2.3 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 第三节　 分式方程及其应用 命题点 1 分式方程及其解法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. (2024 济宁)解分式方程 1- 1 3x-1 = - 5 2-6x 时,去分母变形正确的是 ( A ) A. 2-6x+2 = -5 B. 6x-2-2 = -5 C. 2-6x-1 = 5 D. 6x-2+1 = 5 2. (2024 辽宁)方程 5 x+2 = 1 的解为　 x= 3　 . 3. (2023 淄博)已知 x=1 是方程 m 2-x - 1 x-2 =3 的解,那么实数m的值为( B ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 4. 解下列分式方程: (1)(2024 广东省卷) 2 x-3 = 3 x ; 解:去分母得,2x=3(x-3), 解得 x=9, 检验:把 x=9 代入 x(x-3), 得 x(x-3)≠0, ∴原分式方程的解为 x=9. 　 (2)易错 ∙∙ (2024 陕西改编) x+1 x-1 - 4 x2 -1 = 1. 解:方程可变形为x +1 x-1 - 4 (x+1)(x-1) = 1, 方程两边同乘(x+1)(x-1),得 (x+1) 2-4=(x+1)(x-1), 解得 x=1, 检验:当 x=1 时,(x+1)(x-1)= 0, ∴原分式方程无解. 5. (2023 舟山)小丁和小迪分别解方程 x x-2 - x-3 2-x = 1 过程如下: 小丁: 解:去分母,得 x-(x-3)= x-2, 去括号,得 x-x+3 = x-2, 合并同类项,得 3 = x-2, 解得,x= 5, ∴ 原方程的解是 x= 5. 　 小迪: 解:去分母,得 x+(x-3)= 1, 去括号,得 x+x-3 = 1, 合并同类项,得 2x-3 = 1, 解得,x= 2, 经检验, x = 2 是方程的增 根,原方程无解. 你认为小丁和小迪的解法是否正确? 若正确,请在框内打“√”;若错误, 请在框内打“✕”,并写出你的解答过程. 解:✕,✕,正确步骤如下: x x-2 -x-3 2-x =1, 两边同乘(x-2),去分母,得 x+x-3=x-2, 移项,合并同类项,得 x=1, 检验:将 x=1 代入(x-2)中可得 1-2=-1≠0,则 x=1 是分式方程的解, 故原分式方程的解是 x=1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 2 含参分式方程 6. 易错 ∙∙ 　 已知 2 x-1 = m x 是关于 x 的方程. (1)若方程有增根,则 m 的值为　 　 　 　 ,方程的增根为　 　 　 　 ; (2)若方程无解,则 m 的值为　 0 或 2　 . 7. (2024 龙东地区)已知关于 x的分式方程 kx x-3 -2= 3 3-x 无解,则 k的值为 ( A ) A. k= 2 或 k= -1 B. k= -2 C. k= 2 或 k= 1 D. k= -1 8. (2024 四川遂宁模拟)若m 是整数,且关于 x 的方程 3m+1 x2 -1 + m x+1 = 2 x-1 有整数 根,则 m 的值是 ( A ) A. 3 或 5 B. -3 或 5 C. -1 或 3 D. -3 或-5 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 3 分式方程的实际应用 考法 1　 行程问题 9. (2024 新疆)某校九年级学生去距学校 20 km 的科技馆研学,一部分学生 乘甲车先出发,5 min 后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达. 已知乙 车的速度是甲车速度的 1. 2 倍,设甲车的速度为 x km / h,根据题意可列 方程 ( D ) A. 20 1. 2x -20 x = 5 B. 20 x - 20 1. 2x = 5 C. 20 1. 2x -20 x = 1 12 D. 20 x - 20 1. 2x = 1 12 10. (2023 德州)某次列车平均提速 v 千米 /小时,用相同的时间,列车提速前 行驶 s 千米,相同的时间,提速后比提速前多行驶 50 千米,根据以上信 息,下列说法正确的是 ( B ) A. 若设提速后这次列车的平均速度为 x 千米 /小时,则可列方程为 s x =s+50 x-v B. 若设提速后这次列车的平均速度为 x千米/小时,则可列方程为 s x-v =s+50 x C. 若设提速前这次列车的平均速度为 y千米/小时,则可列方程为 s y+v =s+50 y D. 若设提速前这次列车的平均速度为 y 千米 /小时,则可列方程为 s y = 50 y+v 11. (2024 绥化)一艘货轮在静水中的航速为 40 km / h,它以该航速沿江顺流 航行 120 km 所用时间,与以该航速沿江逆流航行 80 km 所用时间相等, 则江水的流速为 ( D ) A. 5 km / h B. 6 km / h C. 7 km / h D. 8 km / h 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 03 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 12. (2024 云南)某旅行社组织游客从 A 地到 B 地的航天科技馆参观,已知 A 地到 B 地的路程为 300 千米,乘坐 C 型车比乘坐 D 型车少用 2 小时,C 型车的平均速度是 D 型车的平均速度的 3 倍,求 D 型车的平均速度. 