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一 倍数与因数
2. 2,3,5 的倍数特征
2、5 的倍数特征
一、基础知识讲解
1.2 的倍数的特征。
个位上是 0,2,4,6,8的数都是 2的倍数。
2.5 的倍数的特征。
个位上是 0或 5的数都是 5的倍数。
3.同时是 2 和 5 的倍数的特征。
个位上是 0的数既是 5的倍数,又是 2的倍数。
二、考法技法提炼
考法 1:找出是 2、5的倍数的数或同时是 2和 5的倍数的数。
解题方法:根据 2、5的倍数以及同时是 2和 5的倍数的特征判断某个数是否符合条件。
例题 1:下面哪些数是 2的倍数?哪些数是 5的倍数?哪些数既是 2的倍数,又是 5的倍
数?你发现了什么?
35 67 99 106 60 75 130 521 280 6018
(一)2、5 的倍数特征
(二)奇数与偶数的认识
(三)3 的倍数特征
(四)2、3、5 的倍数特征综合
(五)运算性质(奇数和偶数)
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2
【答案】见详解。
【分析】2 的倍数特征:个位上的数字是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。5的倍数特征:
个位上的数字是 0或 5的数是 5的倍数。既是 2的倍数又是 5的倍数的特征:个位上的数字是
0的数,既是 2的倍数,又是 5的倍数。
【详解】2的倍数有:106、60、130、280、6018。
5 的倍数有:35、60、75、130、280。
2 的倍数又是 5的倍数有:60、130、280。
发现:既是 2的倍数又是 5的倍数的末尾一定是 0。
【点睛】熟练掌握 2、5的倍数的特征是解决此题的关键。
考法 2:利用 2、5的倍数解决问题。
解题方法:生活中,经常要用到 2、5的倍数的特征解决问题。解决这类问题时,要注意
分析题意,弄懂是求 2的倍数,还是求 5的倍数,或者求同时是 2和 5的倍数。
例题 2:王丽带 40 元去买书,她花的钱数既是 2的倍数,又是 5的倍数,而且花的钱数
超过了带的钱数的一半。王丽买书花了多少钱?
【答案】王丽买书花了 30 元。
【分析】2的倍数特征:个位是 0、2、4、6、8的数。5的倍数特征:个位是 0或 5的数。
2、5的倍数特征:个位是 0的数。先求出 40 元的一半是 20 元,那么花的钱数就在 20~40 元
以内;找出 20~40 内的 5的倍数,再在 5的倍数中找 2的倍数,这样就可以知道王丽买书花
的钱数。
【详解】40÷2=20(元)
大于 20 且小于 40 内 5 的倍数有:25、30、35;
其中是 2的倍数的是:30。
答:王丽买书花了 30 元。
【点睛】掌握 2、5的倍数特征是解题的关键。
三、易错提示
易错点 1:判断 2或 5的倍数时出错。
易错诠释:根据 2和 5的倍数的特征来进行判断,若是有其他条件,还要综合考虑,例如,
我们要写出是 2的倍数的最大的一位数。我们可以先写出是 2的倍数的一位数,然后再找出最
大的一位数“8”。也可以先写出最大的一位数“9”,9不是 2的倍数,仅次于 9的就是 8了。
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3
在做此类题时,应该灵活分析,简便即可。
例题 1:判断:是 2的倍数的最大三位数是 980。( )
【答案】×
【分析】2的倍数特征:个位数是 0、2、4、6或 8;要求一个是 2的倍数的最大三位数,
则每个数位的数字尽可能大,所以百位上最大填 9,十位上最大填 9,个位上要符合 2的倍数
特征,最大只能填 8,所以是 2的倍数的最大三位数是 998。
【详解】是 2的倍数的最大三位数是 998。原题干说法错误。故答案为:×
【点睛】熟练掌握 2的倍数的特征是解决此题的关键。
