04 大单元结构化整合练-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 四 大单元结构化整合练 ★大单元整合练———函数的深度理解与把握 一、如何判断是不是函数:在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果对于任意一个 x 都有唯一确定 的 y 与它对应,那么就说 y 是 x 的函数. 1. 下列 y 与 x 的关系中,y 不是 x 的函数关系的是　 ②③　 (填序号) . ①y= -2x-1;　 ② | y | = 2x;　 ③y2 = x;　 ④y= -x2;　 ⑤y= 2 x ;　 ⑥y= 2 x+1 . 2. 下列图象中,不能表示 y 是 x 的函数的是　 ③④⑤　 (填序号) . 二、如何判断属于哪个函数类型(一次函数、反比例函数和二次函数) ◆根据题意列函数解析式并区分函数类型 1. 如图,用绳子围矩形,记矩形相邻的两边长为 x m,y m. (1)若绳长为 10 m,则 y 与 x 的关系式为　 y=-x+5　 ,y 是 x 的　 一次　 函数; (2)若矩形的面积是 10 m2,则 y 与 x 的关系式为　 y=10 x 　 ,y 是 x 的　 反比例　 函数; (3)若矩形的周长为 20 m,矩形的面积为 S m2,则 S 与 x 的关系式为　 S= -x2+10x　 ,S 是 x 的　 二次　 函数. ◆根据表格数据特点区分函数类型 对于“已知 y 与 x 的几组对应值表,判断 y 与 x 满足哪种函数类型”的问题,可优先从以下 几个方向思考: (1)若表格中的 x 或 y 的值“有 0”:y 与 x 一定不是反比例函数; (2)若每一组 x,y 的“乘积都相等”:y 是 x 的反比例函数; (3)若表格中有“两个 x 对应的 y 值相等”:y 是 x 的二次函数; (4)若 y 的值呈现“先增后减”或“先减后增”:y 是 x 的二次函数; (5)若 x 与 y 都呈现“等差变化”:y 是 x 的一次函数; (6)通过描点观察图象的形状:直线型即一次函数;双曲线型即反比例函数;抛物线型即二 次函数. 63 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 2. 已知 y 是 x 的函数,给出了几组 x 和 y 的对应值,请根据表格中的数据特点填空. 第 1 组: x -5 0 5 10 y 10 5 0 -5 【观察】x 和 y 同时呈现等差变化 【得出结论】y 是 x 的　 一次　 函数 第 2 组: x 1 2 -4 -10 y 10 5 -2. 5 -1 【观察】x 与 y 的乘积均为 10 【得出结论】y 是 x 的　 反比例　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 3 组: x -6 -3 -2 -1 y 1 2 3 6 【观察】x 与 y 的乘积均为-6 【得出结论】y 是 x 的　 反比例　 函数 第 4 组: x -2 0 1 2 y 12 -4 -6 -4 【观察】当 x= 0 和 x= 2 时,y 的值均为-4 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 5 组: x -4 -2 0 3 y -24 -8 0 -3 【观察】随着 x 的增大,y 的值先增大后减小 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 第 6 组: x -2 -1 1 2 y 1 0 4 9 【观察】随着 x 的增大,y 的值先减小后增大 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 7 组: x -2 -1 2 4 y -1 0 3 5 【描点画图】 【得出结论】y 是 x 的　 一次　 函数 第 8 组: x 0 1 2 4 y 0 1 2 2 8 【描点画图】 【得出结论】y 是 x 的　 二次　 函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 ◆根据函数图象上点的坐标特征区分函数类型 3. 在如图所示的网格平面直角坐标系中,每个网格的单位长度均为 1,点 A,B,C,D,E 均在网格中 的格点上,请回答下列问题. (1)与一次函数图象有关 ①正比例函数 y = kx( k≠0)的图象 　 不能 　 (填 “能”或“不能”)经过点 A; ②若正比例函数 y = kx( k≠0)的图象经过图中的 某一点,则 k　 >　 0(填“>”或“<”); ③一次函数 y = kx+b(k≠0)的图象 　 不能 　 (填 “能”或“不能”)同时经过点 D 和点 E; ④若一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象经过其中的三点, 则这三个点分别是　 A,C,E　 . 一次函数 坐标系中的一条“斜直线” 　 (2)与反比例函数图象有关 ①反比例函数 y = k x ( k≠0) 的图象一定不经过 点　 A　 ; ②反比例函数 y = k x ( k≠0)的图象　 不能　 (填 “能”或“不能”)同时经过点 D 和点 E; ③若反比例函数 y = k x (k≠0)的图象经过点 B 和 点 C,则还可以经过点　 E　 . 