2.2 一元二次方程及其应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 第二节　 一元二次方程及其应用 命题点 1 一元二次方程及其解法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　◆基础巩固 1. (2024 深圳)一元二次方程 x2 -3x+a= 0 的一个解为 x= 1,则 a= 　 2　 . 2. 解下列方程: (1)x2 -3x= 0; 解:∵ x2-3x=0, ∴ x(x-3)= 0, ∴ x1 =0,x2 =3; 　 　 　 　 　 　 (2)x2 +x-1 = 0; 解:∵ a=1,b=1,c=-1, ∴ b2-4ac=12-4×1×(-1)= 5>0, ∴ x= -b± b2-4ac 2a =-1± 5 2 , ∴ x1 = -1+ 5 2 ,x2 = -1- 5 2 ; (3)x2 -4x= 4; 解:∵ x2-4x=4, ∴ x2-4x+4=8, ∴ (x-2) 2 =8, ∴ x-2=±2 2 , ∴ x1 =2+2 2 ,x2 =2-2 2 ; (4)(2024 齐齐哈尔)x2 -5x+6 = 0. 解:∵ x2-5x+6=0, ∴ (x-2)(x-3)= 0, 则 x-2=0 或 x-3=0, 解得 x1 =2,x2 =3. ◆能力提升 3. (2024 凉山州)已知 y2 -x= 0,x2 -3y2 +x-3 = 0,则 x 的值为　 3　 . 4. (2024 河北)淇淇在计算正数 a 的平方时,误算成 a 与 2 的积,求得的答案 比正确答案小 1,则 a= ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 B. 2 -1 C. 2 +1 D. 1 或 2 +1 5. 多解法 ∙∙∙ (2023 连云港)若 W= 5x2 -4xy+y2 -2y+8x+3(x、y 为实数),则 W 的 最小值为　 -2　 . 命题点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 6. (2023 滨州)一元二次方程 x2 +3x-2 = 0 根的情况为 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 变式 (2024 自贡)关于 x 的方程 x2 +mx-2 = 0 根的情况是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 -4x+1 = 0. (1)若该方程有两个相等的实数根,则 a 的值为　 　 　 　 ; (2)易错 ∙∙ 若该方程有两个不相等的实数根,则 a的取值范围为　 a<4且 a≠0　 ; (3)若该方程没有实数根,则 a 的取值范围为　 　 　 　 ; (4)易错 ∙∙ 若该方程有实数根,则 a 的取值范围为　 a≤4 且 a≠0　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 8. 若一元二次方程 x2 -4x-2 = 0 的两根分别为 x1,x2,则: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　(1)x1 +x2 = 　 4　 ; (2)x1x2 = 　 -2　 ; (3) 1 x1 + 1 x2 = 　 -2　 ; (4)x21 +x22 = 　 20　 . 9. (2024 绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化 简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1;小冬在化简过 程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2 和-5. 则原来的 方程是 ( B ) A. x2 +6x+5 = 0 B. x2 -7x+10 = 0 C. x2 -5x+2 = 0 D. x2 -6x-10 = 0 10. (2023 内江)对于实数 a,b 定义运算“􀱋”为 a􀱋b = b2 -ab,例如:3􀱋2 = 22 -3×2 = -2,则关于 x 的方程(k-3)􀱋x= k-1 的根的情况,下列说法正确 的是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 11. (2024 遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m+2)x+m-1 = 0. (1)求证:无论 m 取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两个实数根为 x1,x2,且 x21 +x22 -x1x2 = 9,求 m 的值. (1)证明:x2-(m+2)x+m-1=0, 这里 a=1,b=-(m+2),c=m-1, Δ =b2-4ac =[-(m+2)] 2-4×1×(m-1) =m2+4m+4-4m+4 =m2+8. ∵m2≥0, ∴Δ>0, ∴无论 m 取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)解:∵方程 x2-(m+2)x+m-1=0 的两个实数根为 x1,x2, ∴ x1+x2 =m+2,x1x2 =m-1. ∵ x21+x22-x1x2 =9,即(x1+x2) 2-3x1x2 =9, ∴ (m+2) 2-3(m-1)= 9. 整理,得 m2+m-2=0. 解得 m1 =-2,m2 =1. ∴m 的值为-2 或 1. 命题点 3 一元二次方程的实际应用 考法 1　 变化率问题 12. (2024 云南)两年前生产 1 千克甲种药品的成本为 80 元,随着生产技术 的进步,现在生产 1 千克甲种药品的成本为 60 元. 设甲种药品成本的 年平均下降率为 x,根据题意,下列方程正确的是 ( B ) A. 80(1-x2)= 60 B. 80(1-x) 2 = 60 C. 80(1-x)= 60 D. 80(1-2x)= 60 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 13. (2024 重庆 A 卷)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增. 