第一单元 3.合数、质数

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 倍数与因数 3. 合数、质数 质数与合数的认识 一、基础知识讲解 1.质数和合数的定义 质数：在一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。如 2，3，5，7都是质数。 合数：一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。如 4，6， 15，49 都是合数。 2.1 的特殊性 质数只有两个因数，合数有两个以上的因数，因此 1不是质数，也不是合数。判断一个数 是质数还是合数，只要看这个数因数的个数就可以了。 3.自然数的分类 如果按自然数的个数分类，自然数（不包括 0）可以分为三类。 1：只有一个因数。 自然数 质数：只有两个因数 合数：有两个以上的因数 （一）2、5 的倍数特征 （二）奇数与偶数的认识 （三）3 的倍数特征 （四）2、3、5 的倍数特征综合 （五）运算性质（奇数和偶数） 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 二、考法技法提炼 考法 1：找出质数和合数。 解题方法：判断一个数是质数还是合数，关键是看因数的个数。 例题 1：判断下列哪些数是质数，哪些数是合数？ 16 12 19 31 43 91 68 73 质数（ ） 合数（ ） 【答案】19、31、43、73 16、12、91、68 【分析】一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果 除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；据此解答。 【详解】在 16、12、19、31、43、91、68、73 这些数中， 质数：19、31、43、73; 合数：16、12、91、68。 【点睛】本题考查质数与合数的意义及应用。明确质数、合数是以因数的个数来区分的， 质数只有 2个因数，合数至少有 3个因数。 考法 2：利用质数或合数的意义填数。 解题方法：在一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例题 2：两个质数的积是 33，和是 14，它们分别是（ ）和（ ）。 【答案】11 3 【分析】根据质数的含义：除了 1和它本身外没有别的因数的数叫质数；因为：3+11=14， 3×11=33，由此可知：这两个质数是 3和 11；由此解答即可。 【详解】3+11=14，3×11=33，由此可知：两个质数的和是 14，积是 33，这两个质数分别 是 11 和 3。 【点睛】明确质数的含义是解答此题的关键。 例题 3：两个合数的差是 2，和是 18。它们分别是（ ）、（ ）。 【答案】8 10 【分析】已知两数的和为 18，两数的差为 2，较小数=（两数之和-两数之差）÷2，较大 数=和-较小数，据此解答。 【详解】较小数：（18-2）÷2=8 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 较大数：18-8=10 所以，这两个合数分别是 8和 10。 【点睛】灵活运用和差公式求出较小的合数是解答题目的关键。 三、易错提示 易错点 1：误以为一个自然数不是合数就是质数。 易错诠释：自然数按照因数的个数来分，质数、合数和 1。 例题 1：判断：一个自然数不是合数就是质数。（ ） 【答案】× 【分析】一个数只有 1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数。一个数的因数除了 1和 它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数，1既不是质数，又不是合数。据此判断即可。 【详解】由分析可知：1既不是质数也不是合数。原题干说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题考查质数和合数，明确质数和合数的定义是解题的关键。 易错点 2：误以为所有的偶数都是合数。 易错诠释：这种说法忽略了 2，2是偶数，但是 2只有 1和 2两个因数，是质数，因此“所 有的偶数都是合数”这种说法是错误的。 例题 2：判断：所有的偶数都是合数。（ ） 【答案】× 【分析】一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果 除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是 2的倍数的数叫做偶数。 【详解】例如：偶数 2是质数，不是合数。 