第4章 第18讲 相似三角形 (精练本)-【中考123】2025年中考一轮总复习数学（内蒙古专用）

见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 ∴△ACE≌△BDF(AAS). ∵AC//FG,∴∠HAC=∠HFG 在△AHC和△FHG中， ∴△AHC≌△FHG(AAS), ∴ AH=FH. (2)解：∵△ACE≌△BDF,AC=2, ∴BD=AC=2. 又，AB=8 .. CD=AB-AC-BD=4. 14.(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD. 由作图知 AE=AF. 在△ADE 和△ADF中， AAeArs 第18讲 相似三角形(含位似) 基础集训 1.B 2.C [解析]∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB// CD,: △ABFN△DGF,0G=0F=2,:AB=CD= (2)解：∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD=40°. 2DG,:CG=CD+DG=3DG,:Cc=3∵AB//CD, 由作图知AE=AD,∴∠ADE=70°. ∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线， ∴.△ABEM△CGE,.BG=C=3故选C. ∴. AD⊥BC(依据：等腰三角形性质的“三线合一”), ∴∠ADB=90°,∴∠BDE=20°. 3.B 4.12 5.3 6.3或5或6 7.B 8.D 9.(6-2a,-2b) 15.(1)解：∵∠A=90°,AB=AC,∴ BC=√2AB. 微专题6 相似三角形的常考模型∵BC=AB+BD, 1.D 2.C 3.A 4.10或 5.C∴√2AB=AB+BD,即(√2-1)AB=BD. (2)证明：如答图① 6.3 [解析]由题意可知，∠BCE =∠EDF=∠BEF= A 90°(正方形的性质),∴∠CBE+∠BEC=90°,∠BEC F +∠DEF= 90°,∴ ∠CBE = ∠DEF,∴△BCE △EDF,.BC=9∵BC=CD=AB=4,CE=2,:.DEB E2 C D =DC+CE=2+4=6,∴DF=3. 15题答图① 7.135°[解析]如答图，设 AC与 BD交于点G,由旋转 的性质可知，CD=DE =AB= BC=2,CE =AC=2√2 C(旋转前后的图形全等，对应边和对应角相等), ∵CE=CB,∠1=∠2,CF=CD, ∴△CEF≌△CBD,∴∠E=∠DBC,∴EF//BD. ∵BD⊥AB,∴ EF⊥AB. (3)证明：如答图②,延长 EF,CH交于点G. =Co=√2.∵∠DCE= ∠ACB=45°,∴ LDCE+ ∠ACD= ∠ACB+ ∠ACD,即∠ECA=∠BCD, ∴△CAE∽△CBD,∴∠EAC = ∠DBC.∵∠DGA = ∠BGC,∴∠AFB=∠ACB=45°,∴∠BFE=135°. G A H F B EC AD DF 15题答图② ∵EF⊥AB,AC⊥AB, ∴. GE//AC,∴∠CGE=∠ACG. ∵CH平分∠ACE,∴∠ACG=∠ECG, ∴∠CGE=∠ECG,∴ EG=EC,∴ EG=BC. ∵△CBD≌△CEF,∴ EF=BD. ∵BC=AB+BD,EG=FG+EF, ∴. AB+BD=FG+EF,∴ FG=AB=AC. G E B C 7题答图 8.25 [解析]∵△ABC和△AB'C'绕着点A旋转能够重 合，:AB=AB'=5,AC=AC'=3,4G=AC=3 ∵∠BAC=∠B'AC',∴∠BAC+∠BAC'=∠B'AC1+ —22— 见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 ∠BAC',∠BAB′=∠CAC',∴ △ABB'n△ACC'. 又∵∠NFD=∠MEC,∴△NFD∽△MEC,∴∠ECM= ∠FDN.∵∠FDB=∠ECD,:∠NDB=∠MCD,: MG //ND,∴ S△MNc = S△Moc·∵ DM=2ME,∴S△EMc= 2samc=2samc,: Ssc=2samc故选D 袋=3,S=(4器)=-5 9.2 中考集训 1.B E 2.B [解析]如答图，根据光的反射定理，得∠AOB= ∠COD,:tan∠AOB= tan∠COD.又∵∠ABO=∠CDO =90°,.OB=,即16=C0,.CD=8,故旗杆高度 为8m F N M B4 D C 6题答图 7.3 8.2C 9.√m2+n2[解析]如答图，∵三角形ABC是等边三角 形，∴∠B=∠A=∠C=60°??折叠可知∠F=∠B= 60°,S△FDE =S△BoE.