, 180), 设线段 EF 所在直线的函数解析式为 y = kx+b (k≠0), 则 5 2 k+b=0, 4k+b=180, ì î í ïï ïï 解得 k=120, b=-300,{ ∴线段 EF 所在直线的函数解析式为 y=120x-300; (3)两车出发 5 8 h 或25 13 h 时,乙车距 B 地的路程是甲车距 B 地路程的 3 倍. 6. (2021 陕西)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出 发,1 min 后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后, “猫”抓着“鼠” 沿原路返回. “鼠”、“猫” 距起点的距离 y( m) 与时间 x(min)之间的关系如图所示. (1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差 是　 1　 m / min; (2)求 AB 的函数表达式; (3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间. 第 6 题图 解:(1)1; (2)设 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0), ∵图象经过 A(7,30)和 B(10,18), 把点 A 和 点 B 的 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 得 30=7k+b, 18=10k+b,{ 解得 k=-4, b=58,{ ∴AB 的解析式为 y=-4x+58; (3)令 y=0,则-4x+58=0,∴ x=14. 5, ∵ “猫”比“鼠”迟一分钟出发, ∴ “猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为 14. 5-1=13. 5(min) . 答:“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为 13. 5 min. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 45 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 类　 型 2 费用或利润最值问题 7. (2024 广安)某小区物管中心计划采购 A,B 两种花卉用于美化环境. 已知购买 2 株 A 种花卉和 3 株 B 种花卉共需要 21 元;购买 4 株 A 种花卉和5 株 B 种花卉共需要 37 元. (1)求 A,B 两种花卉的单价; (2)该物管中心计划采购 A,B 两种花卉共计 10 000 株,其中采购 A 种花卉的株数不超过 B 种 花卉株数的 4 倍,当 A,B 两种花卉分别采购多少株时,总费用最少? 并求出最少总费用. 解:(1)设 A 种花卉的单价为 x 元 /株,B 种花卉的单价为 y 元 /株. 由题意得: 2x+3y=21, 4x+5y=37,{ 解得: x=3, y=5,{ 答:A 种花卉的单价为 3 元 /株,B 种花卉的单价为 5 元 /株; (2)设采购 A 种花卉 m 株,则采购 B 种花卉(10 000-m) 株,总费用为 W 元. 由题意得:W=3m+5(10 000-m)= -2m+50 000, ∵m≤4(10 000-m),解得:m≤8 000, 在 W=-2m+50 000 中,∵-2<0,∴W 随 m 的增大而减小, ∴当 m=8 000 时,W 的值最小,此时 W=-2×8 000+50 000=34 000,10 000-m=2 000, 答:当购进 A 种花卉 8 000 株,B 种花卉 2 000 株时,总费用最少,最少总费用为34 000 元. 8. (2024 云南)A、B 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢. 某超市 销售 A、B 两种型号的吉祥物,有关信息见下表: 成本(单位:元 / 个) 销售价格(单位:元 / 个) A 型号 35 a B 型号 42 b 若顾客在该超市购买 8 个 A 种型号吉祥物和 7 个 B 种型号吉祥物,则一共需要 670 元;购买 4 个 A 种型号吉祥物和 5 个 B 种型号吉祥物,则一共需要 410 元. (1)求 a、b 的值; (2)若某公司计划从该超市购买 A、B 两种型号的吉祥物共 90 个,且购买 A 种型号吉祥物的数 量 x(单位:个)不少于 B 种型号吉祥物数量的 4 3 ,又不超过 B 种型号吉祥物数量的 2 倍. 设 该超市销售这 90 个吉祥物获得的总利润为 y 元,求 y 的最大值. 注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差. 解:(1)根据题意,得 8a+7b=670, 4a+5b=410,{ 解得 a=40, b=50,{ ∴ a 的值是 40,b 的值是 50; (2)购买 B 种型号吉祥物的数量为(90-x)个. 根据题意,得 x≥ 4 3 (90-x), x≤2(90-x), ì î í ïï ïï 解得 360 7 ≤x≤60. 