2.1 一次方程(组)及其应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第二章　 方程(组)与不等式(组) 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 第一节　 一次方程(组)及其应用 命题点 1 一次方程(组)及其解法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　◆基础巩固 1. 下列等式变形:①若 a= b,则 a+x= b+x;②若 ac= bc,则 a= b;③若 4a= 3b, 则 4a-3b= 1;④若 a b = 3 4 ,则 4a = 3b;⑤若2x m = 3y m ,则 2x = 3y. 其中一定正 确的是　 ①④⑤　 (填序号) . 2. (2023 永州)关于 x的一元一次方程2x+m=5 的解为 x=1,则m的值为 ( A ) A. 3 B. -3 C. 7 D. -7 3. (2023 衢州)下列各组数满足方程 2x+3y= 8 的是 ( A ) A. x= 1, y= 2{ B. x= 2, y= 1{ C. x= -1, y= 2{ D. x= 2, y= 4{ 4. 解方程: (1)(2024 新疆)2(x-1) -3 = x; 解:2x-2-3=x, 2x-x=2+3, x=5. (2)x +2 5 = 2- x -1 2 . 解:方程两边同乘 10, 得 2(x+2)= 20-5(x-1), 去括号,得 2x+4=20-5x+5, 移项,得 2x+5x=20+5-4, 合并同类项,得 7x=21, 系数化为 1,得 x=3. 5. 解方程组: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (1)(2024 广西) x+2y= 3, x-2y= 1;{ (2) y= x-1①, x+2y= 7②.{ 解: x+2y=3①, x-2y=1②,{ ①+②,得 2x=4,解得 x=2, ①-②,得 4y=2,解得 y= 1 2 , ∴方程组的解为 x=2, y= 1 2 ; ì î í ïï ïï 解:把①代入②,得 x+2(x-1)= 7, 解得 x=3, 把 x=3 代入①,得 y=3-1=2, 故原方程组的解为 x=3, y=2.{ ◆能力提升 6. (2022 雅安)已知 x= 1, y= 2{ 是方程 ax+by = 3 的解,则代数式 2a+ 4b- 5 的值 为　 1　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 7. 易错 ∙∙ 　 (2024 广州)定义新运算:a􀱋b= a2 -b,a≤0, -a+b,a>0.{ 例如:-2􀱋4 = ( -2) 2 - 4 = 0,2􀱋3 = -2+3 = 1. 若 x􀱋1 = - 3 4 ,则 x 的值为　 　 　 　 　 . 8. 真实情境 (2024 福建泉州模拟)已知关于 x,y 的方程组 ax+2y= 1, x-by= 2,{ 小明看 错 a 得到的解为 x= 1, y= -2,{ 小亮看错了 b 得到的解为 x= 1, y= 1,{ 则原方程组正 确的解为　 　 　 　 　 . 命题点 2 一次方程(组)的实际应用 考法 1　 购买分配问题 9. 数学文化 (2024 泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其 内容大致如下:用九百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个,若……, ……,试问买甜果苦果各几个? 若设买甜果 x 个,买苦果 y 个,可列出符 合题意的二元一次方程组: x+y= 1 000, 11 9 x+ 4 7 y= 999. ì î í ï ï ï ï 根据已有信息,题中用“……, ……”表示的缺失的条件应为 ( D ) A. 甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱 10. (2024 龙东地区)国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校 园”的读书活动. 班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳 素笔进行奖励(两种奖品都买) . 其中笔记本每本 3 元,碳素笔每支 2 元,共花费 28 元,则共有几种购买方案 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 11. 数学文化 (2024 长春)《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著,其中 “盈不足术”记载:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问 人数、金价各几何? 译文:今有人合伙买金,每人出 400 钱,剩余 3 400 钱;每 人出 300 钱,剩余 100 钱.问合伙人数和金价各是多少? 请解答这个问题. 