易错点 2:误以为是 2的倍数的数一定是 5的倍数。
易错诠释:2的倍数的数的特征是:个位上是 0、2、4、6、8的数;5的倍数的数的特征
是:个位上是 0或 5的数都是 5的倍数。只有个位上是 0的数,才同时是 2和 5的倍数。
例题 2:判断:是 2的倍数的数一定是 5的倍数。( )
【答案】×
【分析】2 的倍数的数的特征是:个位上是 0、2、4、6、8的数;5的倍数的数的特征是:
个位上是 0或 5的数都是 5的倍数;据此解答。
【详解】根据分析得,个位上是 0的数,既是 2的倍数也是 5的倍数;
个位上是 2、4、6、8的数是 2的倍数,但却不是 5的倍数;
比如 22、24、26、28 是 2 的倍数,但这些数都不是 5的倍数。所以原题的说法是错误的。
故答案为:×
【点睛】此题主要考查 2、5的倍数的特征。橙
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奇数与偶数的认识
一、基础知识讲解
1.偶数的意义。
在自然数中,是 2的倍数的数叫做偶数。如果 a是自然数,偶数可以用 2a 来表示。0是 2
的倍数,0也是偶数,因此自然数中最小的偶数就是 0。自然数的个数是无限的,偶数的个数
也是无限的,没有最大的偶数。
2.奇数的意义。
在自然数中,不是 2的倍数的数叫做奇(jī)数。如果 a是自然数,奇数可以用 2a+1 来
表示。奇数的个数是无限的,没有最大的奇数,只有最小的奇数,最小的奇数是 1。
3.自然数的分类。
自然数按是不是 2的倍数可以分为奇数和偶数两类,也就是说:一个自然数,它不是奇数,
就是偶数。
二、考法技法提炼
考法 1:判断数的奇偶性。
解题方法:在自然数中,是 2的倍数的数是偶数,不是 2的倍数的数是奇数。
例题:下面哪些数是奇数?哪些数是偶数?
33 98 355 0 123 881 8089 1000 988 565 3678 677
【答案】奇数:33、355、123、881、8089、565、677
偶数:98、0、1000、988、3678
【分析】整数中,是 2的倍数的数叫偶数,不是 2的倍数的数叫奇数。
【详解】奇数有:33、355、123、881、8089、565、677
偶数有:98、0、1000、988、3678
【点睛】本题根据奇数、偶数的定义进行解答。
考法 2:根据奇数和偶数的特点进行计算。
解题方法:根据奇数和偶数的意义,能被 2整除的数是偶数,不能被 2整除的数是奇数。
明确相邻的偶数相差 2,相邻的奇数也相差 2。
例题 2:同学们献爱心捐款,有五名同学共捐了 410 元,他们的捐款数恰好是 5个连续的
偶数,这五名同学各捐了多少钱?
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【答案】78 元;80 元;82 元;84 元;86 元
【分析】根据偶数的意义:在自然数中,是 2的倍数的数叫做偶数,相邻的偶数相差 2,
若五个连续的偶数的和是410,那么五个偶数中间的那个数应是这五个数的平均数,410÷5=82,
所以这五个偶数是 78、80、82、84、86,据此解答。
【详解】五个连续的偶数的和是 410,这五个偶数中间的那个数应是这五个数的平均数,
410÷5=82(元)
所以这五个偶数是 78、80、82、84、86。
答:这 5名同学各捐款 78 元、80 元、82 元、84 元、86 元。
【点睛】本题考查的目的是理解偶数的意义,明确相邻的偶数相差 2,先求出这 5个连续
偶数的平均数(中间的那个数),进而求出其它偶数。
考法 3:利用数的奇偶性解决问题。
解题方法:在两点间行走,走偶数次回到起点,走奇数次则到起点的相对处。生活中的一
些数学问题,一般用列式计算的方法很难解答,如摆渡问题、翻杯子、换座位等问题,这时可
以利用数的奇偶性来解答。
例题 3:有一只青蛙正在一条沟的两岸跳来跳去。
(1)青蛙开始在左岸,跳若干次后仍然回到左岸,那么你知道青蛙跳的次数是奇数还是
偶数呢?