根据题意得 y=(40-35)x+(50-42)(90-x)= -3x+720, ∵-3<0,∴ y 随 x 的增大而减小, ∵360 7 ≤x≤60 且 x 为正整数,∴当 x=52 时,y 的值最大,y最大 =-3×52+720=564, ∴ y 的最大值是 564. 55 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 3 方案问题 9. (2023 呼和浩特改编)学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展,计划组织八年 级学生到“开心”农场开展劳动实践活动. 到达农场后分组进行劳动,若每位老师带 38 名学生, 则还剩 6 名学生没老师带;若每位老师带 40 名学生,则有一位老师少带 6 名学生. 劳动实践结 束后,学校在租车总费用 2 300 元的限额内,租用汽车送师生返校,每辆车上至少要有 1 名老 师. 现有甲、乙两种大型客车,它们的载客量和租金如表所示: 甲型客车 乙型客车 载客量 / (人 / 辆) 45 30 租金 / (元 / 辆) 400 280 (1)租车返校时,既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少有 1 名老师,则共需租车 　 6　 辆; (2)若设租用甲客车 x 辆,租车费用为 y 元,请写出 y 与 x 的函数关系式(不要求写自变量取值 范围); (3)学校共有几种租车方案? 最少租车费用是多少? 解:(1)设老师有 x 名,学生有 y 名,根据题意,得 38x+6=y, 40x-6=y,{ 解得 x=6, y=234.{ 答:老师有 6 名,学生有 234 名; (3)学校共有两种租车方案,最少费用为 2 160 元. 详解见本册 PX 10. (2023 丽水)我市“共富工坊”问海借力,某公司产品销售量得到大幅提升. 为促进生产,公司提 供了两种付给员工月报酬的方案,如图所示,员工可以任选一种方案与公司签订合同. 看图解 答下列问题: (1)直接写出员工生产多少件产品时,两种方案付给的报酬一样多; (2)求方案二 y 关于 x 的函数表达式; (3)如果你是劳务服务部门的工作人员,你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案. 第 10 题图 解:(1)观察图象得:方案一与方案二相交于点(30,1 200), ∴员工生产 30件产品时,两种方案付给的报酬一样多; (2)设方案二的函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 将点(0,600)、点(30,1 200)代入解析式中: 30k+b=1 200, b=600,{ 解得 k=20, b=600,{ 即方案二 y 关于 x 的函数表达式为 y=20x+600; (3)由两方案的图象交点(30,1 200)可知: 若生产件数 x 的取值范围为 0≤x<30,则选择方案二, 若生产件数 x=30,则选择两个方案都可以, 若生产件数 x 的取值范围为 x>30,则选择方案一. 65 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类　 型 4 其他问题 11. 学科融合 (2023 山西)一种弹簧秤最大能称不超过 10 kg 的物体,不挂物体时弹簧的长为 12 cm,每挂重 1 kg 物体,弹簧伸长 0. 5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度 y(cm)与所挂物 体的质量 x(kg)之间的函数关系式为 ( B ) 第 11 题图　 　 　 　 　 　 A. y= 12-0. 5x B. y= 12+0. 5x C. y= 10+0. 5x D. y= 0. 5x 12. (2024 陕西)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从 A 市前往 B 市. 他驾车从 A 市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是 80 kW·h,行驶了 240 km 后,从 B 市一高速公路出口驶出. 已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量 y(kW·h)与行驶路程 x(km)之间的关系如图所示. (1)求 y 与 x 之间的关系式; (2)已知这辆车的“满电量”为 100 kW·h,求王师傅驾车从 B 市这一高速公路出口驶出时,该 车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 第 12 题图 解:(1)设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b(0≤x≤240), 将(0,80),(150,50)代入,得 b=80, 150k+b=50,{ 解得 k=- 1 5 , b=80, ì î í ïï ïï ∴ y 与 x 之间的关系式为 y=- 1 5 x+80(0≤x≤240); (2)令 x=240,则 y=32, 32 100 ×100% =32%, 答:该车的剩余电量占“满电量”的 32%. 13. (2024 包头)如图是 1 个碗和 4 个整齐叠放成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的. 