解:设合伙人数为 x 人, 由题意得,400x-3 400=300x-100, 解得 x=33, ∴400x-3 400=9 800(钱) . 答:合伙人数为 33,金价为 9 800 钱. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 􀪋 􀪋 02 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 12. (2024 安徽)乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业. 某村有部 分返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植 A,B 两种农作物. 种植这 两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表: 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共 24 位,且每人只参与一种农作物种植,投入资 金共 60 万元,问 A,B 这两种农作物的种植面积各多少公顷? 解:设 A 种农作物的种植面积是 x 公顷,B 种农作物的种植面积是 y 公顷, 根据题意得 4x+3y=24, 8x+9y=60,{ 解得 x=3, y=4.{ 答:A 种农作物的种植面积是 3 公顷,B 种农作物的种植面积是 4 公顷. 考法 2　 工程生产问题 13. (2023 营口)2 台大收割机和 5 台小收割机同时工作 2 小时共收割小麦 3. 6 公顷,3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 5 小时共收割小麦 8 公顷. 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦多少公顷? 设 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷. 根据题 意,可列方程组为 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 2(5x+2y)= 3. 6, 5(2x+3y)= 8{ B. 2(3x+2y)= 8, 5(2x+5y)= 3. 6{ C. 2(2x+5y)= 3. 6, 5(3x+2y)= 8{ D. 2(2x+5y)= 8, 5(3x+2y)= 3. 6{ 14. 数学文化 (2024 烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作. 书 中记载这样一道题:“今有女子不善织,日减功迟. 初日织五尺,末日织 一尺,今三十日织讫. 问织几何?”意思是:现有一个不擅长织布的女子, 织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同,第一天织了五尺布, 最后一天仅织了一尺布,30 天完工,问一共织了多少布? ( C ) A. 45 尺 B. 88 尺 C. 90 尺 D. 98 尺 15. (2024 陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除. 根 据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需 4 h;若爸爸单独完成,需 2 h. 当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸 爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了 3 h,求这 次小峰打扫了多长时间. 解:设这次小峰打扫了 x h,则爸爸打扫了(3-x)h, 根据题意得 x 4 +3-x 2 =1, 解得 x=2. 答:这次小峰打扫了 2 h. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 考法 3　 行程问题 16. (2024 云南昆明模拟)从甲地到乙地有一段上坡与一段平路,如果保持上 坡每小时走 3 km,平路每小时走 4 km. 下坡每小时走 5 km,那么从甲地 到乙地需 54 min,从乙地到甲地需 42 min. 设从甲地到乙地的上坡路程 长 x km,平路路程长 y km,依题意列方程组正确的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x 3 + y 4 = 54, x 5 + y 4 = 42 ì î í ï ï ï ï ïï B. x 3 + y 4 = 42, x 5 + y 4 = 54 ì î í ï ï ï ï ïï C. x 3 + y 4 = 54 60 , x 5 + y 4 = 42 60 ì î í ï ï ï ï ïï D. x 3 + y 4 = 42 60 , x 4 + y 5 = 54 60 ì î í ï ï ï ï ïï 17. 数学文化 (2024 贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中,记载了一道 题,大意是:快马每天行 240 里,慢马每天行 150 里,慢马先行 12 天,则 快马追上慢马需要的天数是　 20　 . 