精品解析：辽宁省大连市三十九中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024−−2025学年度第一学期阶段检测试题 九年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间80分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中是反比例函数的是（　　） A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】此题应根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是（k≠0）． 【详解】A、该函数属于正比例函数，故本选项错误； B、该函数属于反比例函数，故本选项正确； C、该函数属于二次函数，故本选项错误； D、该函数是y与x+1成反比例函数关系，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k≠0）． 2. 一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标是，再结合与轴的交点是，即可逐项分析作答． 【详解】解：A、因为，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； B、，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是正确的； C、的顶点坐标是；当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； D、因为，所以顶点坐标是；当时，，与轴的交点是，该选项是错误的； 故选：B 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键． 画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果， ∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为． 故选：C． 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，作出图形，设，则，进而求得，根据正切的定义求得即可． 【详解】如图，在中，， ， 设，则， 由勾股定理可得， ． 故选A． 【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义，求得是解题的关键． 5. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 下列事件中，是随机事件的有（ ） （1）通常加热到时，水沸腾； （2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； （3）掷一次骰子，向上一面的点数是6； （4）任意画一个三角形，其内角和是； （5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯； （6）射击运动员射击一次，命中靶心． A. （1）（2）（3）（5） B. （3）（4）（5）（6） C （2）（3）（5）（6） D. （1）（3）（4）（5） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：（1）通常加热到时，水沸腾，是必然事件； （2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件； （3）掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件； （4）任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件； （5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； （6）射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件． 综上，是随机事件的有（2）（3）（5）（6）． 故选：C． 7. 身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（ ） A. 185cm B. 180cm C. 170cm D. 160cm 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得：设小雪的身高为 ， 则 ， 解得： ， 故选B. 8. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一 定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250 元，衬杉的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可. 【详解】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40-x）=1250， 故选D. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程 9. 等腰三角形的底角是，腰长为，它的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过顶点作于点，由垂线的性质可得，由三线合一可得，即，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，根据的周长即可求出答案． 【详解】解：如图，过顶点作于点， ， ，， ，即：， ， ， ， ， 的周长， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，等式的性质，含度角的直角三角形，勾股定理，二次根式的加减运算，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 10. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A. 120° B. 180° C. 240° D. 300° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r， ∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 设圆心角为n，有=2πr=πR， ∴n=180°． 故选B． 考点：圆锥的计算 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母“”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知总共有11个字母，求出字母的个数，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：共有个字母，其中有个， 所以选中字母“”的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=. 12. 已知，是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将原式变形为，再将与的值代入求值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °． 【答案】70 【解析】 【详解】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°． 又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°． 14. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 15. 如图，在⊙中，，则__________°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据得到AB=AC，求出∠B，根据三角形的内角和求出答案. 【详解】∵， ∴AB=AC， ∴∠B=， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=180°-2∠C=30°， 故答案为：30. 【点睛】此题考查圆的弧、弦性质定理，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的内角和定理. 三．解答题（本题共5小题，共43分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）将方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）将方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理，得：， 分解因式，得：， 故：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理，得：， 分解因式，得：， 故：或， 解得：，． 17. 中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上． 参考数据 ，，，，，最后结果保留． 任务1 求敬闲亭的高度的长． 任务2 求敬闲亭底面圆的半径的长． 【答案】任务1：敬闲亭的高度的长约为；任务2：敬闲亭底面圆的半径的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 任务1：延长交于点F，根据题意可得：，，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； 任务2：设与相交于点S，根据题意可得：，，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：任务1：延长交于点F， 由题意得：，，， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴敬闲亭的高度的长约为； 任务2：如图：设与相交于点S， 由题意得：，， ∴， ∴敬闲亭底面圆的半径的长约为． 18. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法将A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论； （2）利用抛物线解析式求得点C坐标，利用点的坐标表示出线段，，的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 19. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点，，． （1）求反比例函数的表达式； （2）分别以点，A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，求线段的长． 