第10讲：三角函数中任意角 、同角三角函数基本关系与诱导公式期末题型归纳【12大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第10讲：三角函数中任意角 、同角三角函数基本关系与诱导公式期末题型归纳 【考点梳理】 · 考点01、 终边相同的角 · 考点02、 象限角 · 考点03、 弧度制 · 考点04、 弧长公式和面积公式 · 考点05、 任意角的三角函数 · 考点06、 各象限三角函数的符合 · 考点07、 同角三角函数的基本关系 · 考点08、 诱导公式 · 考点09、 同角三角函数平方关系的巧用 · 考点10、 正、余弦的齐次化计算 · 考点11、 诱导公式的化简求值问题 · 考点12、 三角函数基本关系的综合问题 【考点梳理】 知识点01：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点02：同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 知识点03：六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 知识点04：技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【题型归纳】 题型01、 终边相同的角 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·北京·期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02、 象限角 4．（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 6．（21-22高一上·四川凉山·期末）若是第二象限的角，则是（ ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 题型03、 弧度制 7．（21-22高一上·河南新乡·期末）现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）    A． B． C． D． 题型04、 弧长公式和面积公式 10．（23-24高一上·山东临沂·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（    ）    A．960 B．480 C．320 D．240 11．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 题型05、 任意角的三角函数 13．（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（22-23高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型06、 各象限三角函数的符合 16．（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 17．（23-24高一上·云南迪庆·期末）对于①，②，③，④．⑤，⑥，则为第三象限角的充要条件为（    ） A．①③ B．④⑥ C．②③ D．②⑤ 18．（21-22高一上·云南曲靖·期末）在下列各选项中，角为第二象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型07、 同角三角函数的基本关系 19．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一下·辽宁鞍山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型08、 诱导公式 22．（23-24高一上·浙江丽水·期末）化简 ． 23．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知， 的值为 . 24．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知角的终边上有一点P的坐标是，，则 ． 题型09、 同角三角函数平方关系的巧用 25．（23-24高一上·湖北·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高一下·江西上饶·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型10、 正、余弦的齐次化计算 28．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 29．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，则 . 30．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若，则 题型11、 诱导公式的化简求值问题 31．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值． 32．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知，α是第三象限角，求： (1)的值； (2)的值． 题型12、 三角函数基本关系的综合问题 33．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知角的终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 34．（23-24高一上·福建龙岩·期末）在①角的终边与单位圆的交点为；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知，且，_________． (1)求的值； (2)求的值． 35．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A点，将绕点O按逆时针方向旋转角后，终边在第二象限和单位圆交于B点．点A的横坐标为，点B的横坐标为．    (1)求的值；(2)求的值；(3)求的值． 36．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【强化精练】 一、单选题 37．（23-24高一下·山东威海·期末）半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 39．（22-23高一上·浙江湖州·期末）（　　） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 42．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 45．（23-24高一上·天津和平·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 46．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列各说法，正确的是（       ） A．半圆所对的圆心角是rad B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．是第一象限角 D．若是第四象限角，则 47．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列结论正确的是（　　） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．若角 的终边过点，则 D．若，则 48．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则为第二象限角 B． C．若，则（） D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为 49．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（21-22高一上·广东湛江·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 51．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 52．（23-24高一上·上海·期末）已知角的终边过点，且，则角的弧度数是 . 