∵ DE将三角形ABC分为面积相等 的两部分，∴S四边形ADEc=S△BDE=S△FDE,∴S?=S?+S?. 易证△ADG~△FHC^△CHE,.s=2e=m①, -=② A 0 B D 2题答图 3.C [解析]∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C= 60°??∠ADB = ∠ADE +∠BDE =∠C+∠DAC, ∠ADE =60°,∠BDE =∠DAC,∴△ADC∽△DEB, (关键点：由相似把面积之比转化为 器-器：0=40,sm=4nc,- c+c=1,线段长度之比的平方),由①+②得 ∴HG2=m2+n2,∴ HG=√m2+n2 =5,.AD=5×DE=3. A G ,AB=Bc: DE=4.D [解析]∵点D是AB的中点， D S H 2BC=1.易知当点E为AC的中点时满足条件，记为 S3B E C E,如答图，此时 DE?是△ABC的中位线，∴DE?// 9题答图 10.4BC,∴∠ADE?=∠B=90°,∴AE?=2DE?=2.以点 D 为圆心，DE?为半径作弧，交 AE?于点E?,此时 DE?= 11.15 [解析]如答图，由题意可知 AB=BC=10,CH= DE?=1.∵∠AE?D=90°-∠A=60°,∴△DE?E?为等 边三角形，∴ E?E?=1,∴. AE?=1.综上，AE=1或2. CE=EI=6,EG=4,∴CG=10,BG=20.易知AB//CD //EF,∴. △EFGM△CDG~△BAG,∴BG=ABBG=A E? DG,即20=020=0.解得 EF=2,CD=5,∴ FI=E?D EI-EF=4,DH=CH-CD=1,∴Sm影=S形DH=1 B C x(1+4)x6=15 4题答图 105.C A 6.D [解析]如答图，连接ND.∵DE//AB,DF//AC, ∴∠ECD=∠FDB,∠FBD=∠EDC,∴△FBD∽△EDC, .∠NFD=∠MEc,器=Ec∵BN=2NF,DM=2ME, :.NR=3BF,ME= DE, ME-BE器= H6 4D F B C E G 11题答图 —23— 见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 12.4 [ 解析]题图①中, DE//BC,=A 由勾 股定理，得AC=√AB2+BC2=√82+62=10.题图 AB=②中，由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE.又 ,△ABD一△ACE(依据:两边成比例且夹角相等 CB-AC=10=号的两个三角形相似),∴ ∵△OBF^△BAF,O-A ∴BF2=0F·AF,∴BF2=3(0A+3).② 由①②,得BF=1+√19(负值已舍去), ∴DE=BE=2+1+√19=3+√19. 15.(1)证明：由题意知 AD=CD,∴∠A=∠DCA. 又∵∠A=∠CBE,∴∠DCA=∠CBE, ∴.CD//BE,∴∠DCE=∠BEF. ∵EF=AD,AD=CD,∴EF=CD. D-CD13.解：选择( ∵三角形 BCE是以 BC为底的等腰三角形， ∴CE=BE,∴△DCE≌△FEB,∴ DE=BF证明：△ACD∽△A'C'D', ∴. ∠ADC=∠ADC,AD=CD, ∠ADB=/A'D'R' CD=CDBD=CD,又∵ (2)解：如答图，取CE的中点H,连接GH ∵点G是 DE的中点， .GH=2cD=2AD=1,CH//CD. 设BE=a,则CH=EH= cE=?B=2a.BD=CD=A0, ∴△ABD一△A'B'D'. 或选择③∠BAD=∠B'A'D' 证明：∵△ACD∽△A'C'D', 则 ∵EF=AD=2,: FH=2a-2. ∵CD//BE,GH//CD,∴ GH//BE, ∴△FGH∽△FBE, -,即- ∴a=2+2√2(负值已舍), ∴∠ADC=∠A'D'C',∴∠ADB=∠A'D'B'. ∵∠BAD=∠B'A'D',∴△ABD△A'B'D'. 14.(1)证明：如答图，∵四边形 ABCD为矩形， ∴.0C=OD,AB//CD,∴∠2=∠3=∠4. ∵ DE=BE,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3. 又∵BE平分∠DBC,∴∠1=∠6,∴∠3=∠6. 又∵∠3+∠5=90°,∴∠6+∠5=90°,∴ BF⊥AC. ∴BE=2+2√2. E G F D(2)解：△ECF,△BAF与△OBF相似.理由如下： H 如答图，由(1)知∠1=∠2, A2 BC ∵AB//CD,∴∠2=∠3=∠4,∴∠1=∠4. 15题答图 又∵∠OFB=∠BFO,..△OBF∽△BAF. 第19讲 锐角三角函数及其应用 ∵∠1=∠3,∠0FB=∠EFC,∴△OBF∽△ECF. 