6.1.4 数乘向量（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

6.1.4 数乘向量 题型一 向量的数乘运算 1．（23-24高一下·江苏·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 2．（24-25高二上·北京朝阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 3．（21-22高一·全国·课前预习）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量的运算法则，可得.故选：B. 4．（23-24高一下·四川德阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）原式 ． （2）原式 题型二 向量数乘在几何中的化简 1．（23-24高一下·山东·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，点为线段上靠近点的三等分点，如图所示： .故选：B. 2．（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知有. 故.故选：A. 3．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 4．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则，故选：B. 题型三 利用向量数乘求参数 1．（22-23高一下·安徽宿州·期中）已知的重心为，若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角形法则和平行四边形法则可得 ，则.故选：A 2．（23-24高一下·河北衡水·月考）已知点在线段上，且，若向量，则 . 【答案】 【解析】如图，由，可得，所以，即， 故答案为： 3．（23-24高一下·江苏常州·月考）若，设，则的值为 . 【答案】2 【解析】因为，所以， 则， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（22-23高一下·山东淄博·月考）已知，且，则实数 ． 【答案】 【解析】∵， ∴，∴． 题型四 向量加减数乘恒等式证明 1．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证． 【答案】证明见解析 【解析】因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以，即， 又，① ，② 所以①+②，得， . 2．（如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为分别为的中点， 所以， 所以， 所以． 3．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】因为 ， 又因为为平行四边形，则为的中点，可得， 所以， 即. 4．若点为的重心. （1）化简：； （2）求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】(1)延长AG交BC于D，如图， 因点为的重心，则D是BC边中点，并且有，即， 又是的中线，则有，于是得, 所以； (2)由(1)知：，取所在平面内任意一点O， 则有， 即，亦即， 所以. 1．（23-24高一下·广东深圳·月考）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ，即是的一个三等分点， 过点作的平行线交于， 是中点，，且是的中点， 从而，，， 又，则.故选：C． 2．（23-24高一下·广东兴宁·期中）已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得， 所以，所以， 所以，所以， 解得， 所以.故选：B 3．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，延长CD和BE交于点F，由题得过做 因为为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形， 且， 所以为等腰直角三角形. 可得 所以四边形ABFC为矩形， 又,所以四边形ABFC为正方形， 又，所以分别是中点， 所以．故选：C 4．（22-23高一下·浙江台州·月考）（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 【答案】AB 【解析】由数乘向量运算律，得A，B均正确； 对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误； 对于D，若，由，未必一定有，错误．故选：AB． 5．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且. 在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1.4 数乘向量 题型一 向量的数乘运算 1．（23-24高一下·江苏·月考）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京朝阳·月考）（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一·全国·课前预习）等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川德阳·月考）计算： (1)； (2)． 题型二 向量数乘在几何中的化简 1．（23-24高一下·山东·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 题型三 利用向量数乘求参数 1．（22-23高一下·安徽宿州·期中）已知的重心为，若向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北衡水·月考）已知点在线段上，且，若向量，则 . 3．（23-24高一下·江苏常州·月考）若，设，则的值为 . 4．（22-23高一下·山东淄博·月考）已知，且，则实数 ． 题型四 向量加减数乘恒等式证明 1．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证． 2．（如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 3．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：． 4．若点为的重心. （1）化简：； （2）求证：. 1．（23-24高一下·广东深圳·月考）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东兴宁·期中）已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·浙江台州·月考）（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 5．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$