反比例函数 分别居于两个象限的“双曲线” 　 (3)与二次函数图象有关 ①二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象　 不能　 (填“能”或“不能”)同时经过点 A,点 C 和点 E; ②抛物线 y = ax2 - 2ax + 3 ( a≠0) 一定经过点 A 和点　 B　 ; ③若二次函数 y= ax2 +bx+c(a≠0)的图象经过点 D 和点 E,则 a,b 满足的关系式为　 9a+b=0　 ; ④若二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象经过其中 的三点,当 a 最大时,经过的点是　 B,D,E　 ;当 a 最小时,经过的点是　 A,B,D　 . 二次函数 坐标系中的一条“抛物线” 　 83 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 ★大单元整合练———函数的增减性与最值 1. 写出下列函数的增减性. 函数类型 函数解析式 增减性 正比例函数 y= 3x y 随 x 的增大而　 增大　 一次函数 y= -x-1 y 随 x 的增大而　 减小　 反比例函数 y= 3 x 在每一象限内,y 随 x 的增大而　 减小　 y= - 3 x 在每一象限内,y 随 x 的增大而　 增大　 二次函数 y= -2(x-1) 2 +2 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而　 增大　 ; 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而　 减小　 y= 2x2 -4x-2 在对称轴右侧, y 随 x 的增大而　 增大　 ; 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而　 减小　 2. 请在下面横线上写一个 y 关于 x 的函数解析式,使它满足:当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小. (1)若 y 是 x 的一次函数,则 y= 　 -x(答案不唯一) 　 ; (2)若 y 是 x 的反比例函数,则 y= 　 1 x (答案不唯一) 　 ; (3)若 y 是 x 的二次函数,则 y= 　 x2(答案不唯一) 　 . 3. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数 y= kx+b(k≠0)图象上两点. 请用“ >”“ = ”或“ <”填空. (1)若 x1 = -2,x2 = 3,k= 2,则 y1 　 <　 y2; (2)若 x1 <x2,k<0,则 y1 　 >　 y2; (3)若 x1 <x2,y2 >y1,则 k　 >　 0. 4. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数 y= k x (k≠0)图象上两点. 请用“ >”“ = ”或“ <”填空. (1)若 x1 = -2,x2 = -3,k= 2,则 y1 　 <　 y2; (2)若 x1 = 2,x2 = 3,k= -2,则 y1 　 <　 y2; (3)若 x1 = -2,x2 = 3,k>0,则 y1 　 <　 y2; (4)若 y1 <0<y2,k=m2 +1,则 x1 　 <　 x2; 变式 若 k<0,y1 <y2,请讨论 x1,x2 的大小情况. 解:当 k<0 时,反比例函数 y= k x 的图象位于第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 当 y1<y2 时,分为以下三种情况: ①当 0<y1<y2 时,x2>x1, ②当 y1<y2<0 时,x2>x1, ③当 y1<0<y2 时,x2<x1 . 93 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 5. 已知点 A(x1,y1 ),B( x2,y2 )是二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)图象上两点. 请用“ >” “ = ”或“ <” 填空. (1)当 a= 1,b= -2 时. ①若 x1 = -2,x2 = 0,则 y1 　 >　 y2; ②若 1<x1 <x2,则 y1 　 <　 y2; ③若 x2 -1 = 1-x1,则 y1 　 =　 y2; (2)当 b= 2a 时. ①若 a<0,0<x1 <x2,则 y1 　 >　 y2; ②若 a>0, | x2 -( -1) | > | x1 -( -1) | ,则 y1 　 <　 y2; (3)当 a= -1,b= 4 时. ①若 x1 <2<x2,y1 <y2,则 x1 +x2 　 <　 4; ②若 y1 >y2,x1 = 1,则 x2 　 <　 1 或 x2 　 >　 3. 6. 已知 y 关于 x 的函数关系式中,自变量 x 的取值范围为-3≤x≤3. (1)当函数为 y= 1 3 x+2 时,y 的最大值为　 3　 ,y 的最小值为　 1　 ; (2)当函数为 y= x2 -2x-3 时,求 y 的最大值和最小值. 解:∵抛物线 y=x2-2x-3 的对称轴为直线 x=1,且 a=1>0, ∴当 x=1 时,y=1-2-3=-4 是最小值;当 x=-3 时,y=9+6-3=12 是最大值. 7. 