小亮尝 试结合学习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度 y(单位:cm)随着碗的 数量 x(单位:个)的变化规律. 下表是小亮经过测量得到的 y 与 x 之间的对应数据: x / 个 1 2 3 4 y / cm 6 8. 4 10. 8 13. 2 (1)依据小亮测量的数据,写出 y 与 x 之间的函数表达式,并说明理由; (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过 28. 8 cm,求此时碗的数量最多为多 少个? 第 13 题图　 解:(1)y=2. 4x+3. 6,理由如下:由表中的数据,x 增加 1,y 增加 2. 4, ∴ y 是 x 的一次函数,设 y=kx+b(k≠0), 由题意得 k+b=6, 2k+b=8. 4,{ 解得 k=2. 4, b=3. 6,{ ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y=2. 4x+3. 6; (2)设碗的数量有 x 个,则 2. 4x+3. 6≤28. 8, 解得 x≤10. 5,∴ x 的最大整数解为 10. 答:碗的数量最多为 10 个. 75 一轮章节分层练·数学 第 三 章 函 　 数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　14. 真实情境 (2024 吉林)综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究. 第一小 组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的 数学知识;第三小组负责汇报和交流. 下面是第三小组汇报的部分内 容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题. 【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫 卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观. 榫眼的设计很有讲究,木工一般 用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确 定榫眼的位置,如图②所示. 板凳的结构设计体现了数学的对称美. 【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量. 设以对称轴为基准向 两边各取相同的长度为 x mm,凳面的宽度为 y mm,记录如下: 以对称轴为基准向 两边各取相同的长 度 x / mm 16. 5 19. 8 23. 1 26. 4 29. 7 凳面的宽度 y / mm 115. 5 132 148. 5 165 181. 5 【分析数据】如图③,小组根据表中 x,y 的数值,在平面直角坐标系中描 出了各点. 【建立模型】请你帮助小组解决下列问题: (1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上? 如果在同一 条直线上,求出这条直线所对应的函数解析式;如果不在同一条直 线上,说明理由. (2)当凳面宽度为 213 mm 时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度 是多少? 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 14 题图 解:(1)它们在同一条直线上,设该直线对应的函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 将(16. 5,115. 5),(23. 1,148. 5)代入,得 16. 5k+b=115. 5, 23. 1k+b=148. 5,{ 解得 k=5, b=33,{ ∴这条直线所对应的函数解析式为 y=5x+33; (2)当 y=213 mm 时,213=5x+33,解得 x=36, ∴当凳面宽度为 213 mm 时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是 36 mm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 85 订正与反思 参考答案与重难题解析·数学 19　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 第四节　 一次函数的实际应用 1. y= 80x-10　 【解析】∵ 当 0≤x≤0. 5 时,y 与 x 之间的函数 表达式为 y= 60x,∴ 当 x = 0. 5 时,y = 30,设当 0. 5≤x≤2 时,y 与 x 之间的函数表达式为 y = kx+b(k≠0),把(0. 5, 30),(2,150)代入得 0. 5k+b= 30, 2k+b= 150,{ 解得 k= 80, b= -10,{ ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y= 80x-10. 2. 