(2)如果青蛙开始在右岸,跳 101 次后,它是在左岸还是在右岸?
【答案】(1)偶数;(2)左岸。
【分析】(1)如果小青蛙又回到了左岸,那么这只小青蛙跳的次数是偶数,因为跳一个
“来回”即跳两次,是偶数,跳若干个“来回”就是若干个偶数相加,所以跳的次数是偶数。
(2)来回共跳 101 次,说明小青蛙跳的次数是单数次,那么小青蛙就应由右岸到了左岸。
【详解】(1)如果小青蛙又回到了左岸,那么这只小青蛙跳的次数是偶数,所以跳的次
数是偶数。
(2)来回共跳 101 次,说明小青蛙游的次数是奇数次,那么小青蛙就应由右岸到了左岸。
【点睛】本题属于奇偶性问题,考查了对奇偶性的判定。
三、易错提示
易错点 1:没有准确掌握奇数、偶数的意义,导致错误。
易错诠释:整数中,是 2的倍数的数叫偶数,不是 2的倍数的数叫奇数。相邻的偶数和奇
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数相差 1,相邻的偶数相差 2,相邻的奇数也相差 2。
例题 1:判断:如果 n是自然数,那么 n+1 一定是奇数。( )
【答案】×
【分析】整数中,是 2的倍数的数叫做偶数,不是 2的倍数的数叫做奇数;举例说明,进
行判断。
【详解】例如:n=1,则 n+1=1+1=2,2 是偶数;n=2,则 n+1=2+1=3,3 是奇数;所以如果 n
是自然数,那么 n+1 可能是偶数,也可能是奇数。原题说法错误。故答案为:×。
【点睛】掌握奇数与偶数的意义以及含有字母式子的求值,把未知数的值代入式子中,求
出得数,再判断是奇数还是偶数。
易错点 2:误以为偶数和奇数相差 1。
易错诠释:整数中,是 2的倍数的数叫偶数,不是 2的倍数的数叫奇数。相邻的偶数和奇
数相差 1,不相邻的偶数和奇数则没有这个规律。
例题 2:判断:偶数和奇数相差 1。( )
【答案】×
【分析】整数中,是 2的倍数的数叫偶数,不是 2的倍数的数叫奇数。相邻的偶数和奇数
相差 1,举例说明即可。
【详解】1是奇数,6是偶数,6和 1相差 5,所以原题说法错误。
故答案为:×
【点睛】关键是理解奇数、偶数的分类标准,注意前提条件“相邻的偶数和奇数”。
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3 的倍数特征
一、基础知识讲解
1.3 的倍数的特征。
一个数各数位上的数字的和是 3的倍数,这个数就是 3的倍数。
2.判断一个数是不是 3 的倍数的步骤。
(1)计算这个数各位上的数的和是多少;(2)如果这个数各位上的数的和是 3的倍数,
那么这个数就是 3的倍数。
3.判断一个数是不是 3 的倍数还可以用“筛选法”来进行。
在各位上的数中先筛去 3的倍数或和为 3的倍数的数,若余下的数的和是 3的倍数,原数
就是 3的倍数,否则就不是。例如:判断 89471 是不是 3的倍数,先筛去 9,剩下 8471,再筛
去相加和为 12 的 8 与 4,余下的是 7和 1。7+1=8,8 不是 3的倍数,则原数也不是 3的倍数。
验证:89471÷3=29823……2。这种方法使各数字相加的和变小,集中目标,快速准确。
二、考法技法提炼
考法 1:找或写出 3的倍数的数。
解题方法:根据 3的倍数的特征进行解答。
例题 1:按要求完成下面各题。
(1)上面用数字卡片摆出的数中哪些是 3的倍数?
(2)在每个数后面增加一张数字卡片,使这个三位数成为 3的倍数。
【答案】(1)24、96。
(2)243、582、471、960(答案不唯一)。
【分析】3的倍数的特征:一个数各个数位上的数字的和是 3的倍数,这个数就是 3的倍
数。
【详解】(1)2+4=6、5+8=13、4+7=11、9+6=15。
3 的倍数有:24、96。
(2)15-13=2、12-11=1。
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24 的后面可以加上 0、3、6、9;58 的后面可以加上 2、5、8;47 的后面可以加上 1、4、
7;96 的后面可以加上 0、3、6、9。
243、582、471、960(答案不唯一)
【点睛】熟练掌握 3的倍数的特征是解题的关键。
考法 2:利用 2、3的倍数或 3、5的倍数特征解决问题。
解题方法:运用 2、3的倍数或 3、5的倍数的特征解决实际问题,可以用分类讨论的思想
方法把各种情况都思考到,综合各种情况得到问题的结果。
例题 2:为促进小学生加强健康锻炼,学校举办了趣味运动会比赛。其中“拍篮球接力”
项目计划按“3人一组”或“5人一组”分组,下表为四、五年级报名人数情况统计。哪个年
级的人数按计划分组后均没有剩余?写出你的思考过程。
年级 五年级 六年级
报名人数 78 人 60 人
【答案】六年级;78 不是 5的倍数,60 既是 3的倍数也是 5的倍数。
【分析】3的倍数的特征:各个数位上的数字的和是 3的倍数,这个数就是 3的倍数。
5的倍数的特征:个位是 0或 5的数是 5的倍数。
【详解】78 是 3 的倍数,不是 5的倍数,如果按“5人一组”分组会有剩余;60 既是 3
的倍数,也是 5的倍数。
答:六年级的人数按计划分组后均没有剩余。
【点睛】关键是掌握 3和 5的倍数的特征。
三、易错提示
易错点 1:误以为个位上是 3、6、9的数都是 3的倍数。
易错诠释:在探索 3的倍数的特征时,要先观察、猜想其特征,然后还要验证其正确性,
要特别注意不要与 2、5的倍数的特征弄混淆。
例题 1:判断:个位上是 3、6、9的数都是 3的倍数。( )
【答案】×
【分析】3的倍数的特征:一个数各位上的数的和是 3的倍数,这个数就是 3的倍数。3
的倍数个位上可以是 0~9中的任意数。只看一个数的个位数字,不能判断这个数是不是 3的
倍数。
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【详解】根据 3的倍数的特征可知:个位上是 3,6,9的数不一定是 3的倍数。比如 13,
16,19 等都不是 3的倍数。所以原题说法错误。
故答案为:×
【点睛】明确 3的倍数的特征是解决此题的关键。
易错点 2:误以为 3的倍数一定都是奇数。
易错诠释:3的倍数的个位上的数字可以是奇数,也可以是偶数,是否是 3的倍数与各位
上的数字之和有关。
例题 2:判断:3的倍数一定都是奇数。( )
【答案】×
【分析】3 的倍数特征:各个数位上的数字之和是 3的倍数,这个数字就是 3的倍数;不
是 2的倍数的数叫做奇数;据此判断即可。
【详解】如:6是 3的倍数,但 6不是奇数,所以原题干说法错误。故答案为:×。
【点睛】本题考查奇数和 3的倍数,明确奇数的定义和 3的倍数特征是解题的关键。
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2、3、5 的倍数特征综合
一、基础知识讲解
1.同时是 2 和 5 的倍数的特征
个位上是 0的数既是 5的倍数,又是 2的倍数。
2.同时是 3 和 5 的倍数的特征
各数位上的数字的和是 3的倍数,且个位上是 0或 5的数既是 3的倍数,又是 3的倍数。
3.同时是 2、3 和 5的倍数的特征
个位上是 0,且各个数位上的数字之和是 3的倍数,同时是 2、3、5的倍数。
二、考法技法提炼
考法 1:根据 2、3、5 的倍数特征填数。
解题方法:根据 2、3、5的倍数来解答。
2的倍数的特征:个位上是 0,2,4,6,8。
5的倍数的特征:个位上是 0或 5。
3的倍数的特征:各个数位上数字的和是 3的倍数。
同时是 2,3,5的倍数的数的特征:这个数的个位上一定是 0,且各个数位上的数字的和
是 3的倍数。
例题 1:在 15、18、25、30、19 中,2的倍数有________,5的倍数有____
____,3的倍数有________,既是 2、5又是 3的倍数有________。
【答案】18、30 15、25、30 15、18、30 30
【分析】根据 2、3、5的倍数特征分析解答;
①个位上是 0、2、4、6、8的数就是 2的倍数;
②个位上是 0或 5的数就是 5的倍数;
③各个数位上的和是 3的倍数,这个数就是 3的倍数;
④个位上是 0,各个数位上的和是 3的倍数,这样的数是 2、5、3的倍数。
【详解】解:在 15、18、25、30、19 中,
2的倍数有:18、30;
5 的倍数有:15、25、30;
3 的倍数有:15、18、30;
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既是 2、5又是 3的倍数有:30。
【点睛】本题主要考查 2、3、5的倍数特征,注意牢固掌握 2、3、5的倍数特征,灵活运
用。
考法 2:利用 2、3、5 的倍数解决问题。
解题方法:生活中,经常要用到 2、3、5的倍数的特征解决问题。解决这类问题时,要注
意分析题意,弄懂是求 2、3的倍数,还是求 3、5的倍数,或者求同时是 2、3、5的倍数。
例题 2:学校五年级共有 200 多人,而且总人数正好同时是 2、5、3的倍数,这个年级总
共可能有多少人?
【答案】这个年级总共可能有 210 人,240 人或 270 人。
【分析】2、5、3的最小公倍数是 30,由题意可知,总人数肯定也是 30 的倍数,这样的
数有 30,60,90,120,150,180,210,240,270,300…,再根据“二百多人”这个条件进
行解答即可。
【详解】2×3×5=30;
2、5、3 的最小公倍数是 30。
30×1=30(人) 30×2=60(人) 30×3=90(人)
30×4=120(人) 30×5=150(人) 30×6=180(人)
30×7=210(人) 30×8=240(人) 30×9=270(人)
……
答:这个年级总共可能有 210 人、240 人或 270 人。
【点睛】明确 2、5、3的最小公倍数是 30,总人数也是 30 的倍数是解答本题的关键。
三、易错提示
易错点:探究同时是 2、3、5的倍数的特征时出错。
易错诠释:2的倍数特征:末尾数字是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数;3的倍数特征:
各个数位上的数字之和是 3的倍数,这个数字就是 3的倍数;5的倍数特征:末尾数字是 0或
5的数是 5的倍数。
例题:填空:一个三位数□2□,同时是 2、3、5的倍数,它的个位必须填( ),百
位上最大填( )。
【答案】0 7
【分析】据此可知,若这个数是 2、5的倍数,则它的个位必须填 0,因为 7+2+0=9,9 是
橙
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3 的倍数,所以百位上最大填 7。
【详解】由分析可知:一个三位数□2□,同时是 2、3、5的倍数,它的个位必须填 0,
百位上最大填 7。
【点睛】本题考查 2、3、5的倍数,明确 2、3、5的倍数特征是解题的关键。
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运算性质(奇数和偶数)
一、基础知识讲解
1.和差的奇偶性
奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数(大减小)。
2.积的奇偶性
奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数。
二、考法技法提炼
考法 1:根据奇偶性的知识进行判断计算结果是奇数还是偶数。
解题方法:1.在判断和与积的奇偶性时,要注意 0也是偶数,也满足上面的规律。
2.和的奇偶性:同偶异奇。(两个加数同为奇或同为偶,则和为偶;两个加数一奇一偶,
则和为奇)
3.积的奇偶性:同奇为奇,有偶则偶。(两个乘数同为奇,则积为奇;两个乘数中有一个
为偶,则积为偶)
例题 1:不计算,直接判断下面的得数是奇数还是偶数。
376+157( ) 912-466( ) 655-639( )
237+465( ) 268+192( ) 612-378( )