解:设 D 型车的平均速度是 x 千米 /小时,则 C 型车的平均速度是 3x 千米 /小时, 根据题意,得300 x -300 3x =2, 解得 x=100, 经检验,x=100 是所列分式方程的解,且符合题意. 答:D 型车的平均速度是 100 千米 /小时. 考法 2　 工程、生产问题 13. (2024 河北模拟)如图是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名 同学所列的方程. 甲、乙两个工程队,甲队修路 400 米与乙队 修路 600 米所用的时间相等,乙队每天比 甲队多修 20 米,求甲队每天修路的长度. 嘉嘉:600 y -400 y = 20 淇淇:400 x = 600 x+20 下列判断正确的是 ( C ) A. 嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B. 淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度 C. 甲队每天修路的长度是 40 米 D. 乙队每天修路的长度是 40 米 14. (2024 达州)甲乙两人各自加工 120 个零件,甲由于个人原因没有和乙同 时进行,乙先加工 30 分钟后,甲开始加工. 甲为了追赶上乙的进度,加 工的速度是乙的 1. 2 倍,最后两人同时完成. 求乙每小时加工零件多少 个? 设乙每小时加工 x 个零件,可列方程为 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 120 1. 2x -120 x = 30 B. 120 x - 120 1. 2x = 30 C. 120 1. 2x -120 x = 30 60 D. 120 x - 120 1. 2x = 30 60 15. (2024 扬州)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进 A、B 两种机器, A 型机器比 B 型机器每天多处理 40 吨垃圾,A 型机器处理 500 吨垃圾 所用天数与 B 型机器处理 300 吨垃圾所用天数相等. B 型机器每天处 理多少吨垃圾? 解:设 B 型机器每天处理 x 吨垃圾,则 A 型机器每天处理(x+40)吨垃圾, 根据题意得: 500 x+40 = 300 x , 解得 x=60, 经检验,x=60 是所列分式方程的解,且符合题意. 答:B 型机器每天处理 60 吨垃圾. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 考法 3　 购买问题 16. (2022 丽水)某校购买了一批篮球和足球. 已知购买足球的数量是篮球的 2 倍,购买足球用了 5 000 元,购买篮球用了 4 000 元,篮球单价比足球 贵 30 元. 根据题意可列方程5 000 2x = 4 000 x -30,则方程中 x 表示 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 17. (2024 临夏州)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子 降价 2 元销售. 细心的小夏发现,降价后用 240 元可以比降价前多购买 10 袋,求:每袋粽子的原价是多少元? 设每袋粽子的原价是 x 元,所得 方程正确的是 ( C ) A. 240 x -240 x+2 = 10 B. 240 x -240 x-2 = 10 C. 240 x-2 -240 x = 10 D. 240 x+2 -240 x = 10 18. (2024 重庆 A 卷节选)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资 金对现有甲、乙两类共 30 条生产线的设备进行更新换代,其中甲类生 产线有 10 条,乙类生产线有 20 条. 经测算,购买更新 1 条甲类生产线的 设备比购买更新 1 条乙类生产线的设备需多投入 5 万元,用 200 万元购 买更新甲类生产线的设备数量和用 180 万元购买更新乙类生产线的设 备数量相同,那么该企业在获得 70 万元的补贴后,还需投入多少资金 更新生产线的设备? 解:设购买更新 1 条乙类生产线的设备需投入 m 万元,则购买更新 1 条甲类生产 线的设备需投入(m+5)万元, 根据题意得: 200 m+5 =180 m , 解得:m=45, ∴10(m+5)+20m-70=10×(45+5)+20×45-70=1 330. 答:还需投入 1 330 万元资金更新生产线的设备. 考法 4　 其他问题 19. (2022 广西北部湾)《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部 画面装裱前是一个长为 2. 4 米,宽为 1. 4 米的矩形,装裱后,整幅图画 宽与长的比是 8 ∶ 13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少 米? 