18. (2024 江苏徐州模拟)A、B 两地相距 12 km,甲骑电动车从 A 地出发到 B 地,与此同时,乙骑电动车从 B 地出发到 A 地,两人均保持匀速行驶. 已 知第 10 分钟两人相遇,又经过 4 分钟,甲剩余路程是乙剩余路程的 8 倍. 求甲、乙二人的骑行速度. 解:设甲的骑行速度为 x km / h,乙的骑行速度为 y km / h, 依题意得 10 60 x+10 60 y=12, 12-10 +4 60 x=8(12-10 +4 60 y), ì î í ï ï ï ï 解得 x=24, y=48.{ 答:甲的骑行速度为 24 km / h,乙的骑行速度为 48 km / h. 考法 4　 其他问题 19. (2024 福建)今年我国国民经济开局良好,市场销售稳定增长,社会消费 增长较快,第一季度社会消费品零售总额 120 327 亿元,比去年第一季 度增长 4. 7%,求去年第一季度社会消费品零售总额. 若将去年第一季 度社会消费品零售总额设为 x 亿元,则符合题意的方程是 ( A ) A. (1+4. 7%)x= 120 327 B. (1-4. 7%)x= 120 327 C. x 1+4. 7% = 120 327 D. x 1-4. 7% = 120 327 第 20 题图 20. 学科融合 (2022 西宁)在数学活动课上,兴趣小组的同学用一根质地均匀 的轻质木杆和若干个钩码做实验. 如图所示,在轻质木杆 O 处用一根细 线悬挂,左端 A 处挂一重物,右端 B 处挂钩码,每个钩码质量是 50 g. 若 OA= 20 cm,OB = 40 cm,挂 3 个钩码可使轻质木杆水平位置平衡. 设重 物的质量为 x g,根据题意列方程得 ( A ) A. 20x= 40×50×3 B. 40x= 20×50×3 C. 3×20x= 40×50 D. 3×40x= 20×50 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 21. (2024 赤峰)用 1 块 A 型钢板可制成 3 块 C 型钢板和 4 块 D 型钢板;用 1 块 B 型钢板可制成 5 块 C 型钢板和 2 块 D 型钢板. 现在需要 58 块 C 型 钢板、40 块 D 型钢板,问恰好用 A 型钢板、B 型钢板各多少块? 如果设 用 A 型钢板 x 块,用 B 型钢板 y 块,则可列方程组为 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 3x+2y= 40, 4x+5y= 58{ B. 3x+5y= 40, 4x+2y= 58{ C. 3x+5y= 58, 4x+2y= 40{ D. 3x+4y= 58, 5x+2y= 40{ 22. (2024 北京)为防治污染,保护和改善生态环境,自 2023 年 7 月 1 日起, 我国全面实施汽车国六排放标准 6b 阶段(以下简称“标准” ) . 对某型 号汽车,“标准”要求 A 类物质排放量不超过 35 mg / km,A,B 两类物质 排放量之和不超过 50 mg / km. 已知该型号某汽车的 A,B 两类物质排放量之和原为 92 mg / km. 经过一 次技术改进,该汽车的 A 类物质排放量降低了 50%,B 类物质排放量降 低了 75%,A,B 两类物质排放量之和为 40 mg / km. 判断这次技术改进 后该汽车的 A 类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由. 解:这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准”,理由如下: 设技术改进前该汽车的 A 类物质排放量为 x mg / km,则该汽车的 B 类物质排放 量为(92-x)mg / km,根据题意得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)= 40, 解得 x=68, ∴这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量为(1-50%)x=34 (mg / km), ∵ “标准”要求 A 类物质排放量不超过 35 mg / km, ∴这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准” . 23. (2023 张家界)为拓展学生视野,某中学组织八年级师生开展研学活动, 原计划租用 45 座客车若干辆,但有 15 人没有座位;若租用同样数量的 60 座客车,则多出三辆车,且其余客车恰好坐满. 现有甲、乙两种客车, 它们的载客量和租金如下表所示: 甲型客车 乙型客车 载客量(人 / 辆) 45 60 租金(元 / 辆) 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少? 原计划租用多少辆 45 座 客车? (2)若租用同一种客车,要使每位师生都有座位,应该怎样租用才合算? 解:(1)设参加此次研学活动的师生人数是 x,原计划租用 y 辆 45 座客车. 