【答案】（1） （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由题意可得，则点A的坐标为，代入，求出的值即可． （2）连接，过点A作于点，由作图痕迹可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，设线段的长为，则，，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【小问1详解】 解：轴， ， ∵，， ∴， ， 点A的坐标为， 将代入， 得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：连接，过点A作于点，如图所示： 由作图痕迹可知，直线为线段的垂直平分线， ， 设线段的长为，则， 点A的坐标为， ，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， 线段的长为． 【点睛】本题考查作图——基本作图、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径是 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 四．解答题（本题共3小题，共32分） 21. 在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求出的取值范围； 【答案】或或 【解析】 【分析】先求抛物线与轴的交点坐标，可得，令，则，解方程即可求得抛物线与轴的交点，，然后分两种情况讨论：当时；当时，又分两种情况讨论：）当抛物线的顶点在线段上时；）当抛物线与线段相交时；分别建立关于的方程或不等式，解方程或不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴交于点，， 分两种情况讨论： 当时， 如图， 当抛物线与线段只有一个交点时，则当时，， 解得：； 当时， 分两种情况讨论： ）当抛物线的顶点在线段上时， ， 抛物线的顶点坐标为， 如图， 当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点， 此时，， 解得：； ）当抛物线与线段相交时， 如图， 当抛物线与线段只有一个交点时，则当时，， 解得：； 综上，的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，从函数的图象获取信息，二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式，把化成顶点式，的图象与性质，解一元一次方程等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 22. 如图1，矩形，动点E从B点出发匀速沿着边向A点运动，到达A点停止运动，另一动点F同时从B点出发以的速度沿着边运动，到达A点停止运动．设E点运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2所示． （1） ， ，点E的运动速度是 ； （2）求y关于x的函数关系式及其自变量取值范围； （3）当时，请直接写出x的取值． 【答案】（1）3，3，1 （2）； （3）当∠时，x的值是或． 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象、求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的图形，利用数形结合的思想进行解答． （1）根据图2可知，点F由B到C运动时间为，由C到D运动时间为，从而可以得到的长即点E运动的速度； （2）由（1）可知，E一直在边上运动，F在上运动，所以分类讨论，求出、、时的面积； （3）根据题意可知符合要求的有两种情况，分别画出相应的图形，求出对应的x的值即可解答本题． 【小问1详解】 解：由图2可知，点F由B到C运动时间，由C到D运动时间为， ∵点F从B点出发以的速度沿着边运动， ∴，， ∴， 设点E在时运动的距离为a， ， 得， 即点E的速度为． 故答案为：3，3，1； 【小问2详解】 解：当时，E、F分别在上，为直角三角形， ∴； 当时，E、F分别在上，的长等于的高， ∴； 当时，E、F分别在，为的高， ∴． 由上可得，； 【小问3详解】 解：当时，x的值是或． 理由：当时，存在两种情况， 第一种情况，如图一所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，； 第二种情况，如图二所示， 由题意可得，，解得； 由上可得，当∠时，x的值是或． 23. 如图，在和中，，，点在边上， 的值为 ； 若，求的值； 若在的基础上，与的交点为，直接写出的值 ； 如图，，，，，，求的长． 【答案】；；； 【解析】 【分析】由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，由已知条件，可证得，于是可得，即，由已知条件及等式的性质可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，据此即可求出的值； 由可得，由可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，根据勾股定理可得，由含度角的直角三角形的性质可得，据此即可求出的值； 由，可得，即，由对顶角相等可得，进而可证得，于是可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，于是可得，据此即可求出的值； 由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由全等三角形的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，根据勾股定理可得，过点作于点，由垂线的性质可得，由三线合一可得，由含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长． 详解】解：，， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 如图，与的交点为， ，， ， 即：， 又， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； ， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得： ，，，， ，， ， ， 如图，过点作于点， ， ，， ， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 的长为． 【点睛】本题主要考查了含度角的直角三角形，勾股定理，等式的性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，等式的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，等边对等角，旋转的性质，全等三角形的性质，垂线的性质，三线合一，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−−2025学年度第一学期阶段检测试题 九年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间80分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中是反比例函数的是（　　） A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y= 2. 一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，是随机事件的有（ ） （1）通常加热到时，水沸腾； （2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； （3）掷一次骰子，向上一面的点数是6； （4）任意画一个三角形，其内角和是； （5）经过有交通信号灯路口，遇到红灯； （6）射击运动员射击一次，命中靶心． A. （1）（2）（3）（5） B. （3）（4）（5）（6） C. （2）（3）（5）（6） D. （1）（3）（4）（5） 7. 身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（ ） A. 185cm B. 180cm C. 170cm D. 160cm 8. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一 定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250 元，衬杉的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形的底角是，腰长为，它的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A. 120° B. 180° C. 240° D. 300° 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母“”的概率为______． 12. 已知，是方程的两个实数根，则的值为_________． 13. 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °． 14. 计算______． 15. 如图，在⊙中，，则__________°． 三．解答题（本题共5小题，共43分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上． 参考数据 ，，，，，最后结果保留． 任务1 求敬闲亭的高度的长． 任务2 求敬闲亭底面圆的半径的长． 18. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 19. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点，，． （1）求反比例函数的表达式； （2）分别以点，A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，求线段的长． 20. 如图，交于点半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 四．解答题（本题共3小题，共32分） 21. 在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求出的取值范围； 22. 如图1，矩形，动点E从B点出发匀速沿着边向A点运动，到达A点停止运动，另一动点F同时从B点出发以速度沿着边运动，到达A点停止运动．设E点运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2所示． （1） ， ，点E的运动速度是 ； （2）求y关于x的函数关系式及其自变量取值范围； （3）当时，请直接写出x的取值． 23. 如图，在和中，，，点在边上， 的值为 ； 若，求值； 若在基础上，与的交点为，直接写出的值 ； 如图，，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $