第一单元 1.倍数、因数

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 倍数与因数 1.倍数、因数 因数和倍数的认识 一、基础知识讲解 1.倍数和因数的意义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数 的因数。用字母表示：在算式 c÷a=b（a、b、c 均是非 0自然数）中，a和 b是 c的因数，c 是 a和 b的倍数。例如，12÷2=6，我们就说 12 是 2 和 6 的倍数，2和 6是 12 的因数。 2.因数和倍数的关系 因数和倍数是两个不同但又相互依存的概念，二者不能单独存在，既不能说谁是倍数，也 不能说谁是因数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 二、考法技法提炼 考法 1：在整数除法算式中找出“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。 解题方法：在整数除法中，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 例题 1：在 48÷8=6 中，（ ）和（ ）是 48 的因数，（ ）是（ ）和（ ） 的倍数。 （一）因数和倍数的认识 （二）找一个数的倍数及倍数的特征 （三）根据倍数的特征解决问题 （四）找一个数的因数及因数的特征 （五）根据因数的特征解决问题 （六）倍数和因数的综合应用 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】8 6 48 8 6 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被 除数的因数。因数与倍数是相互依存的。必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。据此解答。 【详解】在 48÷8=6 中，8和 6是 48 的因数，48 是 8 和 6 的倍数。 【点睛】掌握因数与倍数的概念是解题的关键。 考法 2：在一组或几组数中找出“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。 解题方法：要求“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”可以先把两个数写成整数除法算式的形式， 其中被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 例题 2：下面各组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 72 和 9 1 和 13 5 和 20 【答案】9是 72 的因数，72 是 9 的倍数。 1是 13 的因数，13 是 1 的倍数。 5是 20 的因数，20 是 5 的倍数。 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就叫做 b的倍数，b就 叫做 a的因数；据此依次进行解答即可。 【详解】72÷9=8，由此可知：72 是 9 的倍数，9是 72 的因数； 13÷1=13，由此可知：13 是 1 的倍数，1是 13 的因数； 20÷5=4，由此可知：20 是 5 的倍数，5是 20 的因数。 【点睛】本题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 三、易错提示 易错点 1 ：没有明确倍数和因数的表示方法。 易错诠释：因数和倍数不能单独存在，既不能说谁是倍数，也不能说谁是因数，应该说谁是谁 的倍数，谁是谁的因数。 例题 1：判断：因为 21÷3=7，所以 21 是倍数，3是因数，7也是因数。（ ） 【答案】× 【分析】因数和倍数是相互依存的，可按“谁是谁的因数”或“谁的因数是谁”来表述，由此 解答即可。 【详解】因为 21÷3=7，所以 21 是 3 和 7 的倍数，3是 21 的因数，7也是 21 的因数，原题说 法错误；故答案为：×。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【点睛】一定要熟练掌握表述两个数的因数与倍数关系时的方式。如果整数 a能被整数 b整除 （b≠0），a就叫作 b的倍数，b就叫作 a的因数。因数和倍数不能单独存在。 易错点 2：错误的认为小数除法也可表述成“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。 易错诠释：我们在分析除法算式中“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”时，一般指的是整数除法， 不是小数除法或分数除法。例如：16 是 4 的倍数，也可以说 16 是 4 的 4 倍，而 1.6 是 0.4 的 4 倍，却不能说 1.6 是 0.4 的倍数。 例题 2：判断：因为 1.2÷0.3=4，所以 0.3 和 4 是 1.2 的因数，1.2 是 0.3 和 4 的倍数（ ） 【答案】× 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被 除数的因数。因数与倍数是相互依存的。必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。据此解答。 【详解】1.2÷0.3=4，被除数和除数都是小数，而因数、倍数是在非 0自然数范围内进行研究， 所以原题说法错误。故答案为：× 【点睛】掌握因数、倍数的定义是解题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 找一个数的倍数及倍数的特征 一、基础知识讲解 1.找一个数的倍数的方法。 （1）通过列除法算式看哪些整数除以这个数的商是整数而没有余数，那么这些数都是它 的倍数。 （2）通过列乘法算式看这个数乘 1，2，3，…的积是哪些数，那么这些数都是它的倍数。 2.一个数的倍数的表示方法。 （1）列举法。 方法说明：写一个数的倍数时，一般按从小到大的顺序排列，如 3的倍数的个数是无限的， 写时从 3本身开始，依次写出几个 2的倍数后，3的其他倍数用省略号代替。书写时每两个倍 数之间用逗号隔开，不再列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，最后写上句 号。3的倍数具体表示为：3的倍数有 3，6，9，…。 （2）用集合圈表示。 方法说明：画一个椭圆，在椭圆的上面写上“3的倍数”，表示 3的倍数的集合。把 3的 倍数按从小到大的顺序写在集合里，每两个倍数之间用逗号隔开，依次列举出几个后，写一个 逗号，3的其他倍数用三个圆点形式的省略号代替，不用加句号。具体表示为： 3的倍数 3，6，9，… 3.一个数的倍数的特征。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 二、考法技法提炼 考法 1：写出一个数的倍数。 解题方法：找一个数的倍数，一般可以用列乘法算式的方法来找，用 1，2，3，4，5，6，… 分别乘这个数，所得的积就是这个数的倍数。在没有限定范围内，一个数的倍数的个数是无限 的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 例题 1：写出下面各数的倍数。（各写 5个） 3 7 2 13 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，所以求一个 数的倍数，就是要这个数依次乘 1、2、3……，由此解答即可。 【详解】3的倍数：3，6，9，12，15； 7 的倍数：7，14，21，28，35； 2 的倍数：2，4，6，8，10； 13 的倍数：13，26，39，52，65 【点睛】一定要熟练掌握求一个数的倍数的方法以及一个数的倍数的特点。 考法 2：利用倍数的意义解决问题。 解题方法：找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单，再根据题意灵活分析。 例题 2：一根绳子比 20 米长，比 30 米短，剪成 4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子 最多有多少米？（请写出理由） 【答案】这根绳子最多有 28 米。 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是 20～30 之间的 4的倍数。可以列乘法算式找一个 数的倍数，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5=20,4×6=24,4×7=28,4×8=32，所以在 20～30 之间 4的倍数有 24、28。24<28， 即这根绳子最多有 28 米。答：这根绳子最多有 28 米。 【点睛】在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法 计算较为简单。 三、易错提示 易错点 1：盲目比较一个数的倍数和另一个数的因数的个数。 易错诠释：一个数的倍数个数的无限的，而一个数的因数个数却是有限的，无论这个数有多小， 它的倍数的个数都远远大于比它大的数的因数的个数。 例题 1：判断：2的倍数的个数比 20000 的因数的个数少。（ ） 【答案】× 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，据此解答即可。 【详解】2的倍数的个数比 20000 的因数的个数少，原题说法错误。故答案为：×。 【点评】本题考查因数和倍数的认识。 易错点 2：误以为一个数的倍数总比这个数的因数大。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 易错诠释：一个数最小的倍数是它本身，这个数最大的因数也是它本身，因此，一个数的倍数 有时候也和这个数的因数一样大。 例题 2：判断：一个数的倍数总比这个数的因数大。（ ） 【答案】× 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数 的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，所以一个数的倍数有可能等于这个数的因数。 据此解答。 【详解】一个数的倍数有可能等于这个数的因数，例如：3 的因数有 3，3 也是 3 的倍数，所 以本题说法错误。故答案为：× 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 根据倍数的特征解决问题 一、基础知识讲解 1.倍数的特征 类别 特征 倍数 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 2.找一个数的倍数的方法 列除法算式找 找一个数的倍数的方法 列乘法算式找 二、考法技法提炼 考法：利用倍数的特征解决一些问题 解题方法：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，结合求一个倍数 的的方法，正确解答。 例题：五（1）班有 7 位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在 40～50 棵之间，他们发现每人浇水的棵数相 同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出 7的倍数，又因为小树苗的数量在 40～50棵之间，结合题意即可求出 这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有 7、14、21、28、35、42、49、56⋯ 其中 40～50之间的数是 42、49。 