设边衬的宽度为 x 米,根据题意可列方程 ( D ) 第 19 题图 A. 1. 4-x 2. 4-x = 8 13 B. 1. 4+x 2. 4+x = 8 13 C. 1. 4-2x 2. 4-2x = 8 13 D. 1. 4+2x 2. 4+2x = 8 13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 20. (2023 绥化)某运输公司,运送一批货物,甲车每天运送货物总量的 1 4 . 在 甲车运送 1 天货物后,公司增派乙车运送货物,两车又共同运送货物 1 2 天,运完全部货物. 求乙车单独运送这批货物需多少天? 设乙车单独 运送这批货物需 x 天,由题意列方程,正确的是 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 4 + 1 2x = 1 B. 1 4 + 1 2 ( 1 4 + 1 x )= 1 C. 1 4 (1+ 1 2 ) + 1 x = 1 D. 1 4 +( 1 4 + 1 2 ) 1 x = 1 21. 创新考法 (2023 广安)为了降低成本,某出租车公司实施了“油改气”措 施. 如图,y1、y2 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用 y(单位:元)与 行驶路程 S(单位:千米)的关系,已知燃油汽车每千米所需的费用比燃 气汽车每千米所需的费用的 3 倍少 0. 1 元,设燃气汽车每千米所需的 费用为 x 元,则可列方程为 ( D ) 第 21 题图 A. 25 x = 10 3x-0. 1 B. 25 x = 10 3x+0. 1 C. 25 3x+0. 1 = 10 x D. 25 3x-0. 1 = 10 x 22. (2024 威海)某公司为节能环保,安装了一批 A 型节能灯,一年用电 16 000 千瓦 · 时. 后购进一批相同数量的 B 型节能灯,一年用电 9 600 千瓦·时. 一盏 A 型节能灯每年的用电量比一盏 B 型节能灯每年 用电量的 2 倍少 32 千瓦·时. 求一盏 A 型节能灯每年的用电量. 解:设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦·时,则一盏 A 型节能灯每年的用 电量为(2x-32)千瓦·时, 根据题意,得16 000 2x-32 = 9 600 x , 解得 x=96, 经检验,x=96 是所列分式方程的解,且符合题意, ∴2x-32=2×96-32=160. 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦·时. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 综合与实践 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　23. (2024 山东临沂模拟)甲、乙、丙三名工人共同承担装搭一批零件. 已知甲、 乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下: 甲说:我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多 5 h; 乙说:我 3 小时完成的工作量与甲 4 小时完成的工作量相等; 丙说:我工作效率不高,我的工作效率是乙的工作效率的 1 2 ; 丁说:我没参加此项工作,但我可以计算你们的工作效率. 知道工程 问题三者关系是:工作效率×工作时间=工作总量. 如果每小时只安排 1 名工人,那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工 作任务,共需多少小时? 解:设甲单独完成任务需要 x 小时,则乙单独完成任务需要(x-5)小时, 由题意得 4 x = 3 x-5 , 解得 x=20, 经检验 x=20 是原分式方程的根,且符合题意, ∵丙的工作效率是乙的工作效率的 1 2 , ∴丙的工作效率是 1 2 × 1 20-5 = 1 30 , ∴一轮的工作量为 1 20 + 1 20-5 + 1 30 = 3 20 , ∴6 轮后剩余的工作量为 1-18 20 = 1 10 , ∴还需要甲工作 1 小时后,乙需要的工作量为 1 10 - 1 20 = 1 20 , ∴乙还需要工作 1 20 ÷ 1 20-5 = 3 4 (小时),3×6+1+ 3 4 =19 3 4 (小时) . 答:共需 19 3 4 小时. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 订正与反思 参考答案与重难题解析·数学8　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 (k-3)x-k+1 = 0,∴ Δ= [-(k-3)] 2 -4×1×(-k+1)= (k-1)2 +4>0,∴ 关于 x 的方程(k-3)􀱋x= k-1 有两个不相等的实 数根. 11. (1)证明: ∵ a= 1,b= -(m+2),c=m-1, ∴ Δ= b2 -4ac = [-(m+2)] 2 -4×1×(m-1) =m2 +4m+4-4m+4 =m2 +8. ∵ m2 ≥0, ∴ Δ>0, ∴ 无论 m 取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)解:∵ 方程 x2 -(m+ 2) x+m- 1 = 0 的两个实数根为 x1 ,x2 , ∴ x1 +x2 =m+2,x1x2 =m-1. ∵ x21 +x 2 2 -x1x2 = 9,即(x1 +x2 ) 2 -3x1x2 = 9, ∴ (m+2) 2 -3(m-1)= 9. 