根据题意,得 45y+15=x, 60(y-3)= x,{ 解得 x=600, y=13.{ 答:参加此次研学活动的师生人数是 600 人,原计划租用 13 辆 45 座客车; (2)租 45 座客车:600÷45≈14(辆),租金为 200×14=2 800(元), 租 60 座客车:600÷60=10(辆),租金为 300×10=3 000(元), ∵2 800<3 000, ∴租用 14 辆 45 座客车才合算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 综合与实践 24. 真实情境 (2024 苏州)某条城际铁路线共有 A,B,C 三个车站,每日上午 均有两班次列车从 A 站驶往 C 站,其中 D1001 次列车从 A 站始发,经 停 B 站后到达 C 站,G1002 次列车从 A 站始发,直达 C 站,两个车次的 列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变. 某校数学学习小组对列 车运行情况进行研究,收集到列车运行信息如下表所示. 列车运行时刻表 车次 A 站 B 站 C 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8:00 9:30 9:50 10:50 G1002 8:25 途经 B 站,不停车 10:30 请根据表格中的信息,解答下列问题: (1)D1001 次列车从 A 站到 B 站行驶了　 90　 分钟,从 B 站到 C 站行驶 了　 60　 分钟; (2)记 D1001 次列车的行驶速度为 v1,离 A 站的路程为 d1;G1002 次列 车的行驶速度为 v2,离 A 站的路程为 d2 . ① v1 v2 = 　 　 　 　 ; ②从上午 8:00 开始计时,时长记为 t 分钟(如:上午 9:15,则 t = 75),已知 v1 = 240 千米 /小时(可换算为 4 千米 / 分钟),在 G1002 次列车的行驶过程中(25≤t≤150),若 | d1 -d2 | = 60,求 t 的值. 解:(1)90,60; (2)① 5 6 ; ②∵ v1 =4 千米 /分钟, v1 v2 = 5 6 ,∴ v2 =4. 8 千米 /分钟, ∵4×90=360(千米),∴A 与 B 站之间的路程为 360 千米, ∵360÷4. 8=75(分钟),∴当 t=100 时,G1002 次列车经过 B 站, 由题意可知,当 90≤t≤110 时,D1001 次列车在 B 站停车, ∴G1002 次列车经过 B 站时,D1001 次列车正在 B 站停车, i. 当 25≤t<90 时,d1>d2,∴ | d1-d2 | =d1-d2,∴4t-4. 8( t-25)= 60,t=75; ⅱ. 当 90≤t≤100 时,d1≥d2,∴ | d1-d2 | =d1-d2,∴360-4. 8( t-25)= 60,t= 87. 5, 不合题意,舍去; ⅲ. 当 100<t≤110 时,d1<d2,∴ | d1-d2 | =d2-d1,∴4. 8( t-25)-360=60,t=112. 5, 不合题意,舍去; ⅳ. 当 110<t≤150 时,d1<d2,∴ | d1-d2 | =d2-d1, ∴4. 8( t-25)-[360+4( t-110)] =60,t=125; 综上所述,当 t=75 或 125 时, | d1-d2 | = 60. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 订正与反思 参考答案与重难题解析·数学 5　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 = x-y xy · xy x2 -y2 = x-y xy · xy (x+y)(x-y) = 1 x+y , ∵ x= 2-y, ∴ x+y= 2, ∴ 原式= 1 x+y = 1 2 . 9. 解:原式= (a -3) 2 a-2 ÷4-a 2 +5 2-a = (a-3) 2 a-2 · 2 -a (3-a)(3+a) = (a-3) 2 a-2 · a -2 (a-3)(a+3) =a-3 a+3 , ∵ a -1 2 ≤1, 解得 a≤3, ∵ a 是使不等式a -1 2 ≤1 成立的正整数,且 a-2≠0,a-3≠ 0,即 a≠2 且 a≠3, ∴ a= 1, ∴ 原式= 1 -3 1+3 = - 1 2 . 10. 解:原式= [ a (a+b)(a-b) - 1 a+b ]·a(a-b) = a (a+b)(a-b) ·a(a-b)- a(a -b) a+b = a 2 a+b -a 2 -ab a+b = ab a+b , ∵ a,b 是方程 x2 +x-6 = 0 的两个根, ∴ a+b= -1,ab= -6, ∴ 原式= ab a+b = -6 -1 = 6. 11. 解:(1)①③④⑤;【解法提示】x +1 x = x x + 1 x = 1+ 1 x ; x+3 x+1 = x+1+2 x+1 = x+1 x+1 + 2 x+1 = 1+ 2 x+1 ; y2 +1 y2 = y 2 y2 + 1 y2 = 1+ 1 y2 ; y2 +6y+1 y+3 = (y+3) 2 -9+1 y+3 = (y+3) 2 y+3 + -8 y+3 = y+3+ -8 y+3 , 所以 x+1 x ,x +3 x+1 ,y 2 +1 y2 ,y 2 +6y+1 y+3 都是“和谐分式”; (2 ) a - 1 + 4 a-1 ; 【解法提示】 a 2 -2a+5 a-1 = (a-1) 2 +4 a-1 = (a-1) 2 a-1 + 4 a-1 =a-1+ 4 a-1 . (3)原式= 2x 2 +1 x+1 -x-1 x · x(x -1) (x+1)(x-1) = 2x 2 +1 x+1 -x-1 x+1 = 2x 2 +1-(x-1) x+1 = 2x 2 -x+2 x+1 = (x+1)(2x-3)+5 (x+1) = 2x-3+ 5 x+1 , ∵ x 为整数, 5 x+1 为整数, ∴ x+1 = ±1 或 x+1 = ±5, ∵ x+1≠0 且 x≠0 且 x-1≠0, ∴ x= -2 或 x= 4 或 x= -6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 第一节　 一次方程(组)及其应用 1. ①④⑤　 【解析】①若 a = b,则 a+x = b+x,变形正确;②若 ac= bc(c≠0),则 a= b,原变形不正确;③若 4a= 3b,则 4a- 3b= 0,原变形不正确;④若 a b = 3 4 ,则 4a = 3b,变形正确; ⑤若2x m = 3y m ,则 2x= 3y,变形正确. 2. A　 【解析】∵ x= 1 是关于 x 的一元一次方程 2x+m = 5 的 解,∴ 2×1+m= 5,∴ m= 3. 3. A　 【解析】A. 当 x= 1,y= 2 时,方程左边= 2×1+3×2 = 8,方 程右边 = 8,∴ 方程左边 = 方程右边,选项 A 符合题意; B. 当 x= 2,y= 1 时,方程左边= 2×2+3×1 = 7,方程右边= 8, 7≠8,∴ 方程左边≠方程右边,选项 B 不符合题意;C. 当 x = -1,y= 2 时,方程左边= 2×( -1) +3×2 = 4,方程右边 = 8, 4≠8,∴ 方程左边≠方程右边,选项 C 不符合题意;D. 当 x = 2,y= 4 时,方程左边= 2×2+3×4 = 16,方程右边 = 8,16≠ 8,∴ 方程左边≠方程右边,选项 D 不符合题意. 4. (1)解:2x-2-3 = x, 2x-x= 2+3, x= 5. (2)解:方程两边同乘 10,得 2(x+2)= 20-5(x-1), 去括号,得 2x+4 = 20-5x+5, 移项,得 2x+5x= 20+5-4, 合并同类项,得 7x= 21, 系数化为 1,得 x= 3. 5. (1)解: x+2y= 3①, x-2y= 1②,{ ①+②,得 2x= 4,解得 x= 2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 参考答案与重难题解析·数学6　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 ①-②,得 4y= 2,解得 y= 1 2 , ∴ 方程组的解为 x= 2, y= 1 2 ;{ (2)解:把①代入②,得 x+2(x-1)= 7, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入①,得 y= 3-1 = 2, 故原方程组的解为 x= 3, y= 2.{ 6. 1　 【解析】把 x= 1, y= 2{ 代入 ax+by = 3 得 a+2b = 3,则原式 = 2(a+2b)-5 = 2×3-5 = 6-5 = 1. 7. - 1 2 或 7 4 　 【解析】∵ x􀱋1 = - 3 4 ,∴ 当 x≤0 时,x2 - 1 = - 3 4 ,解得 x= - 1 2 或 x = 1 2 (不合题意,舍去);当 x> 0 时, -x+1 = - 3 4 ,解得 x= 7 4 ;由上可得,x 的值为- 1 2 或 7 4 . 避坑神招 x 的符号不确定,根据新定义要分为 x≤0 和 x>0 两种情 况进行讨论. 8. x= 3, y= 2{ 　 【解析】∵ 在解方程组 ax+2y= 1, x-by= 2{ 时,小明看错了 a,解得 x= 1, y= -2,{ ∴ 1+2b= 2,解得 b= 1 2 ,∵ 小亮看错了 b,解 得 x= 1, y= 1,{ ∴ a + 2 = 1, 解 得 a = - 1, ∴ 原 方 程 组 为 -x+2y= 1①, x- 1 2 y= 2②,{ 由①得:x = 2y- 1③,把③代入②得 2y- 1- 1 2 y= 2,解得 y= 2,将 y= 2 代入③得 x= 2×2-1 = 3,∴ 方程 组的解为 x= 3, y= 2.{ 9. D 10. B　 【解析】设购买笔记本 x 本,碳素笔 y 支,根据题意得 3x+ 2y = 28, ∴ y = 14 - 3 2 x, 又 ∵ x, y 均为正整数, ∴ x= 2, y= 11{ 或 x=4, y=8{ 或 x=6, y=5{ 或 x=8, y=2,{ ∴ 共有 4 种购买方案. 11. 解:设合伙人数为 x 人, 由题意得,400x-3 400 = 300x-100, 解得 x= 33, ∴ 400x-3 400 = 9 800(钱) . 答:合伙人数为 33,金价为 9 800 钱. 12. 解:设 A 种农作物的种植面积是 x 公顷,B 种农作物的种 植面积是 y 公顷, 根据题意得 4x+3y= 24, 8x+9y= 60,{ 解得 x= 3, y= 4.{ 答:A 种农作物的种植面积是 3 公顷,B 种农作物的种植 面积是 4 公顷. 13. C 14. C　 【解析】设每天减少 x 尺布,∵ 第一天织了五尺布,最 后一天仅织了一尺布,30 天完工,∴ 5- 29x = 1,解得 x = 4 29 ,∴ 5+5- 4 29 +5- 8 29 +…+1 = (5 +1)×30 2 = 90(尺) . 15. 解:设这次小峰打扫了 x h,则爸爸打扫了(3-x)h, 根据题意得 x 4 +3-x 2 = 1, 解得 x= 2. 答:这次小峰打扫了 2 h. 16. C 17. 20　 【解析】设快马追上慢马需要的天数是 x,根据题意 得 240x= 150(12+x),解得 x = 20,∴ 快马需要 20 天追上 慢马. 18. 解:设甲的骑行速度为 x km / h,乙的骑行速度为y km / h, 依题意得 10 60 x+ 10 60 y= 12, 12- 10+4 60 x= 8(12- 10+4 60 y), ì î í ï ï ï ï 解得 x= 24, y= 48.{ 答:甲的骑行速度为 24 km / h,乙的骑行速度为48 km / h. 19. A　 20. A　 21. C 22. 解:这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标 准”,理由如下: 设技术改进前该汽车的 A 类物质排放量为 x mg / km,则 该汽车的 B 类物质排放量为(92-x)mg / km, 根据题意得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)= 40, 解得 x= 68, ∴ 这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量为 ( 1 - 50%)x= 34 (mg / km), ∵ “标准”要求 A 类物质排放量不超过 35 mg / km, ∴ 这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标 准” . 23. 解:(1)设参加此次研学活动的师生人数是 x,原计划租 用 y 辆 45 座客车. 根据题意,得 45y+15 = x, 60(y-3)= x,{ 解得 x= 600, y= 13.{ 答:参加此次研学活动的师生人数是 600 人,原计划租用 13 辆 45 座客车; (2)租 45 座客车:600÷45≈14(辆), 租金为 200×14 = 2 800(元); 租 60 座客车:600÷60 = 10(辆), 租金为 300×10 = 3 000(元), ∵ 2 800<3 000, ∴ 租用 14 辆 45 座客车合算. 24. 解:(1)90,60; (2)① 5 6 ;【解法提示】根据题意得:D1001 次列车从 A 站 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 参考答案与重难题解析·数学 7　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 到 C 站共需 90+60 = 150 分钟,G1002 次列车从 A 站到 C 站共需 35+60+30 = 125 分钟, ∴ 150v1 = 125v2 , ∴ v1 v2 = 5 6 . ②∵ v1 = 4 千米 /分钟, v1 v2 = 5 6 , ∴ v2 = 4. 8 千米 /分钟, ∵ 4×90 = 360(千米), ∴ A 与 B 站之间的路程为 360 千米, ∵ 360÷4. 8 = 75(分钟), ∴ 当 t= 100 时,G1002 次列车经过 B 站, 由题意可知,当 90 ≤ t≤ 110 时, D1001 次列车在 B 站 停车, ∴ G1002 次列车经过 B 站时, D1001 次列车正在 B 站 停车, i. 当 25≤t<90 时,d1 >d2 , ∴ | d1 -d2 | =d1 -d2 , ∴ 4t-4. 8( t-25)= 60, t= 75; ii. 当 90≤t≤100 时,d1 ≥d2 , ∴ | d1 -d2 | =d1 -d2 , ∴ 360-4. 8( t-25)= 60, t= 87. 5,不合题意,舍去; ⅲ. 当 100<t≤110 时,d1 <d2 , ∴ | d1 -d2 | =d2 -d1 , ∴ 4. 8( t-25)-360 = 60, t= 112. 5,不合题意,舍去; ⅳ. 当 110<t≤150 时,d1 <d2 , ∴ | d1 -d2 | =d2 -d1 , ∴ 4. 8( t-25)-[360+4( t-110)] = 60, t= 125; 综上所述,当 t= 75 或 125 时, | d1 -d2 | = 60. 第二节　 一元二次方程及其应用 1. 