2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷（含答案）

1 2022 年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1．（2022•鄂尔多斯）如图，数轴上点 A表示的数的相反数是 ( ) A． 2 B． 1 2  C．2 D．3 第 1 题图 第 6 题图 2．（2022•鄂尔多斯）下列几何体的三视图中没有矩形的是 ( ) A B C D 3．（2022•鄂尔多斯）一组数据 2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是 ( ) A．平均数是 4.4 B．中位数是 4.5 C．众数是 4 D．方差是 9.2 4．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是 ( ) A． 3 2 2 3 5 52 3a b a b a b  B． 2 3 6 3( 2 ) 6a b a b   C． 2 12 4    D． 2 8 3 2  5．（2022•鄂尔多斯）下列尺规作图不能得到平行线的是 ( ) A B C D 6．如图， 15AOE  ，OE平分 AOB ，DE OB∥ 交OA于点 D，EC OB ，垂足为C．若 2EC  ， 则OD的长为 ( ) A．2 B． 2 3 C．4 D． 4 2 3 7．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是 ( ) ①若二次根式 1 x 有意义，则 x的取值范围是 1x ． ② 7 65 8  ． 2 ③若一个多边形的内角和是540，则它的边数是 5． ④ 16 的平方根是 4 ． ⑤一元二次方程 2 4 0x x   有两个不相等的实数根． A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④ 8．（2022•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆 1O 与 2O 的半径为 3 米，且 1O 经过 2O 的圆心 2O ．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为 ( ) A． 4π 米 B． 6π米 C．8π 米 D．12π 米 第 8 题图 第 9 题图 9．（2022•鄂尔多斯）如图，菱形 ABCD中， 2 3AB  ， 60ABC  ，矩形 BEFG的边 EF 经过点C ， 且点G在边 AD上，若 4BG  ，则 BE 的长为 ( ) A． 3 2 B． 3 3 2 C． 6 D．3 10．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形 ABCD中，点M 是 AB的中点，点 N是对角线 BD上一动 点，设 DN x ， AN MN y  ，已知 y与 x之间的函数图象如图②所示，点 (E a， 2 5) 是图象的最 低点，那么 a的值为 ( ) A． 8 2 3 B． 2 2 C． 4 2 3 D． 4 5 3 图① 图② 第 12 题图 第 14 题图 第 10 题图 二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分） 11．（2022•鄂尔多斯）截止 2022 年 1 月中国向 120 多个国家和国际组织提供超 20 亿剂新冠疫苗， 是对外提供此疫苗最多的国家．20 亿用科学记数法表示为 ． 3 12．（2022•鄂尔多斯）如图，在 ABC△ 中，边 BC的垂直平分线DE交 AB于点 D，连接 DC，若 3.7AB  ， 2.3AC  ，则 ADC△ 的周长是 ． 13．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为 1 2 ， 4 5 ， 7 10 ， 10 17 按此规律排列，则第 30 个数是 ． 14．如图， AB BC 于点 B， AB AD 于点 A，点 E是CD中点，若 5BC  ， 10AD  ， 13 2 BE  ， 则 AB的长是 ． 15．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC 的顶点 A，C分别在 x轴和 y轴上，E，F 分别是边 AB、 OA上的点，且 45ECF  ，将 ECF△ 沿着CF 翻折，点 E落在 x轴上的点 D处．已知反比例函数 1 1 ky x  和 22 ky x  分别经过点 B， E，若 5CODS =△ ，则 1 2k k  ． 第 15 题图 第 16 题图 16．（2022•鄂尔多斯）如图，在 ABC△ 中， 4AB AC  ， 30CAB  ， AD BC ，垂足为D，P 为线段 AD上的一动点，连接 PB， PC，则 2PA PB 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 8 题，共 72 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明） 17．（8 分）（2022•鄂尔多斯） （1）解不等式组 ( )3 2 4 2 1 3 2 1 3 6 x x x x ì - - >ï í - +ï - ïî ①， ②， 并写出该不等式组的最小整数解； （2）先化简，再求值： 2 2 2 9( 1) 6 9 2 6 a a a a a       ，其中 04sin30 (π 3)a = °- - ． 4 18．（7 分）（2022•鄂尔多斯）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽 取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图表 第 18 题图 （1）频数分布表中， a  ，请将频数分布直方图补充完整； （2）九年级共有 520 名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过 60 分钟的有 人； （3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树 状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 5 19．（8 分）（2022•鄂尔多斯）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN 、CD为水平线，旗杆 AB CD 于点 B．某一时刻，旗杆 AB的一部分影子 BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面 DN 上，已知 1.2 mBD = ，DE=1.4 m．同一时刻，测得竖直立在坡面 DN 上的1m 高的标杆影长为 0.25 m（标杆影 子在坡面 DN 上），此时光线 AE 与水平线的夹角为 80.5 ，求旗杆 AB 的高度（参考数据： sin 80.5 0.98  ， cos80.5 0.17  ， tan80.5 6)  ． 第 19 题图 6 20．（8 分）（2022•鄂尔多斯）如图，已知一次函数 y ax b  与反比例函数 ( 0)my x x   的图象交于 ( 2,4)A  ， ( 4,2)B  两点，且与 x轴和 y轴分别交于点C ，D． （1）根据图象直接写出不等式 m ax b x   的解集； （2）求反比例函数与一次函数的解析式； （3）点 P在 y轴上，且 1 2AOP AOB S S=△ △ ，请求出点 P的坐标． 第 20 题图 7 21．（8 分）（2022•鄂尔多斯）如图，以 AB为直径的 O 与 ABC 的边 BC相切于点 B，且与 AC 边 交于点 D， E为 BC中点，连接DE， BD． （1）求证：DE是 O 的切线； （2）若 5DE  ， 4cos 5 ABD  ，求OE的长． 第 21 题图 8 22．（10 分）（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了 6 600 元，第二 批花了 8 000 元，第一批每个挂件的进价是第二批的 1.1 倍，且第二批比第一批多购进 50 个． （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现， 当售价为每个 60 元时，每周能卖出 40 个，若每降价 1 元，每周多卖 10 个，由于货源紧缺，每周最 多能卖 90 个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 9 23．（11 分）（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2y ax bx   经过 1( 2 A  ，0) ， 7(3, ) 2 B 两点，与 y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P在抛物线上，过点 P作 PD x 轴，交直线 BC于点 D，若以 P， D，O，C为顶点的四 边形是平行四边形，求点 P的横坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使 45QCB  ？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由． 第 23 题图 备用图 10 24．（12 分）（2022•鄂尔多斯）在 ABC△ 中， AB AC ， 90BAC  ， AD是 ABC△ 的角平分线． （1）如图①，点 E， F 分别是线段 BD， AD上的点，且DE DF ， AE与CF 的延长线交于点M ， 则 AE与CF 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图②，点 E， F 分别在DB和 DA的延长线上，且DE DF ， EA的延长线交CF 于点M ． ①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； ②连接DM ，求 EMD 的度数； ③若 6 2DM  ， 12ED  ，求 EM 的长． 