整理,得 m2 +m-2 = 0. 解得 m1 = -2,m2 = 1. ∴ m 的值为-2 或 1. 12. B 13. 10%　 【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x, 根据题意得 40(1+x) 2 = 48. 4,解得 x1 = 0. 1 = 10%,x2 = -2. 1(不符合题意,舍去),∴ 该公司这两年缴税的年平 均增长率是 10%. 14. (11-2x)(7-2x)= 21 15. 解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB= x m,则边 BC= 70-2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2 -36x+320 = 0,解得 x1 = 16,x2 = 20, 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40, 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32, 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈; (2)不能. 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2 -36x+325 = 0, Δ= (-36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 该一元二次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 16. C 17. B　 【解析】设这个班级的学生总人数是 x,则每一位同学 需发送(x-1)条祝福短信,根据题意得:x(x-1)= 870,整 理得:x2 -x-870 = 0,解得 x1 = 30,x2 = -29(不符合题意,舍 去),∴ 这个班级的学生总人数是 30. 18. 解:(1)∵ AB=AC= 20 cm,∠A= 90°, ∴ BC= 2AB= 20 2 cm,∠B= ∠C= 45°, ∵ 四边形 DEFG 是矩形, ∴ ∠DGF= ∠EFG= 90°, ∴ ∠DGB= ∠EFC= 90°, ∴ △DGB 和△EFC 是等腰直角三角形, ∴ DG=BG=EF=FC, 设 DG 长为 x cm,则 GF 长为(20 2 -2x)cm, 由题意,得 x(20 2 -2x)= 75, 整理,得 2x2 -20 2 x+75 = 0, 解得 x1 = 5 2 2 ,x2 = 15 2 2 , ∴ 20 2 -2x1 = 15 2 ,20 2 -2x2 = 5 2 , ∴ 长方形卡片的长和宽分别为 15 2 cm 和5 2 2 cm 或 15 2 2 cm 和 5 2 cm; (2)根据题意画图如解图, 第 18 题解图 设长方形的长 AF 为 a cm,则宽为(20-a)cm, 由题意,得 a(20-a)= 75, 整理得 a2 -20a+75 = 0,解得 a1 = 15,a2 = 5. 经检验,a1 = 15,a2 = 5 都符合题意. ∴ 长方形卡片的长和宽分别为 15 cm 和 5 cm. 第三节　 分式方程及其应用 1. A 2. x= 3　 【解析】方程两边同乘 x+2,得 5 = x+2,解得x= 3. 经 检验:x= 3 时,x+2≠0,∴ x= 3 是原分式方程的解. 3. B　 【解析】将 x= 1 代入方程 m 2-x - 1 x-2 = 3,得 m 2-1 - 1 1-2 = 3, 解得 m= 2. 4. 解:(1)去分母,得 2x= 3(x-3), 解得 x= 9, 检验:把 x= 9 代入 x(x-3),得 x(x-3)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= 9; (2)方程可变形为x +1 x-1 - 4 (x+1)(x-1) = 1,方程两边同乘(x +1)(x-1),得(x+1) 2 -4 = (x+1)(x-1), 解得 x= 1, 检验:当 x= 1 时,(x+1)(x-1)= 0, ∴ 原分式方程无解. 5. 解:✕,✕,正确步骤如下: x x-2 -x-3 2-x = 1, 两边同乘(x-2),去分母,得 x+x-3 = x-2, 移项,合并同类项,得 x= 1, 检验:将 x= 1 代入(x-2)中可得 1-2 = -1≠0, 则 x= 1 是分式方程的解, 故原分式方程的解是 x= 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·数学 9　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 6. (1)0,0;　 【解析】去分母得,2x=m(x-1),∵ 方程有增根, ∴ x= 0 或 x = 1,当 x = 0 时,m = 0;当 x = 1 时,整式方程无 解,∴ 方程的增根为 x= 0,m 的值为 0; (2)0 或 2　 【解析】∵ 关于 x 的方程 2 x-1 = m x 无解,∴ 整式 方程的解是分式方程的增根或整式方程无解. 