所以不是所有的偶数都是合数，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查质数与合数、偶数的意义，明确 2是偶数，也是最小的质数。 易错点 3：误以为任何质数加上 1都能成为合数。 易错诠释：这种说法也是忽略了 2，2是质数，但是 2+1=3，2+5=7，2+7=9……这几个数 都是质数，因此这种说法是错误的。 例题 3：判断：任何质数加上 1都能成为合数。（ ） 【答案】× 【分析】2是唯一的偶质数，除 2以外其它的质数都是奇数，奇数+1=偶数，除 2以外的 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 偶数一定是合数，假设这个质数为 2，据此举例说明即可。 【详解】当这个质数为 2时，2+1=3，3 是质数不是合数。 故答案为：× 【点睛】质数不一定都是奇数，熟记 2是唯一的偶质数是解答题目的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 质数与合数的综合应用 一、基础知识讲解 1.质数和合数的特征。 （1）1既不是质数，也不是合数。 （2）质数和合数的个数是无限的。 （3）没有最大的质数和合数。 （4）有最小的质数和合数。 （5）最小的质数是 2，2是唯一的偶质数。 （5）最小的合数是 4。 2.判断一个数是质数还是合数的方法。 判断一个数是质数还是合数，关键是看因数的个数。如果一个数只有 1和它本身两个因数， 那么就是质数（或素数）。如果一个数除了 1和它本身还有别的因数，那么就是合数。 二、考法技法提炼 考法 1：根据质数和合数的特点解决猜数问题。 解题方法：当所分析的问题同时满足两个条件时，先满足其中的一个条件，在这个条件下，再 寻找满足另一个条件的情况。把一个数写成两个质数相加或相乘的形式时，可以先找出这个数 以内的所有质数，再从中找出相加或相乘等于这个数的两个质数。 例题 1：猜一猜。（在括号里填上合适的数） （1） 我们两个的和是 12，我比较小。（ ） 我们两个的积是 35，我比较大。（ ） （2） 我是 100 以内最大的质数。（ ） 我是最小的合数。（ ） （3） 我们两个的差是 2，我比较小。（ ） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 我们两个的和是 18，我比较大。（ ） 【答案】5 7 97 4 8 10 【分析】因为5 7 12+ = ，5 7 35  ，同时 5和 7都是质数，所以第一组的答案是 5和 7； 查 100 以内的质数表可知，最大的质数是 97，最小的合数是 4，所以第二组的答案是 97 和 4； 第三组有两种方法： 方法一：采用和差问题的思路： (18 2) 2 8   。18 8 10  。 方法二：采用列举的方法：和为 18 的两个数分别是 1和 17，2 和 16，3 和 15，…8和 10， 满足这两个数的差是 2的只有 8和 10。 【详解】（1） 我们两个的和是 12，我比较小。（ 5 ） 我们两个的积是 35，我比较大。（ 7 ） （2） 我是 100 以内最大的质数。（ 97 ） 我是最小的合数。（ 4 ） （3） 我们两个的差是 2，我比较小。（ 8 ） 我们两个的和是 18，我比较大。（ 10 ） 【点睛】本题需要我们对质数与合数的概念十分熟悉，且能够结合具体题意，展开合理的 思考，求得答案。 考法 2：根据质数和合数的定义解决相关问题。 解题方法：根据质数和合数的特点，结合题干要求进行分析，要满足题干的所有条件。 例题 2：一个长方形周长是 16 米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平 方米？ 【答案】15 平方米 【分析】因为长方形的周长是 16 厘米，所以长宽=16÷2=8 米，又因为长、宽均为质数，8=5+3， 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 所以长应该是 5米，宽是 3米，再根据长方形的面积公式 S=ab，即可求出面积。 【详解】16÷2=8（米）；8=5+3，所以长应该是 5米，宽是 3米； 长方形的面积是：5×3=15（平方米）。 答：这个长方形的面积是 15 平方米。 【点睛】关键是根据题意将 8分解成两个质数的和，得出符合要求的长和宽，再利用长方形的 面积公式 S=ab 解决问题。 三、易错提示 易错点：运用因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等知识点解决问题时出错。 易错诠释：解答此类题，一不小心就记错搞混各个数的特点从而出错。 例题：猜一猜潘老师日记本的八位数字密码。（A-H 从左到右依次顺序）A是 5的最小倍 数；B是最小的自然数；C是 8的最大因数；D是 10 以内最大质数；E是最小的质数；F是 10 以内最大的合数；G是最小的奇数的 2倍；H是 10 以内最大的偶数。