2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（12）数列综合研究通项及求和（新高考地区专用）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（12） 数列综合研究通项及求和 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．已知数列的前n项和为，若，则（ ） A．16 B．32 C．54 D．162 2．已知等差数列的前和为，，，则（ ） A. B. C. D. 3．已知数列满足，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 4．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7．函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ） A. 4044 B. 4045 C. 4046 D. 4047 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知为数列的前项和，，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的最大值是1 10．已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 11．已知正项数列满足，记的前项和为，前项积为，则（ ） A. B. 不可能为常数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列满足，则的通项公式为______________. 13.已知数列的前项和为，则数列的前项和__________. 14.欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（12） 数列综合研究通项及求和 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．已知数列的前n项和为，若，则（ ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【解析】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 2．已知等差数列的前和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由等差数列，可得前项和为， 又因为，所以，所以， 即得，所以， 则. 故选：A. 3．已知数列满足，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得， 又，所以是首项为1公差为1的等差数列， 可得，所以， ，， 两式相减得 ，所以. 故选：B. 4．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又，，所以， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的关系式可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再由是递增数列可得恒成立，即可得. 【详解】当时，，解得； 当时，由，得， 两式相减得， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得，所以； 因为数列是递增数列，所以对于任意的恒成立， 即，即恒成立， 因为时，取得最小值3，故， 即的取值范围是. 故选：C. 6．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故选：D. 7．函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以当，可得. 故选：A. 8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ） A. 4044 B. 4045 C. 4046 D. 4047 【答案】B 【解析】因为，所以，又， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以 所以 ， 当时也符合上式，故， 则数列的通项公式， 则数列的前2022项之和为 ． 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知为数列的前项和，，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的最大值是1 【答案】BCD 【解析】对于选项AB：由，时，有，所以， 当时，，两式相减得，且，可得， 可知数列是以为首项，公比为的等比数列，则， 故A错误，B正确； 对于选项C：因为，可得，， 所以等比数列，故C正确； 对于选项D：因为，所以，由基本不等式可得， 而，，当，即时取等号，故的最大值是， 故D正确； 故选：BCD． 10．已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列， 所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对； 由，则， 所以， 所以，D对. 故选：BCD 11．已知正项数列满足，记的前项和为，前项积为，则（ ） A. B. 不可能为常数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为是正项数列，则，解得， 所以，故A正确； 对于选项B： 若，满足，故B错误 ； 对于选项C：因为，故C正确. 对于选项D：因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， 当且仅当 时，等号成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得， 当且仅当时，等号成立， 故，等号可以同时成立，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列满足，则的通项公式为______________. 【答案】 【解析】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 13.已知数列的前项和为，则数列的前项和__________. 【答案】 【解析】由，当时，，即； 当时，，即， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为2， 则，， 所以， 则. 故答案为：. 14.欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】在的整数中与不互质的数有，共有个，所以与互质的数有个，因此． 在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以． 所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 则恒成立等价于恒成立， 即恒成立，所以， 令，则， 所以，且， 所以， 所以，即实数的取值范围是 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$