基础集训 ED C 1.B 2.2 3.D 4.C 5.A 0 6.(50+50√3) A B 微专题7 解直角三角形的实际应用的常考模型14题答图 1.解：∵四边形ABCD为正方形，点D,A,E在一条直线上， (3)解:△OBF一△ECF,= ∴∠EAB=90. 由题意知，∠FAH=90°, .∠ EAF=/BAH ∴tan∠EAF= tan∠BAH 在Rt△ABH中,tan∠BAH=册==号 ∵OF=3,EF=2, 3=BF.3CF=2BF. ∵0A=0C,∴.0A=0F+CF, ∴30A=3CF+30F,∴30A=2BF+9.① —24— m123 第18讲 相似三角形(含位似) 基础集训 [答案P22] 。命题点1 比例的性质 1.(2024·山西二模)如图,在△ABC中.DE/BC,AD=2.BD=3,AC=10.则AE的长为 ( A.3 C.5 B.4 D.6 B 1题图 2题图 2.(2024·乌海模拟)如图,在平行四边形ABCD中,F是AD上一点,目AF三2FD.连接BF并延长,交 ( _~ D 。命题点2 相似三角形的判定及性质 3.(2023·哈余读)如图,AC.BD相交于点O.AB/DC.M是AB的中点.MN/AC.交BD于点N.若 D0:0B=1:2.AC=12.则MN的长为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 ___#_#_# 3题图 4题图 5题图 4.(2024·宁)如图,AB/CD.AD与BC相交于点0.且△A0B与△DOC的面积比是1:4,若AB=6,则 CD的长为 5.(2024·赤峰模拟)如图,在△ABC中.延长AC至点D.使CD=CA.过点D作DE//CB.且DE=DC.连 接AE交BC于点F.若CAB=CFA,CF=1,则BF=__. 6.(2024·呼和浩特模拟)在矩形ABCD中,AB=9,AD=12,点E在边CD上,且CE=4,点P是直线BC 上的一个动点,若△APE是直角三角形,则BP的长为 。命题点3 位似图形 7.(2024·鄂参斯模拟)如图,△ABC与△DEF位似,点0为位似中心,相似比为2:3.若△ABC的周 ( 长为4,则△DEF的周长是 ) C.9 A.4 B.6 D.16 .D D A 0 7题图 8题图 9题图 四边形ABCD的面积是2,则四边形ABC'D的面积是 A.4 B.6 C.16 D.18 9.(2023·兴安盟模拟)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1:2,点A是位似中 心,已知点A(2.0),点C(a.b),乙C=90则点C的坐标为 _.(结果用含a,的式子表示) 微专题6 相以三角形的常考模型 [答案P22] o模型一 平行线模型 1.(2024·哈杂滨模拟)如图.一路灯G距离地面5.6米,身高1.6米的小方从距离灯的底部(点0)5米 的A处沿0A所在直线走了7.5米到达点C处,那么小方在点A处影长的端点B到在点C处影长的 ( 端点D的距离BD为 _ A.5米 C.7米 B.5.5米 D. 10.5米 _#### B 1题图 2题图 3题图 4题图 2.(2024·合州二模)如图,在口ABCD中,点E在边AD上,且AE=ED,连接BE并延长交CD的延长线 ( 于点F,则△FED与口ABCD的面积之比为 _ A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 。模型二 斜交模型 S ( _ D 4.(2024·州模拟)如图,在△ABC中,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且AD= 点E,使以A.D.E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE等于 见此图标号扫音/信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第四章 三角形 o模型三 一线三等角模型 5.(2024·东营二模)如图,在四边形ABCD中,AD=4.AB=10.点E是AB的中点,连接DE,CE,若/A ( P25 D2 5题图 6.(2024·通化模拟)如图,在正方形ABCD中,AB=4.点E是DC延长线上一点,连接BE,过点E作EF 1BE,与AD的延长线交于点F.若CE=2.则DF的长为。 6题图 7题图 8题图 9题图 o模型四 手拉手模型 7.(2024·实赛二模)如图.在Rt△ABC中./ABC=90*.AB=BC=2.将AABC绕点C顺时针旋转后得 到△EDC,连接AE,BD相交于点F,则乙BFE的度数为 8.(2024·营口模拟)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,将△ABC绕着点A旋转后与△AB'C'重合,连接 $An的值为. BB',CC',则 $_c0 。