1.5 分式-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

参考答案与重难题解析·数学4　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 ∴ S1 -S2 = (a-1) 2 >0, ∴ S1 >S2 . 19. 1(或 8)　 【解析】两个中心圆圈分别有 6 根连线,数字 1 至 8,共有 8 个数字,若 2,3,4,5,6,7,其中任何一个数字 填在中心位置,那么与其相邻的 2 个数字均不能出现在 与中心圆圈相连的 6 个圆圈中,故只剩下 5 个数字可选, 不满足 6 个空的圆圈需要填入,∴ 位于两个中心圆圈的 数字 a,b,只可能是 1 或 8. 20. D　 【解析】设一个三位数与一个两位数分别为 100x+10y +z 和 10m+n,如解图①, 则由题意得:mz= 20,nz = 5,ny = 2,nx=a,∴ mz nz = 4,即 m= 4n,∴ 当 n= 2,y= 1 时,z= 2. 5 不 是正整数,不符合题意,故舍去;当 n = 1,y = 2 时,则 m = 4,z= 5,x=a,如解图②,∴ A. “20”左边的数是 2×4 = 8,故 本选项不符合题意;B. “20”右边的“ ”表示 4,故本选项 不符合题意;∴ a 上面的数应为 4a,如解图③,∴ 运算结 果可以表示为:1 000(4a+1) +100a+25 = 4 100a+ 1 025, ∴ D 选项符合题意,当 a= 2 时,计算的结果大于 6 000,故 C 选项不符合题意. 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 20 题解图 21. 3 456;6 273　 【解析】∵ abcd 是一个“友谊数”,∴ a+d=b+c =9,又∵ b-a=c-b=1,∴ b=4,c=5,∴ a=3,d= 6,∴ 这个数为 3 456;∵ M=abcd 是一个“友谊数”,∴ M= 1 000a+100b+10c+ d=1 000a+100b+10(9-b)+9-a= 999a+90b+99,∴ F(M)= M 9 =111a+10b+11,∴ F(M) +ab+cd 13 = 111a+10b+11+10a+b+10c+d 13 = 111a+10b+11+10a+b+10(9-b)+9-a 13 = 120a+b+110 13 = 9a+8+3a +b+6 13 ,∵ F(M) +ab+cd 13 是整数,∴ 9a+ 8+ 3a +b+6 13 是整数,即3a +b+6 13 是整数,∴ 3a+b+6 是 13 的倍数,∵ a, b,c,d 都是不为 0 的正整数,且 a+d= b+c= 9,∴ 1≤a≤8, 1≤b≤8∴ 当 a= 8 时,31≤3a+b+6≤38,此时不满足 3a+b +6 是 13 的倍数,不符合题意;当 a= 7 时,28≤3a+b+6≤ 35,此时不满足 3a+b+6 是 13 的倍数,不符合题意;当 a= 6 时,25≤3a+b+6≤32,此时可以满足3a+b+6 是 13 的倍 数,此时 b= 2,则 d = 3,c = 7,∵ 要使 M 最大,则一定要满 足 a 最大,∴ 满足题意的 M 的最大值即为 6 273. 第五节　 分　 式 1. B　 【解析】分式有: 2 x2 +4 , 1 x ,x +1 x+2 ,整式有: 2 5 x, 1 π ,x2 - 2 3 ,所以分式有 3 个. 2. (1)x≠2;(2)x= ±1;(3)0 3. (1)1;(2)-x-2;(3)-4a 5b ;(4)a;(5)x-1;(6) 1 x+1 ; (7) 1 a-2 ;(8) 1 x+1 4. 解:原式= 1-a -3 a · a(a +1) (a+3)(a-3) = 1-a +1 a+3 =a+3 a+3 -a+1 a+3 = 2 a+3 , 当 a= 4 时,原式= 2 4+3 = 2 7 . 5. A　 【解析】∵ A xy+y2 - y x2 +xy = x-y xy ,∴ A xy+y2 = x-y xy + y x2 +xy ,∴ A y(x+y) = x-y xy + y x(x+y) ,∴ Ax= (x-y) (x+y) +y2 ,∴ Ax = x2 , ∴ A= x. 6. 解:(1)②,③; (2)选择乙同学的解法. 原式= x x+1 ·x 2 -1 x + x x-1 ·x 2 -1 x = x x+1 ·(x +1)(x-1) x + x x-1 ·(x +1)(x-1) x = x-1+x+1 = 2x. 