该公 司 2021 年缴税 40 万元,2023 年缴税 48. 4 万元. 该公司这两年缴税的 年平均增长率是　 10%　 . 考法 2　 面积问题 14. (2022 青海)如图,小明同学用一张长 11 cm,宽 7 cm 的矩形纸板制作一 个底面积为 21 cm2 的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个 同样大小的正方形,将四周向上折叠即可(损耗不计) . 设剪去的正方形 边长为 x cm,则可列出关于 x 的方程为　 (11-2x)(7-2x)= 21　 . 第 14 题图 15. (2023 东营)如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙 足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建 在 EF 处,另用其他材料) . (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈? (2)羊圈的面积能达到 650 m2 吗? 如果能,请你给出设计方案;如果不 能,请说明理由. 第 15 题图 解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB=x m, 则边 BC=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2-36x+320=0,解得 x1 =16,x2 =20, 当 x=16 时,72-2x=72-32=40, 当 x=20 时,72-2x=72-40=32, 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围成一个面积 为 640 m2 的羊圈; (2)不能. 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2-36x+325=0,Δ=(-36) 2-4×325=-4<0, ∴该一元二次方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到 650 m2 . 考法 3　 其他问题 16. (2023 衢州)某人患了流感,经过两轮传染后共有 36 人患了流感. 设每一 轮传染中平均每人传染了 x 人,则可得到方程 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x+(1+x)= 36 B. 2(1+x)= 36 C. 1+x+x(1+x)= 36 D. 1+x+x2 = 36 17. (2023 龙东地区)毕业前夕,班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学 发送祝福短信,全班一共发送 870 条,这个班级的学生总人数是 ( B ) A. 40 B. 30 C. 29 D. 39 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 综合与实践 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　18. (2024 浙江杭州模拟)启正中学某节社团课上,老师给每个学生发了一张 腰长为 20 cm 的等腰直角三角形硬卡片(如图①,图②中,AB = AC = 20 cm,∠A= 90°),让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片, 要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上,并且裁 出的长方形卡片的面积为 75 cm2 . (1)方方同学很快完成了自己的设计(如图①),并完成计算,请你求出 他裁出的长方形卡片的长和宽; (2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案,请利用图 ②大致画出草图,并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽. 图① 　 　 　 　 图② 第 18 题图 解:(1)∵AB=AC=20 cm,∠A=90°, ∴BC= 2AB=20 2 cm,∠B=∠C=45°, ∵四边形 DEFG 是矩形,∴∠DGF=∠EFG=90°,∴∠DGB=∠EFC=90°, ∴△DGB 和△EFC 是等腰直角三角形,∴DG=BG=EF=FC, 设 DG 长为 x cm,则 GF 长为(20 2 -2x)cm, 由题意,得 x(20 2 -2x)= 75,整理,得 2x2-20 2 x+75=0, 解得 x1 = 5 2 2 ,x2 = 15 2 2 , ∴20 2 -2x1 =15 2 ,20 2 -2x2 =5 2 , ∴长方形卡片的长和宽分别为 15 2 cm 和5 2 2 cm 或15 2 2 cm 和 5 2 cm; (2)根据题意画图如解图, 设长方形的长 AF 为 a cm,则宽为(20-a)cm, 由题意,得 a(20-a)= 75, 整理,得 a2-20a+75=0,解得 a1 =15,a2 =5. 经检验,a1 =15,a2 =5 都符合题意. ∴长方形卡片的长和宽分别为 15 cm 和 5 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 订正与反思 参考答案与重难题解析·数学 7　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 到 C 站共需 90+60 = 150 分钟,G1002 次列车从 A 站到 C 站共需 35+60+30 = 125 分钟, ∴ 150v1 = 125v2 , ∴ v1 v2 = 5 6 . ②∵ v1 = 4 千米 /分钟, v1 v2 = 5 6 , ∴ v2 = 4. 