8.1 向量的概念和线性运算（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

8.1 向量的概念和线性运算 题型一 平面向量的概念和表示方法 1．向量的概念和表示方法 （1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 2．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 3．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 题型二 零向量、单位向量、平行向量 4．单位向量：长度等于 长度的向量，叫做单位向量． 5．零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 6．给出下列命题： ①若，则与的方向相同或相反； ②若，，则； ③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若＝，＝，则＝， 其中正确的是 ．(填序号) 7．下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意向量共线 8．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 9．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 10．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    11．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 12．以下说法中正确的个数是（   ） ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0 B．1 C．2 D．3 13．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 14．如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 题型三 网格中的有关向量概念问题 15．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 16．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中： （1）有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的模都等于 ； （2）存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的模的和等于 . 题型四 向量的加法 17．如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 18．如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 题型五 向量的减法 19．化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 20．化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 21．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 题型六 向量的数乘运算 22．化简： ． 23．若，，则 . 24．已知，且，则实数 . 25．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且，则 . 题型七 向量的线性运算及表示 26．向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： ； （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 三角形法则 数乘 求实数与向量相乘的运算 （1）当且时，的模为 ，而且的方向如下： ①当时，与的方向 ； ②当时，与的方向 ． （2）当或时， ； ； 27．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（    ） A． B． C． D． 28．如图，A、B、C、D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 29．在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 题型八 参数问题 30．已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 31．如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型九 向量的线性运算的模长问题、综合应用 32．在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 33．已知正方形的边长为2，则为 ． 34．四边形为菱形，其中，，则 . 35．设，则的最大值与最小值分别为 . 36．在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 37．已知向量满足，，则的取值范围是 ． 38．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 39．已知中，分别为边的中点，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 40．已知非零向量满足，则 . 题型十 平面向量的三角不等式 41．若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ． 42．对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 43．试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 一、填空题 1．已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 2．已知所在平面内一点满足，则 ． 二、单选题 3．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 三、解答题 5．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 6．如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 7．（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 向量的概念和线性运算 题型一 平面向量的概念和表示方法 1．向量的概念和表示方法 （1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 【答案】 大小 方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 【分析】根据题意，结合向量的定义和向量的表示方法，即可求解. 【解析】（1）根据向量的定义得：把既有大小又有方向的量叫做向量； （2）①向量的表示方法，可得有向线段包含三个要素：起点，方向，长度； ②由向量的表示方法得：向量可以用有向线段表示，向量的大小称为向量的长度，记作. 故答案为：大小；方向；起点；方向；长度，有向线段；长度；. 2．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【答案】③⑤⑥ 【分析】根据向量的概念判断即可. 【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度. 故答案为：③⑤⑥. 3．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【解析】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 题型二 零向量、单位向量、平行向量 4．单位向量：长度等于 长度的向量，叫做单位向量． 【答案】1个单位 【分析】略 【解析】略 5．零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 【答案】 相同 【分析】略 【解析】略 6．给出下列命题： ①若，则与的方向相同或相反； ②若，，则； ③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若＝，＝，则＝， 其中正确的是 ．(填序号) 【答案】④ 【分析】利用平行向量、相等向量的定义依次判断各个命题作答. 【解析】因零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量平行，则当＝，对于任意的向量，都有，①错误； 当＝时，对于任意的向量，都有，，而，不一定共线，②错误； 两个模相等的向量互相平行，其方向可能相反，③错误； 由两个向量相等的定义及性质得④正确． 故答案为：④ 7．下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意向量共线 【答案】D 【分析】根据单位向量，零向量，共线向量的定义一一判断即可. 【解析】对于A：单位向量的模都为，但是方向无法确定，故不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误； 对于C：平行向量即是共线向量，故C错误； 对于D：模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故D正确. 故选：D 8．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【答案】A 【分析】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义判断C；直接写出与非零向量共线的单位向量来判断D． 【解析】对于A，只有零向量的模为，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误； 对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误． 故选：A． 9．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【解析】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 10．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 11．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【解析】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 12．以下说法中正确的个数是（   ） ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量共线及模长，零向量的定义判断各个小题即可. 【解析】共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，①错误； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，②正确； 单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况，③错误； 零向量也有方向，只是方向任意，④错误． 故选：B. 13．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【解析】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 14．如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【解析】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 题型三 网格中的有关向量概念问题 15．