选择甲同学的解法. 原式= [ x(x -1) (x+1)(x-1) + x(x+1) (x-1)(x+1) ]·x 2 -1 x = 2x 2 (x+1)(x-1) ·(x +1)(x-1) x = 2x. 7. 解:原式= x -1-1 x-1 ÷ x-2 (x-1) 2 = x-2 x-1 ·(x -1) 2 x-2 = x-1, ∵ x-1≠0,x-2≠0, ∴ x≠1,x≠2, 当 x= 3 时,原式= 3-1 = 2. 8. 解:原式= ( x xy - y xy )÷( x 2 xy - y 2 xy ) = x-y xy ÷x 2 -y2 xy 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 参考答案与重难题解析·数学 5　 一 轮 章 节 分 层 练 答 案 = x-y xy · xy x2 -y2 = x-y xy · xy (x+y)(x-y) = 1 x+y , ∵ x= 2-y, ∴ x+y= 2, ∴ 原式= 1 x+y = 1 2 . 9. 解:原式= (a -3) 2 a-2 ÷4-a 2 +5 2-a = (a-3) 2 a-2 · 2 -a (3-a)(3+a) = (a-3) 2 a-2 · a -2 (a-3)(a+3) =a-3 a+3 , ∵ a -1 2 ≤1, 解得 a≤3, ∵ a 是使不等式a -1 2 ≤1 成立的正整数,且 a-2≠0,a-3≠ 0,即 a≠2 且 a≠3, ∴ a= 1, ∴ 原式= 1 -3 1+3 = - 1 2 . 10. 解:原式= [ a (a+b)(a-b) - 1 a+b ]·a(a-b) = a (a+b)(a-b) ·a(a-b)- a(a -b) a+b = a 2 a+b -a 2 -ab a+b = ab a+b , ∵ a,b 是方程 x2 +x-6 = 0 的两个根, ∴ a+b= -1,ab= -6, ∴ 原式= ab a+b = -6 -1 = 6. 11. 解:(1)①③④⑤;【解法提示】x +1 x = x x + 1 x = 1+ 1 x ; x+3 x+1 = x+1+2 x+1 = x+1 x+1 + 2 x+1 = 1+ 2 x+1 ; y2 +1 y2 = y 2 y2 + 1 y2 = 1+ 1 y2 ; y2 +6y+1 y+3 = (y+3) 2 -9+1 y+3 = (y+3) 2 y+3 + -8 y+3 = y+3+ -8 y+3 , 所以 x+1 x ,x +3 x+1 ,y 2 +1 y2 ,y 2 +6y+1 y+3 都是“和谐分式”; (2 ) a - 1 + 4 a-1 ; 【解法提示】 a 2 -2a+5 a-1 = (a-1) 2 +4 a-1 = (a-1) 2 a-1 + 4 a-1 =a-1+ 4 a-1 . (3)原式= 2x 2 +1 x+1 -x-1 x · x(x -1) (x+1)(x-1) = 2x 2 +1 x+1 -x-1 x+1 = 2x 2 +1-(x-1) x+1 = 2x 2 -x+2 x+1 = (x+1)(2x-3)+5 (x+1) = 2x-3+ 5 x+1 , ∵ x 为整数, 5 x+1 为整数, ∴ x+1 = ±1 或 x+1 = ±5, ∵ x+1≠0 且 x≠0 且 x-1≠0, ∴ x= -2 或 x= 4 或 x= -6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 第一节　 一次方程(组)及其应用 1. ①④⑤　 【解析】①若 a = b,则 a+x = b+x,变形正确;②若 ac= bc(c≠0),则 a= b,原变形不正确;③若 4a= 3b,则 4a- 3b= 0,原变形不正确;④若 a b = 3 4 ,则 4a = 3b,变形正确; ⑤若2x m = 3y m ,则 2x= 3y,变形正确. 2. A　 【解析】∵ x= 1 是关于 x 的一元一次方程 2x+m = 5 的 解,∴ 2×1+m= 5,∴ m= 3. 3. A　 【解析】A. 当 x= 1,y= 2 时,方程左边= 2×1+3×2 = 8,方 程右边 = 8,∴ 方程左边 = 方程右边,选项 A 符合题意; B. 当 x= 2,y= 1 时,方程左边= 2×2+3×1 = 7,方程右边= 8, 7≠8,∴ 方程左边≠方程右边,选项 B 不符合题意;C. 当 x = -1,y= 2 时,方程左边= 2×( -1) +3×2 = 4,方程右边 = 8, 4≠8,∴ 方程左边≠方程右边,选项 C 不符合题意;D. 