960　 【解析】设小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数 关系式为 y1 = kx(k≠0),将(30,2 400)代入 y1 = kx(k≠0), 得 2 400 = 30k,解得 k = 80,∴ y1 = 80x. 设小华离甲地的距 离与出发时间之间的函数关系式为 y2 = ax+b(a≠0),将 (0,2 400)和(20,0)代入 y2 =ax+b(a≠0)得 2 400=b, 0=20a+b,{ 解得 a=-120, b=2 400,{ ∴ y2 = - 120x + 2 400. 当 y1 = y2 时,80x = - 120x + 2 400,解得 x=12,∴ y1 =12×80=960,故两人相遇时,他们到甲 地的距离是 960 m. 3. C　 【解析】设直线 OA 的解析式为 y = kx( k≠0),把点 A(200,800)代入 y= kx 中,得 800 = 200k,解得 k= 4,故直线 OA 的解析式为 y = 4x,设线段 BC 的解析式为 y1 = k1x+b (k1 ≠ 0, 60 ≤ x ≤ 150), 由题意得 360 = 60k1 +b, 540 = 150k1 +b, { 解得 k1 = 2, b= 240,{ ∴ 线段 BC 的解析式为 y1 = 2x + 240 ( 60 ≤ x≤ 150),当 y= y1 时,4x= 2x+240,解得 x= 120,则她们第一次 相遇的时间是起跑后的第 120 秒. 第 3 题解图 4. 250　 【解析】如解图,设点 A、B 的坐标为( a,100)、( a, 160),则直线 OP 的表达式为:s = 100 a t①,设直线 BP 的表 达式为 s= kx+100(k≠0),将点 B 的坐标代入上式得:160 =ak+100,解得 k = 60 a ,则直线 BP 的表达式为 s = 60 a t+100 ②,联立①②得:100 a t= 60 a t+100,∴ t = 5a 2 ,∴ s= 250,两图象 交点 P 的纵坐标为 250. 第 4 题解图 　 　 第 5 题解图 5. 解:(1)70;补全图如解图;【解法提示】由题图可知,甲车 2 7 小时行驶的路程为(200-180) km,∴ 甲车行驶的速度 是(200-180)÷ 2 7 = 70(km / h),70×(4+ 2 7 )= 300(km) . (2)由题图可知 E,F 的坐标分别为( 5 2 ,0),(4,180), 设线段 EF 所在直线的函数解析式为 y= kx+b(k≠0), 则 5 2 k+b= 0, 4k+b= 180, { 解得 k= 120,b= -300,{ ∴ 线段 EF 所在直线的函数解析式为 y= 120x-300; (3)两车出发 5 8 h 或25 13 h 时,乙车距 B 地的路程是甲车距 B 地路程的 3 倍. 【解法提示】由题意知,A、C 两地的距离 为:(4+ 2 7 )×70 = 300(km), 乙车行驶的速度为:300÷ 5 2 -70 = 50(km / h), C、B 两地的距离为:50×4 = 200(km), A、B 两地的距离为:300-200 = 100(km), 设两车出发 x 小时,乙车距 B 地的路程是甲车距 B 地路程 的 3 倍, 分两种情况: 当甲车到达 B 地前, 200-50x= 3(100-70x),解得 x= 5 8 ; 当甲车到达 B 地后, 200-50x= 3(70x-100),解得 x= 25 13 ; 综上可知,两车出发 5 8 h 或25 13 h 时,乙车距 B 地的路程是 甲车距 B 地路程的 3 倍. 6. 解:(1) 1;【解法提示】由图象知:“鼠”6 min 跑了 30 m,∴ “鼠”的速度为 30÷6 = 5(m / min),“猫”5 min 跑了 30 m,∴ “猫”的速度为 30÷ 5 = 6( m / min), ∴ “猫”的平均速度与 “鼠”的平均速度的差是 1(m / min) . (2)设 AB 的函数表达式为 y= kx+b(k≠0), ∵ 图象经过 A(7,30)和 B(10,18), 把点 A 和点 B 的坐标代入函数表达式, 得 30 = 7k+b, 18 = 10k+b,{ 解得 k= -4, b= 58,{ ∴ AB 的函数表达式为 y= -4x+58; (3)令 y= 0,则-4x+58 = 0, ∴ x= 14. 5, ∵ “猫”比“鼠”迟一分钟出发, ∴ “猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为 14. 5-1 = 13. 5(min) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 参考答案与重难题解析·数学20　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 7. 题干话外音 题干:……购买 2 株 A 种花卉和 3 株 B 种花卉共 21 元…… 提取信息:等量关系:2×A 种花卉的单价+3×B 种花卉的 单价= 21. 题干:……购买 4 株 A 种花卉和 5 株 B 种花卉共 37 元…… 提取信息:等量关系:4×A 种花卉的单价+5×B 种花卉的 单价= 37. 题干:……采购 A、B 两种花卉共 10 000 株…… 提取信息:等量关系:采购 A 种花卉的株数+采购 B 种花 卉的株数= 10 000. 