2x = m(x- 1),(2-m)x= -m,当整式方程的解是分式方程的增根时, x= 0 或 x= 1,当 x= 0 时,m = 0,当 x = 1 时,整式方程无解, 当整式方程无解时,2-m = 0,∴ m = 2,故分式方程无解时 m 的值为 0 或 2. 7. A　 【解析】∵ kx x-3 -2 = 3 3-x ,∴ kx-2(x-3)= -3,∴ kx-2x+6 = -3,∴ (k-2)x= -9,∴ x= -9 k-2 ,∵ 关于 x 的分式方程 kx x-3 - 2 = 3 3-x 无解,∴ x-3 = 0 或 k-2 = 0,解得 k= -1 或 k= 2. 8. A　 【解析】3m +1 x2 -1 + m x+1 = 2 x-1 ,去分母,得(3m+1) +m(x-1) = 2(x+ 1),化简得(m- 2) x = - 2m+ 1,当 m≠ 2 时,x = -2m+1 m-2 = -2m+4-3 m-2 = - 2- 3 m-2 ,∵ 方程有整数根,∴ - 3 m-2 的值是整数,当 m-2 = 1 时,m = 3,方程的根 x = -2- 3 m-2 = -5;当 m-2 = -1 时,m= 1,方程的根 x= -2- 3 m-2 = 1(增根, 舍去);当 m-2 = 3 时,m= 5,方程的根 x = -2- 3 m-2 = -3;当 m-2 = -3 时,m= -1,方程的根 x = -2- 3 m-2 = -1(增根,舍 去),综上所述,m 的值为 3 或 5. 9. D　 10. B 11. D　 【解析】设江水的流速为 x km / h,则沿江顺流航行的 速度为(40+x)km / h,沿江逆流航行的速度为(40-x) km / h,根据题意,得 120 40+x = 80 40-x ,解得 x= 8,经检验,x = 8 是所 列分式方程的解,且符合题意,∴ 江水的流速为 8 km / h. 12. 解:设 D 型车的平均速度是 x 千米 /小时,则 C 型车的平 均速度是 3x 千米 /小时, 根据题意,得300 x -300 3x = 2, 解得 x= 100, 经检验,x= 100 是所列分式方程的解,且符合题意. 答:D 型车的平均速度是 100 千米 /小时. 13. C　 14. D 15. 解:设 B 型机器每天处理 x 吨垃圾,则 A 型机器每天处理 (x+40)吨垃圾, 根据题意,得 500 x+40 = 300 x , 解得 x= 60, 经检验,x= 60 是所列分式方程的解,且符合题意. 答:B 型机器每天处理 60 吨垃圾. 16. D　 17. C 18. 解:设购买更新 1 条乙类生产线的设备需投入m 万元,则 购买更新 1 条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元, 根据题意得: 200 m+5 = 180 m , 解得:m= 45, 经检验,m= 45 是所列分式方程的解,且符合题意, ∴ 10(m+5)+20m-70 = 10×(45+5)+20×45-70 = 1 330. 答:还需投入 1 330 万元资金更新生产线的设备. 19. D　 20. B　 21. D 22. 解:设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦·时,则一盏 A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时, 根据题意,得16 000 2x-32 = 9 600 x , 解得 x= 96, 经检验,x= 96 是所列分式方程的解,且符合题意, ∴ 2x-32 = 2×96-32 = 160. 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦·时. 23. 解:设甲单独完成任务需要 x 小时,则乙单独完成任务需 要(x-5)小时, 由题意得 4 x = 3 x-5 , 解得 x= 20, 经检验,x= 20 是原分式方程的根,且符合题意, ∵ 丙的工作效率是乙的工作效率的 1 2 , ∴ 丙的工作效率是 1 2 × 1 20-5 = 1 30 , ∴ 一轮的工作量为 1 20 + 1 20-5 + 1 30 = 3 20 , ∴ 6 轮后剩余的工作量为 1- 3 20 ×6 = 1 10 , ∴ 第 7 轮甲工作 1 小时后,乙需要完成的工作量为 1 10 - 1 20 = 1 20 , ∴ 乙还需要工作 1 20 ÷ 1 20-5 = 3 4 (小时), 3×6+1+ 3 4 = 19 3 4 (小时) . 答:共需 19 3 4 小时. 第四节　 一元一次不等式(组)及其应用 1. A 2. B　 【解析】移项,可得 x≤m+ 1,根据题图,不等式的解集 是 x≤3,∴ m+1 = 3,解得 m= 2. 3. A　 【解析】∵ -x>1,∴ x<-1;A. x<-1, x>2{ 无解,故此选项符 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9