当 x = 2,y= 4 时,方程左边= 2×2+3×4 = 16,方程右边 = 8,16≠ 8,∴ 方程左边≠方程右边,选项 D 不符合题意. 4. (1)解:2x-2-3 = x, 2x-x= 2+3, x= 5. (2)解:方程两边同乘 10,得 2(x+2)= 20-5(x-1), 去括号,得 2x+4 = 20-5x+5, 移项,得 2x+5x= 20+5-4, 合并同类项,得 7x= 21, 系数化为 1,得 x= 3. 5. (1)解: x+2y= 3①, x-2y= 1②,{ ①+②,得 2x= 4,解得 x= 2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 一 章 数 与 式 第五节　 分　 式 A 基础分点练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　命题点 1 分式的概念与性质 1. (2022 怀化)代数式 2 5 x, 1 π , 2 x2 +4 ,x2 - 2 3 , 1 x ,x +1 x+2 中,属于分式的有 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2. 按要求填空. (1)分式 1 x-2 有意义时,x 的取值范围是　 x≠2　 ; (2)分式 x +1 | x | -1 无意义时,x 的值是　 x=±1　 ; (3)分式x 2 -x x-1 的值为 0 时,x= 　 0　 . 命题点 2 分式的运算 3. 计算: (1)(2024 广东省卷) a a-3 - 3 a-3 = 　 　 　 ;　 　 　 (2) 4 x-2 + x 2 2-x = 　 --2　 ; (3) -12a2b 15ab2 = 　 　 　 　 ; (4)a 2 -5a a-5 = 　 　 　 　 ; (5)x 2 -1 x+1 = 　 x-1　 ; (6) x+1 x2 +2x+1 = 　 　 　 　 ; (7)a +2 a-2 · a a2 +2a = 　 　 　 　 ; (8)(2024 扬州节选) x-2 x+1 ÷(x-2)= 　 　 　 　 . 4. (2024 盐城)先化简,再求值:1- a-3 a ÷a 2 -9 a2 +a ,其中 a= 4. 解:原式=1-a -3 a · a(a +1) (a+3)(a-3) =1-a +1 a+3 =a+3 a+3 -a+1 a+3 = 2 a+3 , 当 a=4 时,原式= 2 4+3 = 2 7 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 一 章 数 与 式 B 能力提升练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 5. (2024 河北)已知 A为整式,若计算 A xy+y2 - y x2+xy 的结果为 x-y xy ,则 A= ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x B. y C. x+y D. x-y 6. 真实情境 (2023 江西)化简( x x+1 + x x-1 )·x 2-1 x .下面是甲、乙两同学的部分运 算过程: (1)甲同学解法的依据是　 ②　 ,乙同学解法的依据是　 ③　 ;(填序号) ①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法分配律;④乘法交 换律. (2)请选择一种解法,写出完整的解答过程. 解:(1)②,③; (2)选择乙同学的解法. 原式= x x+1 ·x 2-1 x + x x-1 ·x 2-1 x = x x+1 ·(x +1)(x-1) x + x x-1 ·(x +1)(x-1) x =x-1+x+1 =2x. (解法不唯一) 7. 易错 ∙∙ 　 (2024 遂宁)先化简:(1- 1 x-1 ) ÷ x -2 x2 -2x+1 ,再从 1,2,3 中选择一个合 适的数作为 x 的值代入求值. 解:原式=x -1-1 x-1 ÷ x-2 (x-1) 2 =x-2 x-1 ·(x -1) 2 x-2 =x-1, ∵ x-1≠0,x-2≠0, ∴ x≠1,x≠2, 当 x=3 时,原式=3-1=2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 订正与反思 一轮章节分层练·数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 第 一 章 数 与 式 8. (2024 青海)先化简,再求值:( 1 y - 1 x ) ÷( x y - y x ),其中 x= 2- y. 