图① 图② 第 24 题图 11 答案 1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．A 【解析】如答图，连接 AC交 BD于点O，连接 NC，连接MC交 BD于点 N ．四边形 ABCD 是正方形， O 是 BD 的中点 . M 是 AB 的中点， N  是 ABC△ 的重心， 1 3 N O BO   ， 2 3 N D BD   . A ，C关于 BD对称， NA NC  ， AN MN NC MN    .当M ，N，C共线时， y的值最小， y 的值最小就是MC 的长， 2 5MC  .设正方形的边长为 m ，则 1 2 BM m ，在 Rt BCM△ 中，由勾股定理得 2 2 2MC BC MB  ， 2 2120 ( ) 2 m m   ， 4m  ， 4 2BD  ， 2 2 8 24 2 3 3 3 a N D BD       .故选 A． 第 10 题答图 11． 92 10 12．6 13． 88 901 14．12 15．10 16． 4 2 【解析】如答图，在 BAC 的外部作 15CAE  ，作 BF AE 于点 F ，交 AD于点 P， 此 时 2PA PB 最 小 ， 90AFB   . AB AC ， AD BC ， 1 1 30 15 2 2 CAD BAD BAC          ， 30EAD CAE CAD      ， 1 2 PF AP  ， 12 2( ) 2( ) 2 2 PA PB PA PB PF PB BF       . 在 Rt ABF△ 中 ， 4AB  ， 45BAF BAC CAE     ， sin 45 2 2BF AB\ = = ， ( 2 ) 2 4 2PA PB BF   最小 ． 第 16 题答图 17．解：（1）解不等式①得 1x  ， 解不等式②得 2x  ， 12 不等式组的解集为 2 1x  ， 该不等式组的最小整数解为 2x   ． （2）原式 2 2 ( 3)( 3) 2( 3)[ 1] ( 3) a a a a a        2 3 3 2( 3)( ) 3 3 a a a a a a         2 2 2( 3) 3 a a a a     4 a  . 当 04sin 30 ( 3) 1a      时，原式 4 ． 18．解：（1）调查的总人数有： 2 0.05 40  （人 )， 18 0.45 40 a   ， 45 60x  的人数有： 40 0.25 10  （人 )， 补全统计图如下： （2）52 （3）画树状图如答图. 共有 12 种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是 2 种， P （恰好抽到甲、乙两名同学） 2 1 12 6   ． 13 19．解：如图，设 PQ为竖直立在坡面 DN 上的1m高的标杆， PE 为标杆影子，长为 0.25m， 作 DF CD 交 AE于点 F ，作 FH AB 于点H ， / /DF PQ ， PQ PE DF DE  ， 1 0.25 1.4DF  ， 5.6DF  ， 5.6BH DF   . 在 Rt AHF 中， 80.5AFH  ， tan AHAFH HF   ， tan80.5 6 1.2 AH     ， 7.2AH  ， 旗杆 AB的高度为 5.6 7.2 12.8( )m  ． 20．解：（1）当 my x  的图象在 y ax b  图象的下方时， m ax b x   成立， 4 2x    ． （2）将 ( 2,4)A  代入 my x  得 8 m  ， 反比例函数为 8y x   ． 将 ( 2,4)A  ， ( 4,2)B  代入 y ax b  得： 4 2 2 4 a b a b        ，解得： 1 6 a b    ， 一次函数的表达式为 6y x  ． （3）在 6y x  中，当 0y  时， 6x   ， ( 6,0)C  ． ABO AOC BOCS S S     1 ( ) 2 A B OC y y   6 ， 1 6 3 2AOP S    . P 在 y轴上， 1 | | 3 2 A OP x  ， 3OP  ． (0,3)P 或 (0 ． 3) ． 21．（1）证明：如图，连接OD . 14 AB 为 O 的直径， 90BDC ADB    ， E 是 BC的中点， 1 2 DE BE EC BC    . 在 DOE 和 BOE 中， OD OB DE BE OE OE      ， ( )DOE BOE SSS   ， 90ODE ABC    ， OD DE  . 点D在 O 上， DE 是 O 的切线. （2）解： 90ABC   ， 90ABD CBD    . 由（1）知： 90BDC  ， 2BC DE ， 90C DBC   ， 2 10BC DE  ， C ABD   . 在 Rt ABC 中， 10 25 4cos 2 5 BCAC C    ， OA OB ， BE CE ， 1 25 2 4 OE AC   ． 22．解：（1）设第二批每个挂件的进价为 x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元， 根据题意可得， 6600 800050 1.1x x   ，解得 40x  ． 经检验， 40x  是原分式方程的解，且符合实际意义， 1.1 44x  ．第二批每个挂件的进价为 40 元． （2）设每个售价定为 y元，每周所获利润为 w元， 根据题意可知， 2( 40)[40 10(60 )] 10( 52) 1440w y y y        ， 10 0  ，当 52x 时， w随 y的增大而减小， 40 10(60 ) 90y   ， 55w  ， 当 55y  时， w取最大，此时 210(55 52) 1440 1350w      ． 当每个挂件售价定为 55 元时，每周可获得最大利润，最大利润是 1350 元． 23．解：（1）将点 1( 2 A  ， 0) ， 7(3, ) 2 B 代入到 2 2y ax bx   中得： 15 1 1 2 0 4 2 79 3 2 2 a b a b           ，解得： 1 7 2 a b      ， 抛物线的解析式为 2 7 2 2 y x x    ； （2）设点 2 7( , 2) 2 P m m m   ， 2 7 2 2 y x x    ， (0,2)C ， 设直线 BC的解析式为 y kx c  ，  73 2 2 k c c       ，解得 1 2 2 k c      ， 直线 BC的解析式为 1 2 2 y x  ， 1( , 2) 2 D m m  ， 2 27 1| 2 2 | | 3 | 2 2 PD m m m m m         ， PD x 轴，OC x 轴， / /PD CO ，当 PD CO 时，以 P、 D、O、C为顶点的四边形是平行四边形， 2| 3 | 2m m   ，解得 1m  或 2 或 3 17 2  或 3 17 2  ， 点 P的横坐标为 1 或 2 或 3 17 2  或 3 17 2  ； （3）①当Q在 BC下方时，如图，过 B作 BH CQ 于H ，过H 作MN y 轴，交 y轴于M ，过 B作 BN MH 于 N， 90BHC CMH HNB      ， 45QCB   ， BHC 是等腰直角三角形， CH HB  ， 90CHM BHN HBN BHN       ， 16 CHM HBN   ， ( )CHM HBN AAS   ， CM HN  ，MH BN ， ( , )H m n ， (0,2)C ， 7(3, ) 2 B ，  2 3 7 2 n m n m        ，解得 9 4 5 4 m n       ， 9( 4 H ， 5) 4 ， 设直线CH 的解析式为 y px q  ，  9 5 4 4 2 p q q       ，解得 1 3 2 p q       ，直线CH 的解析式为 1 2 3 y x   ， 联立直线CH 与抛物线解析式得 2 7 2 2 1 2 3 y x x y x            ， 解得 0 2 x y    或 23 6 13 18 x y       ， 23( 6 Q ， 13) 18 ； ②当 Q在 BC 上方时，如图，过 B 作 BH CQ 于 H ，过 H 作 MN y 轴，交 y轴于 M ，过 B 作 BN MH 于 N， 同理得 1( 2 Q ， 7) 2 ． 综上，存在，点Q的坐标为 23( 6 ， 13) 18 或 1( 2 ， 7) 2 ． 24．解：（1） AB AC ， 90BAC  ， AD是 ABC 的角平分线， AD BD CD   ， AD BC ， 90ADE CDF    ， 又 DE DF ， ( )ADE CDF SAS   ， AE CF  ， DAE DCF   ， 90DAE DEA    ， 90DCF DEA   ， 17 90EMC  ， AE CF  ． 故答案为： AE CF ， AE CF ； （2）①（1）中的结论还成立， 理由：同（1）可证 ( )ADE CDF SAS   ， AE CF  ， E F   ， 90F ECF    ， 90E ECF   ， 90EMC  ， AE CF  ； ②过点 D作DG AE 于点G， DH CF 于点H ， E F   ， 90DGE DHF    ，DE DF ， ( )DEG DFH AAS   ， DG DH  ， 又 DG AE ，DH CF ， DM 平分 EMC ， 又 90EMC   ， 1 45 2 EMD EMC    ； ③ 45EMD   ， 90DGM  ， DMG GDM   ， DG GM  ， 又 6 2DM  ， 6DG GM   ， 12DE  ， 2 2 2 212 6 6 3EG ED DG      ， 6 6 3EM GM EG     ．