题干:……采购 A 种花卉的株数不超过 B 种花卉株数的 4 倍…… 提取信息:不等关系:A 种花卉的株数≤ 4 × B 种花卉 株数. 费用问题常用关系式:总费用 = 购进 A 的数量×A 的单 价+购进 B 的数量×B 的单价. 解:(1)设 A 种花卉的单价为 x 元 /株,B 种花卉的单价为 y 元 /株. 由题意得: 2x+3y= 21, 4x+5y= 37,{ 解得 x= 3, y= 5.{ 答:A 种花卉的单价为 3 元 / 株, B 种花卉的单价为 5 元 /株; (2)设采购 A 种花卉 m 株,则采购 B 种花卉(10 000-m) 株,总费用为 W 元. 由题意得:W= 3m+5(10 000-m)= -2m+50 000, ∵ m≤4(10 000-m),解得 m≤8 000, 在 W= -2m+50 000 中, ∵ -2<0, ∴ W 随 m 的增大而减小, ∴ 当 m= 8 000 时,W 的值最小, 此时,W= -2×8 000+50 000 = 34 000, 10 000-m= 2 000. 答:当购进 A 种花卉 8 000 株,B 种花卉 2 000 株时,总费 用最少,最少费用为 34 000 元. 8. 解:(1)根据题意,得 8a+7b= 670, 4a+5b= 410,{ 解得 a= 40, b= 50,{ ∴ a 的值是 40,b 的值是 50; (2)购买 B 种型号吉祥物的数量为(90-x)个. 根据题意,得 x≥ 4 3 (90-x), x≤2(90-x), { 解得 360 7 ≤x≤60. 根据题意得 y= (40-35)x+(50-42)(90-x)= -3x+720, ∵ -3<0, ∴ y 随 x 的增大而减小, ∵ 360 7 ≤x≤60 且 x 为正整数, ∴ 当 x= 52 时,y 的值最大,y最大 = -3×52+720 = 564, ∴ y 的最大值是 564. 9. 解:(1)6;【解法提示】设老师有 m 名,学生有 n 名,根据题 意,得 38m+6 =n, 40m-6 =n,{ 解得 m= 6, n= 234,{ ∴ 老师有 6 名,学生有 234 名; ∵ 每辆车上至少有 1 名老师,∴ 汽车总数不能大于 6 辆, ∵ 234+6 = 240,∴ 要保证 240 名师生有车坐,汽车总数不 能少于 240 45 (取整数 6)辆,∴ 共需租车 6 辆. (2)y= 400x+280(6-x)= 120x+1 680; (3)∵ 学校在租车总费用 2 300 元的限额内,租用汽车送 师生返校, ∴ 120x+1 680≤2 300, ∴ x≤31 6 ,即 x≤5. ∵ 234+6 = 240, ∴ 要保证 240 名师生有车坐,∴ 45x+30(6-x)≥240, ∴ x≥4,∴ 4≤x≤5,∴ 有两种租车方案: 方案一:租 4 辆甲型客车,2 辆乙型客车; 方案二:租 5 辆甲型客车,1 辆乙型客车; ∵ 120>0,∴ y 随 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 4 时,y 最小,ymin = 120×4+1 680 = 2 160. 答:学校共有两种租车方案,最少费用为 2 160 元. 10. 解:(1)30 件;【解法提示】观察图象得:方案一与方案二 的图象相交于点(30,1 200), ∴ 员工生产 30 件产品时,两种方案付给的报酬一样多. (2)设方案二的函数表达式为 y= kx+b(k≠0,x≥0), 将点(0,600)、点(30,1 200)代入表达式中, 得 30k+b= 1 200, b= 600,{ 解得 k= 20, b= 600,{ 即方案二 y 关于 x 的函数表达式为 y= 20x+600(x≥0); (3)由两方案的图象交点(30,1 200)可知: 若生产件数 x 的取值范围为 0≤x<30,则选择方案二, 若生产件数 x= 30,则选择两个方案都可以, 若生产件数 x 的取值范围为 x>30,则选择方案一. 解题通法 ①当给定 x 值,要比较哪个方案花费更少时,直接将 x 值􀪍􀪍􀪍􀪍 代入解析式􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 y 值大小; ②当给定 y 值,要比较哪个方案量更多时,直接将 y 值代􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 入解析式􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 x 值大小; ③当 x,y 值均未给定,要求解哪个方案更合算 /省钱时, 分别令 y1 = y2,y1 >y2,y1 <y2􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,并计算出 x 的取值范围,再 根据结果选取方案. 11. B 12. 解:(1)设 y 与 x 之间的关系式为 y = kx+b(0≤x≤240), 将(0,80),(150,50)代入, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 参考答案与重难题解析·数学 21　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 得 b= 80, 150k+b= 50,{ 解得 k= - 1 5 , b= 80, { ∴ y 与 x 之间的关系式为 y= - 1 5 x+80(0≤x≤240); (2)令 x= 240,则 y= 32, 32 100 ×100% = 32%, 答:该车的剩余电量占“满电量”的 32%. 