157+623-189( ) 426+385+277( )
【答案】奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数
【分析】奇数和偶数的运算性质:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,偶数±奇数=奇
数;加、减综合算式从左往右计算;据此解答。
【详解】根据分析:376+157 是奇数+偶数,得数是奇数;912-466 是偶数-偶数,得数是
偶数;655-639 是奇数-奇数,得数是偶数;
237+465 是奇数+奇数,得数是偶数; 268+192 是偶数+偶数,得数是偶数;612-378 是偶
数-偶数,得数是偶数;
157+623-189 先计算奇数+奇数=偶数,再计算偶数-奇数=奇数,算式得数是奇数;
426+385+277 先计算偶数+奇数=奇数,再计算奇数+奇数=偶数,算式得数是偶数。
【点睛】本题主要考查的是判断得数是奇数还是偶数的方法。
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考法 2:利用奇偶性的知识解决问题。
解题方法:生活中有些数学问题,用一般的列式计算的方法很难解答。如渡河、换座位、
翻茶杯等问题,利用奇数和偶数的性质来解答就比较容易。如果两个数的和是偶数,其中一个
数是奇数或偶数,另一个数也是奇数或偶数。如果两个数的和是奇数,其中一个数是奇数或偶
数,另一个数则是偶数或奇数。如果两个数的积是奇数,那么这两个数都是奇数。如果两个数
的积是偶数,其中一个数是偶数,另一个数则是偶数或奇数。
例题 2:围棋棋盘是纵横各 19 条线交叉形成的,每个交叉点上都可以放棋子,在每个交
叉点上都放上黑色或白色的棋子,如果黑子的颗数是奇数,那么白子的颗数是奇数还是偶数?
【答案】白子的颗数是偶数。
【分析】纵横各 19 条线交叉形成的交叉点的总数是一个奇数,白子颗数等于总数减去黑
子颗数,如果黑子的颗数是奇数,根据奇数-奇数=偶数可以知道,白子的颗数是偶数。
【详解】根据奇数×奇数=奇数可以知道,纵横各 19 条线交叉形成的交叉点的总数是 19
×19=361(个),361 是一个奇数。如果黑子的颗数是奇数,根据奇数-奇数=偶数可以知道,
白子的颗数是偶数。
【点睛】本题考查奇数与偶数的运算性质,解答本题的关键是掌握奇数与偶数的概念。
三、易错提示
易错点 1:误以为相邻两个自然数的积不一定是偶数。
易错诠释:相邻的两个自然数的积一定是偶数,如,3×4=12,6×7=42,0×1=0……这些
数的结果都是偶数。解答这类题时,我们除过根据性质进行判断,也可以用举例法来帮助判断
正误。
例题:判断:相邻两个自然数的积不一定是偶数。( )
【答案】×
【分析】两个相邻的自然数一个是奇数,一个是偶数,因为:奇数×偶数=偶数。所以“两
个相邻的自然数的积一定是偶数”。
【详解】由分析可知:相邻两个自然数的积一定是偶数。原题说法错误。故答案为:×。
【点睛】本题考查奇偶运算,明确相邻的两个数一个是奇数,另一个数偶数是解题的关键。
易错点 2:利用奇偶性解决问题时出错。
易错诠释:利用奇偶性解决问题时,一定要灵活运用数的奇偶性。如:两个加数都是奇数
或两个加数都是偶数,它们的和一定是偶数;两个加数分别是一个奇数和一个偶数,它们的和
橙
子
学
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一定是奇数;奇数个奇数的和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;奇数个奇数连乘的积是奇数;
若干个整数连乘,如果其中有一个是偶数,乘积就是偶数。
例题:判断:有 128 本故事书,五(1)班领走了偶数本故事书,五(2)班领走了奇数本
故事书,书被领完了。( )
【答案】×
【分析】根据奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数,据此解答即可。
【详解】由分析可知:128 是偶数,若五(1)班领走了偶数本故事书,根据偶数+偶数=
偶数,则五(2)班应领走了偶数本故事书。原题干说法错误。
故答案为:×。
【点睛】本题考查奇偶运算,明确奇偶运算性质是解题的关键。
橙
子
学