2　 【解析】将 x= 1 代入原方程可得 1-3+a= 0,解得 a= 2. 2. (1)解:∵ x2 -3x= 0, ∴ x(x-3)= 0. ∴ x1 = 0,x2 = 3; (2)解:∵ a= 1,b= 1,c= -1, ∴ b2 -4ac= 12 -4×1×(-1)= 5>0, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = -1± 5 2 , ∴ x1 = -1+ 5 2 ,x2 = -1- 5 2 ; (3)解:∵ x2 -4x= 4, ∴ x2 -4x+4 = 8, ∴ (x-2) 2 = 8, ∴ x-2 = ±2 2 , ∴ x1 = 2+2 2 ,x2 = 2-2 2 ; (4)解:∵ x2 -5x+6 = 0, ∴ (x-2)(x-3)= 0, 则 x-2 = 0 或 x-3 = 0, 解得 x1 = 2,x2 = 3. 3. 3　 【解析】∵ y2 -x= 0,∴ y2 = x≥0,∵ x2 -3y2 +x-3 = 0,∴ x2 -3x+x-3 = 0,即 x2 -2x-3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1(舍去),即 x 的值为 3. 4. C　 【解析】根据题意得,a2 -2a= 1,解得 a = 1± 2 ,∵ a>0, ∴ a= 2 +1. 5. -2　 【解析】解法一:由题意得 5x2 +(8-4y) x+(y2 -2y+3- W)= 0,∵ x 为实数,∴ (8-4y) 2 -20(y2 -2y+ 3-W) ≥0,即 5W≥(y+3) 2 -10≥-10,∴ W≥-2,∴ W 的最小值为-2. 多解法 解法二:W= 5x2 -4xy+y2 -2y+8x+3 = x2 +4x2 -4xy+y2 -2y+ 8x+3 = 4x2 -4xy+y2 -2y+x2 +8x+3 = (4x2 -4xy+y2)-2y+x2 +8x+3 =(2x-y) 2 -2y+x2 +4x+4x+3 = (2x-y) 2 +4x-2y+x2 +4x+3 =(2x-y) 2 +2(2x-y)+1-1+x2 +4x+4-4+3 = [(2x- y) 2 +2(2x-y)+1]+(x2 +4x+4)-2 = (2x-y+1) 2 +(x+2) 2 -2,∵ x,y 均为实数,∴ (2x-y+1) 2 ≥0,(x+2) 2 ≥0,∴ 原 式 W≥-2,即原式的 W 的最小值为-2. 6. A　 【解析】由题意得,Δ= 32 -4×1×( -2)= 17>0,∴ 方程有 两个不相等的实数根. 【变式】A　 【解析】关于 x 的方程 x2 +mx-2 = 0 中,∵ a= 1, b=m,c= - 2,∴ Δ = m2 + 8 > 0,∴ 方程有两个不相等的实 数根. 7. (1)4　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 -4x+1 = 0 有 两个相等的实数根,∴ Δ= (-4) 2 -4a= 0,解得 a= 4. (2)a<4 且 a≠0　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 - 4x+1 = 0 有两个不相等的实数根,∴ Δ = ( - 4) 2 - 4a> 0,解 得 a<4,又∵ a≠0,∴ a 的取值范围为 a<4 且 a≠0. (3)a>4　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 -4x+1 = 0 没有实数根,∴ Δ= (-4) 2 -4a<0,解得 a>4. (4)a≤4 且 a≠0　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 - 4x+1 = 0 有实数根,∴ Δ= (-4) 2 -4a≥0,解得 a≤4. 又∵ a ≠0,∴ a 的取值范围为 a≤4 且 a≠0. 8. (1)4　 【解析】x1 +x2 = - -4 1 = 4; (2)-2　 【解析】x1x2 = -2 1 = -2; (3)-2　 【解析】 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = 4 -2 = -2; (4) 20　 【解析】 x21 +x 2 2 = x 2 1 +x 2 2 + 2x1x2 - 2x1x2 = ( x1 +x2 ) 2 - 2x1x2 = 4 2 -2×(-2)= 20. 9. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c = 0(a≠0),由题知, - b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b = -7a,c = 10a,∴ 原 来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 10. A　 【解析】∵ (k-3)􀱋x= k-1,∴ x2 -(k-3)x = k-1,∴ x2 - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7