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】 与，与 与，与 【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答. 【解析】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反， 显然，因此的模相等. 故答案为：与，与；与，与； 16．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中： （1）有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的模都等于 ； （2）存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的模的和等于 . 【答案】 【分析】（1）通过计算向量的模进行判断即可； （2）通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线. 【解析】结合图形可知，（1）； （2）因为，所以，所以向量共线， . 故答案：（1）  　（2）　 题型四 向量的加法 17．如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【分析】运用向量加法的三角形法则可解. 【解析】由图知道，，，，. 故答案为：，，，. 18．如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【解析】①． ②． ③． 故答案为：；；. 题型五 向量的减法 19．化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【答案】 【分析】根据平面向量加减运算法则得到答案. 【解析】（1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 故答案为：，，，，， 20．化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【解析】（1）． （2）. （3）. 21．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【答案】3个 【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解. 【解析】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 题型六 向量的数乘运算 22．化简： ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【解析】. 故答案为： 23．若，，则 . 【答案】/ 【分析】根据计算得到答案. 【解析】 故答案为： 24．已知，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量共线和向量数乘求解即可. 【解析】解：因为， 所以三点共线，其位置关系如图， 其中点在线段的四等分点靠近点的位置， 所以，所以 故答案为： 25．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且，则 . 【答案】 【分析】由题知，，进而得. 【解析】解：∵，， ∴. ∴.又与同向，∴. 故答案为： 题型七 向量的线性运算及表示 26．向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： ； （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 三角形法则 数乘 求实数与向量相乘的运算 （1）当且时，的模为 ，而且的方向如下： ①当时，与的方向 ； ②当时，与的方向 ． （2）当或时， ； ； 【答案】 相同 相反 【分析】略 【解析】略 27．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算，可得解 【解析】由题意，． 故选：B 28．如图，A、B、C、D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的加法和减法运算化简求解即可得出结论. 【解析】解：，，，． 故选：B． 29．在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【解析】因为点M是边BC的中点，所以 因为点N在AM上，且 ，所以， 所以. 故选：C. 题型八 参数问题 30．已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、、的方程组，消去即可得出结果. 【解析】、、三点共线， 设，即， 由于、不共线，则，消去可得. 因此，、、三点共线的充要条件为. 故选：D. 31．如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【解析】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 题型九 向量的线性运算的模长问题、综合应用 32．在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【解析】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    33．已知正方形的边长为2，则为 ． 【答案】 【分析】根据向量的加法公式，以及正方形的性质，即可求解. 【解析】. 故答案为： 34．四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【解析】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 35．设，则的最大值与最小值分别为 . 【答案】， 【分析】根据向量与共线且反向和同向，结合向量模的几何意义，即可求解. 【解析】由题意，当向量与共线且反向时，可得； 当向量与共线且同向时，可得. 故答案为：，. 36．在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】依题意根据平面向量加法的平行四边形法则及平面几何的性质得到四边形为正方形且，再由计算面积即可. 【解析】在平行四边形中，，， 因为，即，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.    故答案为： 37．已知向量满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【解析】. ∴， 反向共线，左侧等号成立，同向共线，右侧等号成立 ∴的取值范围是. 故答案为： 38．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到，从而得到，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为即可求出结果. 【解析】如图，取中点，因为，所以，即，所以，，所以，又三角形内角和为，所以，所以为直角三角形， 故答案为：直角三角形. 39．已知中，分别为边的中点，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【解析】在中，分别为边的中点， 由，得，即，则， 而，所以. 故选：C 40．已知非零向量满足，则 . 【答案】 【分析】根据向量减法的三角形法则得三角形为等边三角形，根据等边三角形的几何特征进行计算即可. 【解析】如图当时，为等边三角形， 则为线段的长度， 所以. 故答案为：.    题型十 平面向量的三角不等式 41．若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ． 【答案】 向量方向相反 向量方向相同 【分析】由不共线，，能构成三角形，得到，再由共线求解. 【解析】解：如果不共线，正好能构成三角形， |分别为此三角形的三条边长， 又因为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， 所以， 若共线，则当它们同向时，有. 若共线，则当它们反向时，有. 综上所述，不等式中等号成立的条件是向量方向相反； 不等式中等号成立的条件是向量方向相同． 故答案为：向量方向相反，向量方向相同 42．对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 【答案】答案见解析 【分析】结合图形，当、不共线时，由三角形中两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，可得；当、同向、当、反向时可得和. 【解析】当、不共线时有， 理由如下， 如图，设，以为邻边作一个平行四边形， 则， 在中，，， ，， 所以； 当、同向时有， 如上左图，设，， 因为，所以； 当、反向有， 如上右图，设，， 因为，所以. 43．试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，，得出，然后根据三角形的边的关系可得出，最后得出原不等式成立； （2）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，得出，然后根据三角形的边的关系得出原不等式成立． 【解析】（1）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，，则，如下图所示：    由图看出， 综上得，； （2）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，则，如下图所示：    由图看出，， 综上得，． 一、填空题 1．已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由共线向量的线性运算即可求解； 【解析】因为三点共线， 则, 所以, 所以， 对比系数，所以， 故答案为：0 2．已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【分析】取的中点，则，进而可得. 【解析】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 二、单选题 3．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意可知，以，，为边长的三角形为直角三角形，两直角边长设为m，n，则，再根据基本不等式计算最值即可. 【解析】根据平行四边形法则可知，是平行四边形的对角线长， 依题意，，则平行四边形为矩形， 所以以，，为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为， 两直角边长设为m，n，则， 则三角形面积，当且仅当时等号成立， 则以，，为边长的三角形面积最大值为1． 故选：A. 4．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【解析】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 三、解答题 5．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【解析】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 6．如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解析】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 7．（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】根据正多边形的性质，将正边形绕中心顺时针旋转，易知中心与各顶点的连线必重合，即它们所代表的向量之和不变，即可确定结果. 【解析】（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图： 向量在旋转后对应位置为， 所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. （2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转， 同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$