答：这些小树苗可能有 42、49棵。 三、易错提示 易错点：错误认为一个数的倍数都比它的因数大 看哪些非 0 的自然数除以这个 数，商是整数且没有余数，这些 数就是这个数的倍数。 用这个数依次与非 0 的自然数相 乘，所得的积都是这个数的倍数。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 易错诠释：明确一个数的最大因数和最小的倍数都是它本身，结合题目进行判断解答。 例题：一个数的倍数一定比它的因数大。（ ） 【答案】× 【分析】一个数（0除外）的最大因数和最小倍数都是这个数。据此判断即可。 【详解】如：6的最大因数和最小倍数都是 6，此时 6的倍数等于它的因数。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查因数和倍数，明确求一个数的因数和倍数的方法是解题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 找一个数的因数及因数的特征 一、基础知识讲解 1.找一个数的因数的方法 （1）通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的因数。 （2）通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。 2.表示一个数的因数的方法 （1）列举法 方法说明：把一个数的因数按从小到大的顺序排列，每两个因数之间用逗号隔开，全部写 完后加句号表示结束。注意在写一个数的因数时，如果有相同的因数，如：16=4×4，只能写 一个 4。例如，16 的因数有 1，2，4，8，16。 （2）用集合圈表示 方法说明：画一个椭圆，在椭圆的上面写上“某个数的因数”。把这个数的因数按从小到 大的顺序有规律地写在椭圆里，每两个因数之间也用逗号隔开，全部写完后不用加句号。具体 表示为： 16 的因数 1，2，4，8，16 3.一个数的因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 二、考法技法提炼 考法 1：找一个数的因数。 解题方法：既可以通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的 因数。也可以通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。 例题 1：把符合条件的数填入相应的热气球里。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【答案】见详解 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为 0），我们就说除数和商都 是被除数的因数（也称约数），被除数是除数和商的倍数。要找一个数的因数，就要想一想这 个数除以几没有余数。 【详解】36÷1=36、36÷2=18、36÷3=12、36÷4=9、36÷6=6； 因此 36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36； 60÷1=60、60÷2=30、60÷3=20、60÷4=15、60÷5=12、60÷6=10； 因此 60 的因数有 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； 填数如下图： 【点睛】掌握找一个数的因数方法是解题的关键。 考法 2：利用因数的意义解决问题。 解题方法：先找出这个数所有的因数，再根据题意具体分析。 例题 2：把 76 个橘子装入一些袋子中，每个袋子中都装入同样多的橘子，每袋至少装 2个， 且袋子数大于 1，可以有几种装法？ 【答案】四种装法。 【分析】因为 2×38=76，4×19=76，所以每袋装 2个，可以装 38 袋；每袋装 38 个，可以装 2 袋；每袋装 4个，可以装 19 袋；每袋装 19 个，可以装 4袋。有四种装法。 【详解】因为：2×38=76（个） 4×19=76（个） 所以：每袋可以装 2个、4个、19 个、38 个。 答：有四种装法。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 【点睛】本题要先思考 76 的因数有哪些，再根据需要选择数据。 三、易错提示 易错点 1：误以为一个数越大，它的因数的个数就越多。 易错诠释：一个数越大，并不意味着它因数的个数就越多，例如，8的因数有 1，2，4，8；9 的因数有 1，3，9；11 的因数有 1，11。很显然 8<9<11，可是 8的因数个数却是最多的，因此 一个数因数的多少，与大小无关。 例题 1：判断：一个数越大，它的因数的个数就越多。（ ） 【答案】× 【分析】一个数的因数个数的多少与这个数的大小无关，可以举例说明。 【详解】8的因数：1，2，4，8；共有 4个因数。 11 的因数：1，11；共有 2个因数。 所以，一个数越大，它的因数的个数不一定就越多。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查因数的认识，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 易错点 2：找一个数的因数，漏掉 1和它本身两个因数。 易错诠释：我们在写一个数的因数时，要注意 1和它本身也是这个数的因数，不能漏写。例如， 12 的因数有 1，2，3，4，6，12。 例题 2：判断：因为 15=3×5，所以 15 的因数有 2个。（ ） 【答案】× 【分析】根据 15=3×5 可知，3和 5是 15 的因数，但除此之外，15 的因数还有 1和 15，据此 解答即可。 