已知 y 关于 x 的函数关系式中,自变量 x 的取值范围为 a-2≤x≤a. (1)当函数为 y= -x-9 时,y 的最大值为 5,则 a 的值为　 -12　 ,y 的最小值为　 3　 ; (2)当函数为 y= x2 -4x+3 时. ①若 y 的最大值为 15,则 a 的值为　 0 或 6　 ; ②若 y 的最小值为 15,则 a 的值为　 -2 或 8　 ; ③若 y 的最小值为-1,则 a 的取值范围为　 2≤a≤4　 . 04 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 ★大单元整合练———函数图象的平移与对称 一、点、函数图象的平移 1. (1)直线 l 的位置如图所示,点 P 为直线 l 上一点,把直线 l 向右平移 4 个单位长度得到直线 l′,点 P 的对应点为点 P′,请在图中画出直线 l′和点 P′的位置; 解:如解图所示,直线 l′和点 P′即为所求. (2)把直线 y= -x+2 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,得到的直线的解析式 是　 y=-x-1　 ; 第 1 题图(解图) 　 　 　 第 2 题图(解图) 2. (1)抛物线的位置如图所示,点 P 为抛物线的顶点,将该抛物线向左平移 4 个单位长度,再向下平 移 2 个单位长度,请画出平移后的抛物线和点 P 的对应点 P′; 解:平移后的抛物线和点 P 的对应点 P′如解图所示. (2)将二次函数 y= (x-1) 2 +1 的图象向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,所得抛 物线的解析式为　 y=x2-1　 ; 14 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 (3)将二次函数 y= 3x2 +6x+2 的图象向右平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度所得抛物 线的解析式为　 y=3x2-6x+3　 . 二、点、函数图象的对称 点(x,y) 一次函数 y=kx+b 二次函数 y=ax2 +bx+c y=a(x-h) 2 +k 关于 x 轴对称 (x,-y) -y= kx+b -y=ax2 +bx+c -y=a(x-h) 2 +k 关于 y 轴对称 ( -x,y) y= k( -x) +b y=a( -x) 2 +b( -x) +c y=a(x+h) 2 +k 关于原点对称 ( -x,-y) -y= k( -x) +b -y=a( -x) 2 +b( -x) +c -y=a(x+h) 2 +k 对称规律 关于坐标轴对称时,关于谁对称谁不变,另一个变号 关于原点对称时,x,y 都变号 1. (1)直线 l 的位置如图所示,点 P 为直线 l 上一点,直线 l′与直线 l 关于 x 轴对称,直线 l″与直线 l 关于 y 轴对称,点 P 关于 x 轴对称的点为 P′,关于 y 轴对称的点为 P″,请在图①和图②中分别 画出直线 l′,点 P′和直线 l″,点 P″; 解:直线 l′,点 P′如解图①所示,直线 l″,点 P″如解图②所示. 第 1 题图①(解图①) 　 　 第 1 题图②(解图②) (2)直线 y= -x+1 关于 x 轴对称的直线的解析式为　 y=x-1　 , 关于 y 轴对称的直线的解析式为　 y=x+1　 , 关于原点对称的直线的解析式为　 y=-x-1　 . 2. (1)抛物线如图所示,点 P 是抛物线的顶点,将抛物线沿 x 轴翻折,请将所得的抛物线和点 P 的对 应点 P′在图中画出来; 解:所求抛物线和点 P 的对应点 P′如解图所示. 第 2 题图(解图) (2)抛物线 y= -2x2 -12x+15 关于 x 轴对称的抛物线的解析式为　 y=2x2+12x-15　 , 关于 y 轴对称的抛物线的解析式为　 y=-2x2+12x+15　 , 关于原点对称的抛物线的解析式为　 y=2x2-12x-15　 . 24 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 ★大单元整合练———函数与方程、不等式的关系 一、一次函数与一次方程(组)的关系 1. 如图,已知一次函数 y= kx+b(k≠0)的图象分别与 x,y 轴交于 A,B 两点,若 OA = 2,OB = 1,则 关于 x 的方程 kx+b= 0 的解为　 x=-2　 . 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 2. 如图,直线 y= 2x 与 y= kx+b 相交于点 P(m,2),则关于 x 的方程 kx+b= 2x 的解是 (　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x= 1 2 B. x= 1 C. x= 2 D. x= 4 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y= 2x+b 与直线 y= -3x+6 相交于点 A,则关于 x,y 的二元一 次方程组 y= 2x+b, y= -3x+6{ 的解是 (　 B　 ) A. x= 2, y= 0{ B. x= 1, y= 3{ C. x= -1, y= 9{ D. x= 3, y= 1{ 二、二次函数与一元二次方程的关系 1. 