8 千米 /分钟, ∵ 4×90 = 360(千米), ∴ A 与 B 站之间的路程为 360 千米, ∵ 360÷4. 8 = 75(分钟), ∴ 当 t= 100 时,G1002 次列车经过 B 站, 由题意可知,当 90 ≤ t≤ 110 时, D1001 次列车在 B 站 停车, ∴ G1002 次列车经过 B 站时, D1001 次列车正在 B 站 停车, i. 当 25≤t<90 时,d1 >d2 , ∴ | d1 -d2 | =d1 -d2 , ∴ 4t-4. 8( t-25)= 60, t= 75; ii. 当 90≤t≤100 时,d1 ≥d2 , ∴ | d1 -d2 | =d1 -d2 , ∴ 360-4. 8( t-25)= 60, t= 87. 5,不合题意,舍去; ⅲ. 当 100<t≤110 时,d1 <d2 , ∴ | d1 -d2 | =d2 -d1 , ∴ 4. 8( t-25)-360 = 60, t= 112. 5,不合题意,舍去; ⅳ. 当 110<t≤150 时,d1 <d2 , ∴ | d1 -d2 | =d2 -d1 , ∴ 4. 8( t-25)-[360+4( t-110)] = 60, t= 125; 综上所述,当 t= 75 或 125 时, | d1 -d2 | = 60. 第二节　 一元二次方程及其应用 1. 2　 【解析】将 x= 1 代入原方程可得 1-3+a= 0,解得 a= 2. 2. (1)解:∵ x2 -3x= 0, ∴ x(x-3)= 0. ∴ x1 = 0,x2 = 3; (2)解:∵ a= 1,b= 1,c= -1, ∴ b2 -4ac= 12 -4×1×(-1)= 5>0, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = -1± 5 2 , ∴ x1 = -1+ 5 2 ,x2 = -1- 5 2 ; (3)解:∵ x2 -4x= 4, ∴ x2 -4x+4 = 8, ∴ (x-2) 2 = 8, ∴ x-2 = ±2 2 , ∴ x1 = 2+2 2 ,x2 = 2-2 2 ; (4)解:∵ x2 -5x+6 = 0, ∴ (x-2)(x-3)= 0, 则 x-2 = 0 或 x-3 = 0, 解得 x1 = 2,x2 = 3. 3. 3　 【解析】∵ y2 -x= 0,∴ y2 = x≥0,∵ x2 -3y2 +x-3 = 0,∴ x2 -3x+x-3 = 0,即 x2 -2x-3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1(舍去),即 x 的值为 3. 4. C　 【解析】根据题意得,a2 -2a= 1,解得 a = 1± 2 ,∵ a>0, ∴ a= 2 +1. 5. -2　 【解析】解法一:由题意得 5x2 +(8-4y) x+(y2 -2y+3- W)= 0,∵ x 为实数,∴ (8-4y) 2 -20(y2 -2y+ 3-W) ≥0,即 5W≥(y+3) 2 -10≥-10,∴ W≥-2,∴ W 的最小值为-2. 多解法 解法二:W= 5x2 -4xy+y2 -2y+8x+3 = x2 +4x2 -4xy+y2 -2y+ 8x+3 = 4x2 -4xy+y2 -2y+x2 +8x+3 = (4x2 -4xy+y2)-2y+x2 +8x+3 =(2x-y) 2 -2y+x2 +4x+4x+3 = (2x-y) 2 +4x-2y+x2 +4x+3 =(2x-y) 2 +2(2x-y)+1-1+x2 +4x+4-4+3 = [(2x- y) 2 +2(2x-y)+1]+(x2 +4x+4)-2 = (2x-y+1) 2 +(x+2) 2 -2,∵ x,y 均为实数,∴ (2x-y+1) 2 ≥0,(x+2) 2 ≥0,∴ 原 式 W≥-2,即原式的 W 的最小值为-2. 6. A　 【解析】由题意得,Δ= 32 -4×1×( -2)= 17>0,∴ 方程有 两个不相等的实数根. 【变式】A　 【解析】关于 x 的方程 x2 +mx-2 = 0 中,∵ a= 1, b=m,c= - 2,∴ Δ = m2 + 8 > 0,∴ 方程有两个不相等的实 数根. 7. (1)4　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 -4x+1 = 0 有 两个相等的实数根,∴ Δ= (-4) 2 -4a= 0,解得 a= 4. (2)a<4 且 a≠0　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 - 4x+1 = 0 有两个不相等的实数根,∴ Δ = ( - 4) 2 - 4a> 0,解 得 a<4,又∵ a≠0,∴ a 的取值范围为 a<4 且 a≠0. (3)a>4　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 -4x+1 = 0 没有实数根,∴ Δ= (-4) 2 -4a<0,解得 a>4. (4)a≤4 且 a≠0　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 - 4x+1 = 0 有实数根,∴ Δ= (-4) 2 -4a≥0,解得 a≤4. 又∵ a ≠0,∴ a 的取值范围为 a≤4 且 a≠0. 8. (1)4　 【解析】x1 +x2 = - -4 1 = 4; (2)-2　 【解析】x1x2 = -2 1 = -2; (3)-2　 【解析】 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = 4 -2 = -2; (4) 20　 【解析】 x21 +x 2 2 = x 2 1 +x 2 2 + 2x1x2 - 2x1x2 = ( x1 +x2 ) 2 - 2x1x2 = 4 2 -2×(-2)= 20. 9. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c = 0(a≠0),由题知, - b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b = -7a,c = 10a,∴ 原 来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 10. A　 【解析】∵ (k-3)􀱋x= k-1,∴ x2 -(k-3)x = k-1,∴ x2 - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 参考答案与重难题解析·数学8　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 (k-3)x-k+1 = 0,∴ Δ= [-(k-3)] 2 -4×1×(-k+1)= (k-1)2 +4>0,∴ 关于 x 的方程(k-3)􀱋x= k-1 有两个不相等的实 数根. 11. (1)证明: ∵ a= 1,b= -(m+2),c=m-1, ∴ Δ= b2 -4ac = [-(m+2)] 2 -4×1×(m-1) =m2 +4m+4-4m+4 =m2 +8. ∵ m2 ≥0, ∴ Δ>0, ∴ 无论 m 取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)解:∵ 方程 x2 -(m+ 2) x+m- 1 = 0 的两个实数根为 x1 ,x2 , ∴ x1 +x2 =m+2,x1x2 =m-1. ∵ x21 +x 2 2 -x1x2 = 9,即(x1 +x2 ) 2 -3x1x2 = 9, ∴ (m+2) 2 -3(m-1)= 9. 整理,得 m2 +m-2 = 0. 解得 m1 = -2,m2 = 1. ∴ m 的值为-2 或 1. 12. B 13. 10%　 【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x, 根据题意得 40(1+x) 2 = 48. 4,解得 x1 = 0. 1 = 10%,x2 = -2. 1(不符合题意,舍去),∴ 该公司这两年缴税的年平 均增长率是 10%. 14. (11-2x)(7-2x)= 21 15. 解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB= x m,则边 BC= 70-2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2 -36x+320 = 0,解得 x1 = 16,x2 = 20, 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40, 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32, 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围成一个面积为 640 m2 的羊圈; (2)不能. 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2 -36x+325 = 0, Δ= (-36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 该一元二次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 16. C 17. B　 【解析】设这个班级的学生总人数是 x,则每一位同学 需发送(x-1)条祝福短信,根据题意得:x(x-1)= 870,整 理得:x2 -x-870 = 0,解得 x1 = 30,x2 = -29(不符合题意,舍 去),∴ 这个班级的学生总人数是 30. 18. 解:(1)∵ AB=AC= 20 cm,∠A= 90°, ∴ BC= 2AB= 20 2 cm,∠B= ∠C= 45°, ∵ 四边形 DEFG 是矩形, ∴ ∠DGF= ∠EFG= 90°, ∴ ∠DGB= ∠EFC= 90°, ∴ △DGB 和△EFC 是等腰直角三角形, ∴ DG=BG=EF=FC, 设 DG 长为 x cm,则 GF 长为(20 2 -2x)cm, 由题意,得 x(20 2 -2x)= 75, 整理,得 2x2 -20 2 x+75 = 0, 解得 x1 = 5 2 2 ,x2 = 15 2 2 , ∴ 20 2 -2x1 = 15 2 ,20 2 -2x2 = 5 2 , ∴ 长方形卡片的长和宽分别为 15 2 cm 和5 2 2 cm 或 15 2 2 cm 和 5 2 cm; (2)根据题意画图如解图, 第 18 题解图 设长方形的长 AF 为 a cm,则宽为(20-a)cm, 由题意,得 a(20-a)= 75, 整理得 a2 -20a+75 = 0,解得 a1 = 15,a2 = 5. 经检验,a1 = 15,a2 = 5 都符合题意. ∴ 长方形卡片的长和宽分别为 15 cm 和 5 cm. 第三节　 分式方程及其应用 1. A 2. x= 3　 【解析】方程两边同乘 x+2,得 5 = x+2,解得x= 3. 经 检验:x= 3 时,x+2≠0,∴ x= 3 是原分式方程的解. 3. B　 【解析】将 x= 1 代入方程 m 2-x - 1 x-2 = 3,得 m 2-1 - 1 1-2 = 3, 解得 m= 2. 4. 解:(1)去分母,得 2x= 3(x-3), 解得 x= 9, 检验:把 x= 9 代入 x(x-3),得 x(x-3)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= 9; (2)方程可变形为x +1 x-1 - 4 (x+1)(x-1) = 1,方程两边同乘(x +1)(x-1),得(x+1) 2 -4 = (x+1)(x-1), 解得 x= 1, 检验:当 x= 1 时,(x+1)(x-1)= 0, ∴ 原分式方程无解. 5. 解:✕,✕,正确步骤如下: x x-2 -x-3 2-x = 1, 两边同乘(x-2),去分母,得 x+x-3 = x-2, 移项,合并同类项,得 x= 1, 检验:将 x= 1 代入(x-2)中可得 1-2 = -1≠0, 则 x= 1 是分式方程的解, 故原分式方程的解是 x= 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8