第一单元 4.公因数、公倍数

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 倍数与因数 4. 公因数、公倍数 公因数与最大公因数 一、基础知识讲解 1.公因数和最大公因数的定义 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫做它们的最大公因数。 注意：因为每个数的因数的个数是有限的，所以两个数或者多个数的公因数的个数也是有限 的。 2.求两个数的最大公因数的方法 （1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的那个公因数。 （2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出另一个数的因数，再看哪一个最大。 （3）分解质因数法 （4）短除法 3.两个数是倍数关系时的最大公因数 两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。 （一）公因数与最大公因数 （二）用最大公因数解决实际问题 （三）公倍数与最小公倍数 （四）用最小公倍数解决实际问题 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 二、考法技法提炼 考法：求解两个数的最大公因数 解题方法：求解最大公因数的方法有 4种，其中利用分解质因数的方法，可以比较简单地求 出两个数的最大公因数。 例题：求下面每组数的最大公因数。 15 和 25 21 和 36 【答案】15 和 25 最大公因数是 5。21 和 36 的最大公因数是 3。 【分析】求解最大公因数，就是求两个数的公因数中最大的那个数。 【详解】15=3×5 25=5×5 15 和 25 的最大公因数是 5； 21=3×7 36=2×3×2×3 21 和 36 的最大公因数是 3。 【点睛】可以运用其他的方法检验求解的最大公因数是否正确。 三、易错提示 易错点：误认为两个数的最大公因数一定比这两个数都小。 易错诠释：求两个数的最大公因数时，如果这两个数存在倍数关系，则这两个数的最大公因 数就是较小数。 例题：判断：两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（ ） 【答案】× 【分析】在求两个数的最大公因数时，不要忽略“两个数存在倍数关系”的情况。 【详解】求解的两个数存在倍数关系时，这两个数的最大公因数就是较小数。如 12 和 24 的最大公因数是 12，由此可以看出原题干的说法是错误的。 【点睛】判断时要考虑全面，是否存在特殊情况。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 用最大公因数解决实际问题 一、基础知识讲解 1.利用最大公因数解决实际问题 当所求的量分别与几个量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决问题。 2.解决铺地砖问题 在铺地砖问题中，要求把地面铺满且使用的地砖数量是整数，就是求长和宽的公因数； 要求地砖的边长最大是多少，就是求长和宽的最大公因数。 二、考法技法提炼 考法：运用最大公因数知识解决生活中的实际问题 解题方法：有的实际问题可以转化为求几个数的公因数，如果题目求“最长”“最多”等， 那么就是求这几个数的最大公因数。 例题：有一张长方形纸，长 70 厘米，宽 50 厘米。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有 剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 【答案】剪出的正方形的边长最大是 10 厘米。 【分析】要剪成“同样大小的正方形而没有剩余”，正方形的边长必须既是 70 的因数，又 是 50 的因数。要使正方形的边长最大，就要找 70 和 50 的最大公因数。 【详解】50 的因数有 1，2，5，10，25，50；70 的因数有 1，2，5，7，10，14，35，70。 50 和 70 的最大公因数是 10。 答：剪出的正方形的边长最大是 10 厘米。 【点睛】解题的关键是理解题目中“边长最大是几厘米”，实际是求最大公因数。 三、易错提示 易错点：不能理解题目中给出的信息 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 易错诠释：找出题目中的隐藏信息是解题的关键，抓住题目中给出的关键词，理解题目需要 求什么。题目中的“最大”“最多”等这类关键词，其实就是求最大公因数。 例题：如图示，把这样一块地分成同样大小的正方形蔬菜地，且没有剩余。分成的小正方形 菜地最大的边长是多少米？可以分成多少块？ 【答案】分成的小正方形菜地最大的边长是 4 米。 可以分成 20 块。 【分析】抓住关键词“同样大小的正方形”“没有剩余”“最大的边长”可以得出就是要找 20 和 16 的最大公因数。据此求解。根据第一问求出的最大边长 4 米，看 20 米可以分成几 个 4 米，16 米可以分成几个 4米，两个数相乘即可得出分成的块数。 【详解】20=2×2×5 16=2×2×2×2 20 和 16 的最大公因数是 2×2=4 （20÷4）×（16÷4）=20（块） 答：分成的小正方形菜地最大的边长是 4 米。可以分成 20 块。 【点睛】当所求的量分别与几个量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决问 题。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 公倍数与最小公倍数 一、基础知识讲解 1.