【详解】15 的因数有 1、3、5、15，并不是只有 3和 5两个，原题说法错误； 故答案为：× 【点睛】本题考查因数与倍数的知识点，掌握找因数的方法是关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 根据因数的特征解决问题 一、基础知识讲解 1.因数的特征 类别 特征 因数 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 2.找一个数的因数的方法 列除法算式找 找一个数的因数的方法 列乘法算式找 二、考法技法提炼 考法：利用因数的特征解决问题 解题方法：结合因数的特征，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身，利用 找一个数的因数的方法正确解答。 例题：为了庆祝中国共产党成立 102周年，合唱队 40名同学演唱了《唱支山歌给党听》。如果这些同学演 出时至少排成 2行，每行人数相同，有多少种不同的排法？ 【答案】6种 【分析】根据题意，40名同学排队，每行人数相同，那么每行的人数一定是 40的因数；先列举出 40的所 有因数，要求至少排成 2行，从中找到符合要求的因数，有几个因数，就有几种不同的排法。 【详解】 40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40； 有 6种不同的排法：①每行 2 人，排 20行；②每行 20人，排 2行；③每行 4人，排 10行；④每行 10 人，排 4行；⑤每行 5人，排 8行；⑥每行 8人，排 5行。 答：有 6种不同的排法。 用此数分别除以大于等于1且小 于等于它本身的所有整数，所得 的商是整数且没有余数，这些除 数和商就是这个数的因数。 把这个数写成两个整数相乘的 形式，算式中的每个整数都是这 个数的因数。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 三、易错提示 易错点：求因数时忽略最小的因数是 1 易错诠释：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身，解答时不要忘记最小的 因数是 1。 例题：27的全部因数有 3、9和 27。（ ） 【答案】× 【分析】 根据求一个数的因数的方法，求出 27的所有因数；一个数最小因数是 1；一个数的最大因数和最小倍数是 它本身，据此解答。 【详解】27＝1×27＝3×9 所以 27的因数有 1、3、9、27；原题说法错误。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 倍数和因数的综合应用 一、基础知识讲解 1.因数、倍数的概念 类别 概念 因数、倍数 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的 倍数，除数是被除数的因数。 例：12÷2＝6，12是 6的倍数，6是 12的因数。为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数是自然数 （一般不包括 0）。 2.因数和倍数的特征及求法 数 a能被数 b整除，那么 a就是 b的倍数，b就是 a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 类别 求法 特征 因数 成对地按顺序找。 一个数的因数的个数是有限的， 最小的因数是 1，最大的因数是它 本身。 倍数 依次乘以自然数。 一个数的倍数的个数是无限的， 最小的倍数是它本身。 一个数的最大因数＝最小倍数＝它本身 二、考法技法提炼 考法：找同时是这个数的因数又是这个数的倍数的数 解题方法：列乘法算式找因数和倍数，然后按照从小到大的顺序排列后就可以找出。 例题 1：一个数既是 4的倍数，又是 16的因数，这样的数共有（ ）个。 A．3 B．4 C．无数 【答案】A 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算 式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非 0 自然数的乘法算式，乘法算式中 的积就是这个数的倍数。 据此求出 4的倍数和 16的因数，并确定既是 4的倍数，又是 16的因数有哪些，数出个数即可。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 【详解】4×1＝4、4×2＝8、4×3＝12、4×4＝16 16＝1×16＝2×8＝4×4 4的倍数有：4、8、12、16…… 16的因数有：1、2、4、8、16 既是 4的倍数，又是 16的因数有：4、8、16，共有 3个。 故答案为：A 例题 2：一个数既是 64的因数，又是 8的倍数，这样的数有（ ）个。 【答案】4 【分析】根据题意，把 64的因数和 8的倍数（不超过 64）列举出来，再统计有几个重复的数即可。 【详解】64的因数：1、2、4、8、16、32、64； 8的倍数（不超过 64）：8、16、32、64； 所以这样的数有 4个。 三、易错提示 易错点：错误认为既是一个数的倍数，又是一个因数就是大的那个数 易错诠释：列乘法算式找因数和倍数，然后按照从小到大的顺序排列后就可以找出，不要出现漏掉的现象。 例题：一个数既是 7的倍数，又是 28的因数，这个数肯定是 28。（ ） 【答案】× 【分析】先列举出 28的因数，再找出 28以内 7的倍数，据此判断。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两 个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非 0 自然数的乘法算式，乘法算式中 的积就是这个数的倍数。 【详解】28的因数：1，2，4，7，14， 28； 28以内 7的倍数有：7，14，28； 所以，一个数既是 7的倍数，又是 28的因数，这个数可能是 7、14、28。 原题说法错误。 故答案为：× 橙 子 学