53．（23-24高一下·上海徐汇·期末）若为锐角，，则 . 54．（23-24高一上·湖南·期末）化简： . 55．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知是第三象限角，且，则 ． 四、解答题 56．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 57．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 58．（23-24高一上·福建漳州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 59．（23-24高一上·广东茂名·期末）（1）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点．求的值； （2）已知都是锐角，，求的值． 60．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知. (1)化简； (2)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲：三角函数中任意角 、同角三角函数基本关系与诱导公式期末题型归纳 【考点梳理】 · 考点01、 终边相同的角 · 考点02、 象限角 · 考点03、 弧度制 · 考点04、 弧长公式和面积公式 · 考点05、 任意角的三角函数 · 考点06、 各象限三角函数的符合 · 考点07、 同角三角函数的基本关系 · 考点08、 诱导公式 · 考点09、 同角三角函数平方关系的巧用 · 考点10、 正、余弦的齐次化计算 · 考点11、 诱导公式的化简求值问题 · 考点12、 三角函数基本关系的综合问题 【考点梳理】 知识点01：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点02：同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 知识点03：六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 知识点04：技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【题型归纳】 题型01、 终边相同的角 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 2．（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合. 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C 3．（22-23高一上·北京·期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D. 【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同， 故与的终边相同的角的集合 即选项B正确； 选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限. 故选：B. 题型02、 象限角 4．（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 5．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 【答案】B 【分析】先根据所在的象限确定的范围，从而确定的范围，讨论为偶数和为奇数时所在的象限即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以，， 则，， 当为偶数时，为第一象限角， 当为奇数时，为第三象限角. 故选：B. 6．（21-22高一上·四川凉山·期末）若是第二象限的角，则是（ ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】A 【分析】由的范围，除以2，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】解：是第二象限角， ， ， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 是第一或三象限角． 故选：A． 题型03、 弧度制 7．（21-22高一上·河南新乡·期末）现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大轮与小轮转过的弧长相等即可求解. 【详解】当小轮转一周时，大轮转动周， 所以大轮转动的弧度是． 故选：C. 8．（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】直接根据扇形的面积公式为，然后代入数据解得即可 【详解】扇形的面积公式为：（为扇形圆心角的弧度数） 则有： 解得： 故答案选： 9．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，即可求解. 【详解】由题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为， 则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气， 所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为. 故选：C. 题型04、 弧长公式和面积公式 10．（23-24高一上·山东临沂·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（    ）    A．960 B．480 C．320 D．240 【答案】B 【分析】利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】易知，根据题意可知扇面的面积为. 故选：B 11．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出的“古典正弦”值. 【详解】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则， 所以. 故选：B 12．（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【详解】 可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积， 故选：C 题型05、 任意角的三角函数 13．（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 故选：C. 14．（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义列方程求得的值. 【详解】依题意，，解得. 故选：D 15．（22-23高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】因为点是角终边上一点，且， 由三角函数的定义可得，则，解得. 故选：B. 题型06、 各象限三角函数的符合 16．（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可. 【详解】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 17．（23-24高一上·云南迪庆·期末）对于①，②，③，④．⑤，⑥，则为第三象限角的充要条件为（    ） A．①③ B．④⑥ C．②③ D．②⑤ 【答案】D 【分析】根据三角函数值的正负性，结合充要条件的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，，所以为第一象限角，因此不符合题意； B：因为，，所以为第二象限角，因此不符合题意； C：因为，，所以为第四象限角，因此不符合题意； D：因为，，所以为第三象限角， 显然当为第三象限角时，，成立， 故选：D 18．（21-22高一上·云南曲靖·期末）在下列各选项中，角为第二象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数值的正负判断各选项中所在象限，由此可判断出结果. 