已知一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 x1 = -1,x2 = 3,则二次函数 y = ax2 +bx+c (a≠0)的对称轴是直线　 x=1　 . 2. 已知抛物线 y= x2 +bx+c 与 x 轴的两交点的横坐标分别为 α,β(α<β),而 x2 +bx+c-2 = 0 的两根 为 M,N(M<N),则 α,β,M,N 的大小顺序为 (　 B　 ) A. α<β<M<N B. M<α<β<N C. α<M<β<N D. M<α<N<β 3. 名师原创 对于题目“关于 x 的方程-x(x-3) +c= x+2 在 0≤x≤3 时只有 1 个解,求满足条件的 整数 c 的值. ”甲的结果是 c= 1,乙的结果是 c= 3 或 4,则 (　 D　 ) A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确 C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确 三、函数与不等式的关系 1. 已知不等式 kx+b>0 的解集是 x<-2,则一次函数 y= kx+b 的图象大致是 (　 A　 ) 34 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 2. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图,一次函数 y= kx+b(k,b 为常数,且 k<0)的图 象与直线 y= 1 3 x 都经过点 A(3,1),当 kx+b< 1 3 x 时,根据图象可知,x 的取值范围是 (　 A　 ) 第 2 题图 A. x>3 B. x<3 C. x<1 D. x>1 3. 已知反比例函数 y= k x (k≠0)的图象与正比例函数 y=mx(m≠0)的图象交于点 A(1,3) . (1)不等式 k x >mx 的解集是　 x<-1 或 0<x<1　 ; (2)不等式 k x <mx 的解集是　 x>1 或-1<x<0　 . 4. 如图所示,二次函数 y= -x2 +mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和(4,0) . 第 4 题图 (1)不等式-x2 +mx>0 的解集为　 0<x<4　 ; (2)不等式-x2 +mx≤0 的解集为　 x≤0 或 x≥4　 . ★大单元整合练———实际意义的理解 一、与代数式相关 1. 某文具的进价为 a 元,已知销售一件这种文具能盈利 50%,则 3a 元表示:　 销售两件这种文具的 销售额(答案不唯一) 　 . 2. 请你为代数式 6x+3y 赋予一个实际意义:　 一支钢笔 x 元,一支铅笔 y 元,小红买了 6 支钢笔和 3 支铅笔,共付了多少钱(答案不唯一) 　 . 3. 某网店进行促销,将原价 a 元的商品以(0. 8a-20)元出售,该网店对该商品促销的方法是　 打八 折后再让利 20 元　 . 二、与方程(组)不等式(组)相关 4. 某校购买了一批篮球和足球. 已知购买足球的数量是篮球的 2 倍,购买足球用了 5 000 元,购买篮 球用了 4 000 元,篮球单价比足球贵 30 元. 根据题意可列方程5 000 2x = 4 000 x -30,则方程中 x 表示 (　 D　 ) A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 44 教师备课尊享·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 5. 某品牌护眼灯的进价为 240 元. 节假日期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于 20%的价格 降价出售. 若根据题意列出的不等式为x -240 240 ×100%≥20%,则 x 代表的意义是　 商店以 x 元的价 格出售该品牌护眼灯　 . 三、与函数相关 6. 某公共汽车线路收支差额 y(万元)(票价总收入减去运营成本)与乘客数量 x(万人)之间的关系 如图所示,则点 A 的实际意义为　 该公共汽车线路的运营成本为 1 万元　 . 第 6 题图 7. 某通讯公司开展营销活动,设置了甲、乙两种手机资费套餐,手机资费 y(元)与通话时间x(分)之 间的关系如图所示: 第 7 题图 (1)点 B 的实际意义:　 当通话时间为 30 分钟时,甲套餐的手机资费是 9 元　 ; (2)说明线段 AB 的实际意义:　 通话时间不超过 30 分钟时,甲套餐手机资费是 9 元　 ; (3)点C的实际意义:　 当通话时间为150分钟时,甲、乙两种套餐的手机资费一样,都是39元　 ; (4)乙套餐手机资费 y(元)与通话时间 x(分)之间的关系为 y1 = k1x+b1,请通过计算说明 k1,b1 的 实际意义. 解:将点(30,27)和点(150,39)代入 y1 =k1x+b1 中,解得 k1 =0. 1,b1 =24, k1 的实际意义为每分钟的通话费用为 0. 1 元,b1 的实际意义为乙套餐的固定资费为 24 元. 8. 开放性试题 [2022 年版课标例 68 节选]如图,对于给定图象想象图象表示的函数关系. 第 8 题图 请就符合上述图象的情境进行描述:　 小河的爸爸出门散步,从家走了 20分钟到达离家 900米的公园, 爸爸在公园原地休息了 10分钟,然后用了 15分钟返回家　 . (写出一种即可) 54