解:原式=( x xy - y xy )÷( x 2 xy - y 2 xy ) =x- y xy ÷x 2- y2 xy =x- y xy · xy x2- y2 =x-y xy · xy (x+y)(x- y) = 1 x+y , ∵ x=2-y,∴ x+y=2, ∴原式= 1 x+y = 1 2 . 9. 易错 ∙∙ 　 (2023 烟台)先化简,再求值: a2 -6a+9 a-2 ÷(a+2+ 5 2-a ),其中 a 是使不 等式 a-1 2 ≤1 成立的正整数. 解:原式=(a -3) 2 a-2 ÷4- a 2+5 2- a =(a-3) 2 a-2 · 2 -a (3- a)(3+a) =(a-3) 2 a-2 · a -2 (a-3)(a+3) =a-3 a+3 , ∵ a -1 2 ≤1,解得 a≤3, ∵ a 是使不等式a -1 2 ≤1 成立的正整数,且 a-2≠0,a-3≠0, ∴ a=1,∴原式=1 -3 1+3 =- 1 2 . 10. (2023 西宁)先化简,再求值:( a a2 -b2 - 1 a+b ) ÷ 1 a2 -ab ,其中 a,b 是方程 x2 +x-6 = 0 的两个根. 解:原式=[ a (a+b)(a-b) - 1 a+b ]·a(a- b) = a (a+b)(a- b) ·a(a-b)- a(a- b) a+b = a 2 a+b - a2- ab a+b = ab a+b , ∵ a,b 是方程 x2+x-6=0 的两个根, ∴ a+b=-1,ab=-6, ∴原式= ab a+b =-6 -1 =6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 订正与反思 一轮章节分层练·数学 第 一 章 数 与 式 C 综合与实践 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　11. (2024 浙江金华模拟)定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为 常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”. 如:x +1 x-1 = x-1+2 x-1 = x-1 x-1 + 2 x-1 = 1+ 2 x-1 ,2x -3 x+1 = 2x+2-5 x+1 = 2x+2 x+1 + -5 x+1 = 2+ -5 x+1 ,则x +1 x-1 和 2x-3 x+1 都是“和谐分式” . (1)下列式子中,属于“和谐分式”的是　 ①③④⑤　 (填序号); ①x +1 x ;②2 +x 2 ;③x +3 x+1 ;④y 2 +1 y2 ;⑤y 2 +6y+1 y+3 . (2)将“和谐分式” a 2 -2a+5 a-1 化成一个整式与一个分子为常数的分式的 和的形式为　 　 　 　 　 　 ; (3)应用:先化简2x 2+1 x+1 - x-1 x ÷ x2-1 x2-x ,并求 x 取何整数时,该式的值为整数. 解:(1)①③④⑤;【解法提示】x +1 x = x x + 1 x =1+ 1 x ; x+3 x+1 =x+1+2 x+1 =x+1 x+1 + 2 x+1 =1+ 2 x+1 ; y2+1 y2 = y 2 y2 + 1 y2 =1+ 1 y2 ; y2+6y+1 y+3 =(y+3) 2-9+1 y+3 =(y+3) 2 y+3 + -8 y+3 =y+3+ -8 y+3 , 所以 x+1 x ,x +3 x+1 ,y 2+1 y2 ,y 2+6y+1 y+3 都是“和谐分式” . (2)a-1+ 4 a-1 ;【解法提示】a 2-2a+5 a-1 =(a-1) 2+4 a-1 =(a-1) 2 a-1 + 4 a-1 =a-1+ 4 a-1 . (3)原式=2x 2+1 x+1 - x-1 x · x(x -1) (x+1)(x-1) =2x 2+1 x+1 -x-1 x+1 =2x 2+1- (x-1) x+1 =2x 2-x+2 x+1 =(x+1)(2x-3)+5 (x+1) =2x-3+ 5 x+1 , ∵ x 为整数, 5 x+1 为整数, ∴ x+1=±1 或 x+1=±5, ∵ x+1≠0 且 x≠0 且 x-1≠0, ∴ x=-2 或 x=4 或 x=-6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 订正与反思