13. 解:(1)y= 2. 4x+3. 6,理由如下: 由表中的数据,x 增加 1,y 增加 2. 4, ∴ y 是 x 的一次函数,设 y= kx+b(k≠0), 由题意得 k+b= 6, 2k+b= 8. 4,{ 解得 k= 2. 4, b= 3. 6,{ ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y = 2. 4x+3. 6(x>0 且为整 数); (2)设碗的数量有 x 个,则 2. 4x+3. 6≤28. 8, 解得 x≤10. 5, ∴ x 的最大整数解为 10. 答:此时碗的数量最多为 10 个. 14. 解:(1)它们在同一条直线上, 设该直线对应的函数解析式为 y= kx+b(k≠0), 将(16. 5,115. 5),(23. 1,148. 5)代入, 得 16. 5k+b= 115. 5, 23. 1k+b= 148. 5,{ 解得 k= 5, b= 33,{ ∴ 这条直线所对应的函数解析式为 y= 5x+33; (2)当 y= 213 mm 时,213 = 5x+33,解得 x= 36, ∴ 当凳面宽度为 213 mm 时,以对称轴为基准向两边各取 相同的长度是 36 mm. 第五节　 反比例函数的图象与性质 1. (1)C;(2)D;(3)< 2. (1)C;(2)m<1;(3)A; (4)m= 5(答案不唯一)　 【解析】∵ 反比例函数 y =m -1 x 的 图象与线段 AB 有交点,且点 A(-3,-3),B(-3,-1),∴ 把 点 B(-3,-1)代入 y=m -1 x 得,m= 4,把点 A(-3,-3)代入 y =m-1 x 得,m = 10,∴ 满足条件的 m 的取值范围是 4≤m≤ 10 的整数,故 m 可取 5(答案不唯一) . 解题通法 求反比例函数与线段有一个交点时 k 的取值范围,只需 将线段两个端点的坐标代入反比例函数解析式求出对 应的 k 值即可. 3. 0　 【解析】∵ 函数 y = k x (k≠0)的图象经过点(3,y1 )和 (-3,y2 ),∴ y1 = k 3 ,y2 = - k 3 ,∴ y1 +y2 = 0. 4. (1)y= - 6 x ; (2)-1;　 【解析】∵ 点 A( -2,1),B(3,2),C( -6,m)分别 在三个不同的象限,点 A(-2,1)在第二象限,∴ 点 C( -6, m)一定在第三象限,∵ 点 B(3,2)在第一象限,反比例函 数 y= k x (k≠0)的图象经过其中两点,∴ 反比例函数 y = k x (k≠0)的图象经过点 B(3,2),C(-6,m),∴ 3×2= -6m,∴ m= -1. (3)5;(4)-4; (5)3;　 【解析】∵ OB= 4,BC = 3,∴ 点 C 的坐标为(4,3), ∵ 点 A 是矩形 OBCD 的对称中心,∴ 点 A 的坐标为( 2, 3 2 ),∴ k= 2× 3 2 = 3. (6)- 9 2 　 【解析】如解图,过点 P 作 PB⊥x 轴于点 B,过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,∴ PB∥AC,∴ △ACO∽△PBO,∴ AC PB =OC OB = OA OP , ∵ AP = 2OP, ∴ OA = 3OP, ∵ 点 P 的坐标为 (- 1 2 ,1),∴ PB= 1,OB = 1 2 ,∴ AC = 3,OC = 3 2 ,∴ 点 A 的 坐标为(- 3 2 ,3),∴ k= - 3 2 ×3 = - 9 2 . 第 4 题解图 5. <　 【解析】∵ 点 A(-2,y1 )和点 B(m,y2 )均在反比例函数 y= - 5 x 的图象上,∴ y1 = 5 2 ,y2 = - 5 m ,∵ 0<m<1,∴ y2 <-5, ∴ y1 +y2 < 5 2 -5 = - 5 2 <0. 6. 1 2 　 【解析】∵ 反比例函数 y1 = 2 x ,当 1≤x≤3 时,函数 y1 的最大值是 a,y 随 x 增大而减小,∴ 当 x= 1 时,函数 y1 的 最大值 a= 2,∵ 反比例函数 y2 = - 3 x ,当 1≤x≤3 时,函数 y2 的最大值是 b,y 随 x 增大而增大,∴ 当 x = 3 时,函数 y2 的最大值 b= -1,∴ ab = 2-1 = 1 2 . 7. (2,1)　 【解析】解法一:根据圆和反比例函数的图象都是 中心对称图形得,点 A 与点 B 关于直线 y = x 对称,∴ 设直 线 AB 的解析式为 y= -x+b,将点 A(1,2)代入,得 2 = -1+ b,解得 b= 3,∴ 直线 AB 的解析式为y= -x+3,∵ 点 A(1,2) 在反比例函数图象上,∴ 反比例函数解析式为 y= 2 x ,联立 方程组 y= 2 x , y= -x+3, { 解得 x= 1,y= 2{ (舍去)或 x= 2,y= 1,{ ∴ B(2,1) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12