【详解】对于A：时，为第三象限或轴负半轴或第四象限角， ，为第一象限或轴正半轴或第四象限角， 故为第四象限角，故A错误； 对于B：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角， ，为第一象限或第三象限角， 故为第一象限角，故B错误； 对于C：时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角， ，为第一象限或第三象限角， 故为第三象限角，故C错误； 对于D：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角， 时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角， 故为第二象限角，故D正确； 故选：D. 题型07、 同角三角函数的基本关系 19．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】因为，，则. 故选：D 20．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方式与商式关系，可得答案. 【详解】因为，，所以，则. 故选：A. 21．（22-23高一下·辽宁鞍山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据商数关系求出，再利用平方和关系即可得到答案. 【详解】， ∵，∴. 故选：D. 题型08、 诱导公式 22．（23-24高一上·浙江丽水·期末）化简 ． 【答案】1 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】. 故答案为：1. 23．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知， 的值为 . 【答案】2 【分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2. 24．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知角的终边上有一点P的坐标是，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，求得，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由角的终边上有一点P的坐标是，可得， 则. 故答案为：. 题型09、 同角三角函数平方关系的巧用 25．（23-24高一上·湖北·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出即可得解. 【详解】由，得，解得， 由，得，则，于是， 解得，所以. 故选：C 26．（23-24高一上·山西太原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，且，判断出，再利用平方关系求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 则， 故选：B 27．（22-23高一下·江西上饶·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果． 【详解】因为， 平方得，又 故， 则． 故选：B. 题型10、 正、余弦的齐次化计算 28．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】由,然后用齐次化的方法求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 29．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若，则 . 【答案】或 【分析】利用齐次式法列式，求解方程即得. 【详解】由，得，即，整理得， 所以或. 故答案为：或 30．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若，则 【答案】/ 【分析】不难发现所求式易于转化成正余弦的齐次式，故通过弦化切即可计算得到. 【详解】由，因，故. 故答案为：. 题型11、 诱导公式的化简求值问题 31．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数关系化简已知等式，即可求得答案； （2）判断角所在象限，分类讨论，根据同角三角函数关系求出的值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得 . 得，即; （2）由，知，则为第一象限角或第三象限角， 代入，得， 当为第一象限角时，，， 所以 当为第三象限角时，，， 所以 综上所述，或 32．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知，α是第三象限角，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，α是第三象限角， 则， 所以tan； （2）. 题型12、 三角函数基本关系的综合问题 33．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知角的终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数定义得，进一步结合诱导公式化简求值即可； （2）由平方关系、商数关系化成关于的齐次式即可求解. 【详解】（1）由条件知， ． （2） ． 34．（23-24高一上·福建龙岩·期末）在①角的终边与单位圆的交点为；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知，且，_________． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选条件①：根据满足单位圆方程求解；选条件②：根据正弦的二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解；选条件③：根据同角三角函数的关系求解；均可得的值，再根据诱导公式化简即可； （2）根据题意可得，再根据，展开后根据同角三角函数的关系结合角度范围分别求解正余弦值，从而求得，进而根据角度范围可得. 【详解】（1）选条件①：因为角的终边与单位圆的交点为， 可得，又为锐角，所以， 所以由三角函数的定义可得 选条件②： 因为，为锐角，所以； 又因为，得. 选条件③：因为，， 所以得， 又因为为锐角，所以，，. 故 ； （2）， 由（1），， . . 35．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A点，将绕点O按逆时针方向旋转角后，终边在第二象限和单位圆交于B点．点A的横坐标为，点B的横坐标为．    (1)求的值；(2)求的值；(3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及诱导公式计算即可； （2）利用诱导公式，二倍角公式计算即可； （3）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及商数关系结合余弦的差角公式计算即可. 【详解】（1）由题意及三角函数定义可知，，所以， 由诱导公式可知； （2）由（1）及二倍角公式可知 ， 又，所以，故（负值舍去）； （3）由题意可知，为第二象限角， 所以， 所以 ， 因为，为第二象限角，， 则为第二象限角，即， 所以 36．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简； （2）利用同角三角函数的基本关系求值计算，注意“符号优先”. 【详解】（1）. （2）∵为第三象限角，∴，， 又因为. 故，. 【强化精练】 一、单选题 37．（23-24高一下·山东威海·期末）半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形面积公式计算即得. 【详解】依题意，扇形的面积为. 故选：B. 38．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 【答案】C 【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同的角判断C，确定所在象限判断D. 