潘老师日记本的八位数字 密码是（ ）。 【答案】50872928 【分析】一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；2的倍数叫做偶数，不是 2的倍数叫做奇 数；一个数的最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身；最小的自然数是 0；最小的奇 数是 1；据此解答。 【详解】A是 5的最小倍数，是 5；B是最小的自然数，是 0；C是 8的最大因数，是 8；D是 10 以内最大质数，是 7；E是最小的质数，是 2；F是 10 以内最大的合数，是 9；G是最小的 奇数的 2倍，是 2；H是 10 以内最大的偶数，是 8。潘老师日记本的八位数字密码是：50872928。 【点睛】掌握因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数的定义以及自然数的认识是解题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 质因数的含义 一、基础知识讲解 1. 质因数的含义 如果一个数的因数是质数，这个因数就是这个数的质因数。 2. 质数和质因数的区别 一个数只有 1 和它本身两个因数，这个数是质数；一个数的因数是质数，这个因数就是这个数的质因数。 注意 1 既不是质数，也不是合数。 二、考法技法提炼 考法：判断一个数的因数中哪些数是质因数 解题方法：熟练掌握因数、质数、质因数的含义是解题的关键。 例题：填空：15 的因数有（ ），其中质因数有（ ）。 【答案】1，3，5，15 3，5 【分析】先列举出 15 的因数有哪些，再根据质数的含义判断出哪些是质数，从而判断出哪些属于质因数。 【详解】1×15=15 3×5=15 15 的因数有 1，3，5，15。其中 1既不是质数，也不是合数，15 是合数，3， 5是质数，所以质因数有 3，5。 【点睛】注意 1 既不是质数也不是合数。 三、易错提示 易错点：混淆质数和质因数，认为质数就是质因数。 易错诠释：质数是一个数只有 1 和它本身两个因数，这个数是质数；质因数是一个数的因数是质数，这个 因数就是这个数的质因数。 例题：判断：质数就是质因数。（ ） 【答案】× 【分析】质数是指一个数，比如说 2 是质数，5是质数…… 质因数虽然也是只一个数，但是它是针对另一个数而说的，比如说 5 是 35 的质因数…… 【详解】质数和质因数是两个不同的概念，不能混为一谈，故原题干的说法是错误的。 【点睛】质因数有两个条件：一是质数，二是另一个数的因数。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 分解质因数 一、基础知识讲解 1.分解质因数的定义 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 如：合数 30 分解成 2×3×5的形式，就是分解质因数。 2.分解质因数的方法 （1）枝状图法 （2）短除法 通常用短除法来分解质因数，短除法是除法的简化，“⌞ ”是短除符号，相当于除法中的除号。 3.分解质因数的书写方法 把要分解的数写在等号的左边，把分解的质数用连乘的形式写在等号的右边。 4.质因数和分解质因数的区别 质因数是一个具体的数，满足两个条件：一是这个数是质数，二是这个数是另一个数的因数。 分解质因数不是一个具体的数，而是把一个合数分解成几个质数相乘的形式的过程。 二、考法技法提炼 考法：用短除法分解质因数 解题方法：用短除法分解质因数，一般从最小的质数开始，直至除到商是质数为止。 例题：用短除法分解质因数 420。 【答案】 420=2×2×3×5×7 【分析】用短除法分解质因数时，一般要用 420 的质因数依次去除，从最小的质数开始除，直到商是质数 为止。 【点睛】用短除法分解质因数，最后不要忘记写出分解结果。 先除以质数 2 再除以质数 3 除到商是质数为止 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 三、易错提示 易错点：分解质因数时，忽略 1 的特殊性以及分解结果书写形式错误 易错诠释：在分解质因数时，注意当商是质数时，要停止继续分解；在书写分解结果时，注意要分解的数 写在等号的左边，把分解的质数用连乘的形式写在等号的右边。 例题：判断：把 15 分解质因数，分解过程如下。（ ） 3×5×1=15 【答案】× 【分析】分解过程中，当商是质数时，就要停止分解；1 不是质数，不能参与分解过程。最后的分解书写形 式也是错误的。 【详解】短除法分解时，第一步除完得到的商是 5，5是质数，不需要再继续分解，故分解过程错误；分解 结果的书写也写反了。正确解答如下： 15=3×5 故原题干错误。 【点睛】分解质因数时，除数和商都不能是 1，因为 1 不是质数。 橙 子 学