模型五 对角互补模型 的值为 中考集] [答案P23] 满分:100分 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.(2023·贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,B=ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB 的周长比是 ) A.1:2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 C B 1题图 2题图 2.(2024·寓克)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后 向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼 -87- 见此图标号扫音/微信扫码 数学·精练本1 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 晴离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗 杆高度为 ) B.8m C.9.6m A.6.4m D.12.5m 3.(2024·东营)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,乙ADE=60*$若BD=4DC, DE=2.4,则AD的长为 ) B.2.4 C.3 A.1.8 D.3.2 0 C 3题图 5题图 4题图 6题图 4.(2024·徐州)如图,在△ABC中,B=90*}. A=30*},BC=2.D为AB的中点:若点E在边AC上,且 AD DE ,则AE的长为 ) AB=BC' C.1 B.2 A.1 D.1或2 5.(2023·达州)如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点 F处,若CD=3BF,BE=4.则AD的长为 ) B.12 A.9 C.15 D.18 6.(2023·绍兴)如图,在△ABC中.D是边BC上的点(不与点B.C重合).过点D作DE/AB交AC于 点E,过点D作DF/AC交AB于点F.N是线段BF上的点,BN=2NF,M是线段DE上的点,DM= 2ME.若已知△CMV的面积,则一定能求出 ) A.△AFE的面积 B.△BDF的面积 C.△BCV的面积 D.△DCE的面积 二、填空题(每小题5分,共30分) ##_# 7题图 8题图 9题图 9.(2023·武汉)如图,DE将等边三角形ABC分为面积相等的两部分,折叠△BDE得到△FDE,AC分别 与 DF,EF相交于G.H两点.若DG=m.EH=n.用含m.n的式子表示GH的长是 -88- 10.(2024·合州)如图,点E.F.G分别在正方形ABCD的边AB.BC.AD上.AF1EG.若AB=5.AE=DG =1.则BF=__. G D 10 # C 12题图① 10题图 11题图 12题图② 11.(2023·广东)边长分别为10.6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则 图中阴影部分的面积为 $2.(2024·常德)如图①,在Rt△ABC中, ABC=90*AB=8,BC=6,D是AB上一点,且AD=2,过点 三、解答题(共40分) 13.趋(12分)(2024·盐城)如图,在△ABC与△A'B'C'中,点D,D分别在边BC,B'C'上,且△ACD △ACD',若。 ,则△ABD△AB'D'. _00 加以证明. C 13题图① 13题图② -8- 14.(14分)(2024·奉安)如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与BD相交于点0.BE与AC 相交于点F. (1)若BE平分乙CBD.求证:BF1AC; (2)找出图中与△0BF相似的三角形,并说明理由 (3)若0F=3.EF=2,求DE的长度 “## 14题图 15.(14分)(2023·烟舍)点C为线段AB上一点,分别以AC.BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作 等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,目/A三/CBE.在线段EC 上取一点F.使EF=AD.连接BF.DE (1)如图①,求证:DE=BF; (2)如图②.若AD=2.BF的延长线恰好经过DE的中点G.求BE的长 B 15题图① 15题图② -90