【详解】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误； 是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误； 因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确； 且，所以是第三象限角，故D错误. 故选：C 39．（22-23高一上·浙江湖州·期末）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即. 【详解】. 故选：C 40．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，，再代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，， 所以 . 故选：D 41．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意结合齐次式问题分析求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 42．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式可得解. 【详解】由诱导公式可得， 又， 故选：A. 43．（23-24高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义求出，再利用诱导公式化简，结合齐次式法计算即得. 【详解】显然点都在直线上，由正切函数定义得， 所以. 故选：B 44．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式可得，代入原式，化简即可求解. 【详解】由题意知，， 所以 . 故选：A 45．（23-24高一上·天津和平·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可. 【详解】 因为角的终边经过点，则，则， 故选：C. 二、多选题 46．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列各说法，正确的是（       ） A．半圆所对的圆心角是rad B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．是第一象限角 D．若是第四象限角，则 【答案】AB 【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式判断ABC，由三角函数在各象限符号判断D． 【详解】对A,根据角度制和弧度制的定义可知，半圆所对的圆心角是，即rad,所以A正确； 对B,由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确； 对C,是第四象限角，故C错误； 对D,若是第四象限角，则,故D错误. 故选：AB． 47．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列结论正确的是（　　） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．若角 的终边过点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，解得终边相同角的表示，扇形的弧长、面积公式，以及三角函数的定义和三角函数的基本关系式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以与的终边相同，表示第二象限角，所以A错误； 对于B中，设扇形的所在圆的半径为 ，因为圆心角为的扇形的弧长为， 可得，解得，所以扇形的面积为，所以B正确； 对于C中，由角的终边过点，可得， 根据三角函数的定义，可得，所以C正确； 对于D中，由，则，所以D正确. 故选：BCD. 48．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则为第二象限角 B． C．若，则（） D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为 【答案】ABD 【分析】根据三角函数值符号判断象限角得出A选项，根据诱导公式求解B选项，特殊值法确定C选项，根据角的终边再确定半角范围确定函数值符号解决D选项. 【详解】若，则为第二或四象限角，又，则为第一或二象限角或终边为y轴非负半轴，则为第二象限角， 故A选项正确； ，B选项正确； 当时，满足，此时，不满足（）， 故C选项错误； 角的终边在第一象限，则角的终边在第一或第三象限， 当角的终边在第一象限时，， 当角的终边在第三象限时，， 故则的取值集合为，D选项正确. 故选：ABD 49．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断. 【详解】由.故A正确； ，故C正确； ，故D错误； 因为，所以为第一或第三象限角. 若为第一象限角，则，所以； 若为第三象限角，则，所以. 所以B错误. 故选：AC 50．（21-22高一上·广东湛江·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果． 【详解】解：∵，故A正确； ,故B正确； ，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 三、填空题 51．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 52．（23-24高一上·上海·期末）已知角的终边过点，且，则角的弧度数是 . 【答案】 【分析】首先判断角为第二象限角，再根据三角函数的定义及诱导公式得到，即可得解. 【详解】因为角的终边过点， 又，所以，，所以角为第二象限角， 因为，所以， 所以， 又，所以. 故答案为： 53．（23-24高一下·上海徐汇·期末）若为锐角，，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值，再结合诱导公式求值即可. 【详解】因为为锐角， 所以，则. 故答案为：. 54．（23-24高一上·湖南·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简，结合商数关系得解. 【详解】原式. 故答案为：. 55．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知是第三象限角，且，则 ． 【答案】2 【分析】先解方程得，然后利用诱导公式化简，再弦化切可得. 【详解】由得， 解得或， 又是第三象限角，所以， 故． 故答案为：2 四、解答题 56．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，， 所以，又为第三象限角， 所以，所以； （2）由诱导公式化简得： ． 57．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求值； （2）根据诱导公式求值化简即可. 【详解】（1）由三角函数的定义知：， 所以. （2）由题化简原式得： . 58．（23-24高一上·福建漳州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案； （2）由与诱导公式可得，后由可得答案. 【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得， 即，所以； （2）由诱导公式，结合题意可得：， 又，则， 又，则 59．（23-24高一上·广东茂名·期末）（1）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点．求的值； （2）已知都是锐角，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可. （2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解. 【详解】（1） （2）由，可得， 又由，有， ， ． 60．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）运用诱导公式及同角三角函数的关系求解； （2）利用齐次式进行弦化切代入求解. 【详解】（1）； （2）由（1）易得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$