公倍数和最小公倍数 （1）概念：几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做这 几个数的最小公倍数。 （2）公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的。 只有最小公倍数，没有最大公倍数。 （3）公倍数的表示法： ①列举法： 4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28…… 6 的倍数有：6，12，18，24，30…… 4和 6的公倍数有：12，24…… 4 和 6 的最小公倍数是 12。 ②集合法： 4 的倍数 6 的倍数 4 和 6 的公倍数 2.求两个数的最小公倍数的方法 列举法、筛选法、分解质因数法、短除法（除数与所得的商连乘所得的积是最小公倍数）。 3.两个数的公倍数和它们的最小公倍数的关系 两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。 二、考法技法提炼 考法：求两个数的最小公倍数 解题方法：可以利用分解质因数求两个数的最小公倍数。 例题：找出下列每组数的最小公倍数。 4，8，16，20， 28，32，…… 6，18，30，42 …… 12，24， 36，…… 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 2 和 4 5 和 6 4 和 9 5 和 10 6 和 7 【答案】2 和 4 的最小公倍数是 4；5和 6的最小公倍数是 30；4和 9的最小公倍数是 36；5 和 10 的最小公倍数是 10；6 和 7 的最小公倍数是 42。 【分析】求两个数的最小公倍数，可以用分解质因数的方法求解。也可用其他的方法检验结 果的正确性。 【详解】2=1×2 4=2×2 2 和 4 的最小公倍数：2×2=4 5=1×5 6=2×3 5 和 6 的最小公倍数：5×2×3=30 4=2×2 9=3×3 4 和 9 的最小公倍数：2×2×3×3=36 5=1×5 10=2×5 5 和 10 的最小公倍数：5×2=10 6=2×3 7=1×7 6 和 7 的最小公倍数：2×3×7=42 【点睛】两个数成倍数关系时，它们的最小公倍数是其中较大的数；两个数只有公因数 1 时，它们的最小公倍数就是这两个数的积。 三、易错提示 易错点：误认为公倍数的个数是有限的 易错诠释：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。 例题：填空：2和 5的公倍数有（ ），最小公倍数是（ ）。 【答案】10，20，30…… 10 【分析】先找出 2 和 5 的倍数，再从中找出公有的倍数，最后从公有的倍数中找出最小的一 个就是最小公倍数。公倍数的个数是无限的，在表示的时候后面要写上“……”。 【详解】个位上是 0 的数为 2 和 5 的公倍数，在表示的时候，后面加上“……”，表示有无 限个。2 和 5 的最小公倍数为 10。 【点睛】两个数的公倍数是无限个，后面要写“……”；两个数的公因数是有限个。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 用最小公倍数解决实际问题 一、基础知识讲解 1.用最小公倍数解决实际问题 当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数的知识解决。 2.利用最小公倍数和最大公因数解决问题的区别 解答有关最大公因数和最小公倍数的应用题时，一般看到“最小”“最短”“至少”这样的 关键词，就是求两个或几个数的最小公倍数；一般看到“最大”“最长”这样的关键词，就 是求两个数或几个数的最大公因数。 二、考法技法提炼 考法：运用最小公倍数的知识解决追及问题 解题方法：解决追及问题时，可以把它转化成求两个数或几个数的最小公倍数问题。 例题：爸爸、妈妈带着小红和弟弟一起跑步。爸爸每跑一圈用时 3 分钟，妈妈每跑一圈用时 4分钟，小红每跑一圈用时 6分钟。 如果爸爸、妈妈从起点同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时爸爸、妈妈分 别跑了多少圈？ 【答案】爸爸、妈妈同时起跑，至少 12 分钟后两人在起点再次相遇，此时爸爸跑了 4圈， 妈妈跑了 3圈。 【分析】求爸爸、妈妈至少在多少分钟后再次在起点相遇，就是求两个人跑一圈所用时间的 最小公倍数。跑的圈数=跑的时长÷每圈用时。据此解答。 【详解】3 和 4 的最小公倍数是 12，所以爸爸、妈妈同时起跑，至少 12 分钟后两人在起点 再次相遇。 爸爸：12÷3=4（圈） 妈妈：12÷4=3（圈） 此时爸爸跑了 4圈，妈妈跑了 3 圈。 【点睛】求“至少多少分钟”可以据此推断出用最小公倍数解决问题。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 三、易错提示 易错点：容易与前面学习过的运用最大公因数解决问题混淆，要注意这两类问题之间的联系。 易错诠释：解答有关最大公因数和最小公倍数的应用题目时，一般看到“最小”“最短”“至 少”这样的关键词，就是求两个或几个数的最小公倍数；一般看到“最大”“最长”这样的 关键词，就是求两个数或几个数的最大公因数。 例题：一种地板砖，长 20 厘米，宽 12 厘米，厚 6 厘米。现在要将这种地板砖堆成正方体， 至少需要多少块这样的地砖？ 【答案】150 块。 【分析】要对成正方体，堆成的长、宽、高就要相等，求至少需要多少块这样的地砖即求 20、12、6的最小公倍数。据此求解。 【详解】20、12、6的最小公倍数是 60。 60×60×60÷（20×12×6）=150（块） 答：至少需要这样的地砖 150 块。 【点睛】明确要堆成的正方体的棱长是地砖的长、宽、高的最小公倍数是解题的关键。 橙 子 学