2021年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷（含答案）

1 2021 年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1．（2021•鄂尔多斯）在实数 0， π ， | 2 | ， 1 中，最小的数是 ( ) A． | 2 | B．0 C． 1 D． 2．（2021•鄂尔多斯）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是 ( ) A B C D 第 2 题图 第 5 题图 第 6 题图 3．（2021•鄂尔多斯）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为 0.000 000 12 m ，“0.000 000 12”用科学 记数法可表示为 ( ) A． 71.2 10 B． 60.12 10 C． 812 10 D． 61.2 10 4．（2021•鄂尔多斯）下列运算正确的是 ( ) A． 2 2 42a a a  B． 6 2 3a a a  C． 2( 3)( 3) 6 9a a a a     D． 3 2 6( 3 ) 9a a  5．（2021•鄂尔多斯）一块含 30角的直角三角板和直尺如图放置，若 1 146 33   ，则 2 的度数为 ( ) A． 64 27  B． 63 27  C． 64 33  D． 63 33  6．（2021•鄂尔多斯）小明收集了鄂尔多斯市某酒店 2021 年 3 月 1 日 ~ 3 月 6 日每天的用水量（单位： 吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是 ( ) A．平均数是 23 4 B．众数是 10 C．中位数是 8.5 D．方差是 25 3 7．（2021•鄂尔多斯）已知： AOCD 的顶点 (0,0)O ，点C在 x轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M ，交OC于点 N． ②分别以点M ， N为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在 AOC 内相交于点 E． ③画射线OE，交 AD于点 (2,3)F ，则点 A的坐标为 ( ) A． 5( 4  ， 3) B． (3 13 ， 3) C． 4( 5  ， 3) D． (2 13 ， 3) 2 第 7 题图 第 9 题图 8．（2021•鄂尔多斯）2020 年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花 1 万元购买了一批口罩，随着 2021 年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降 10 元， 电信公司又花 6 000 元购买了一批口罩，购买的数量比 2020 年购买的数量还多 100 包，设 2020 年每 包口罩为 x元，可列方程为 ( ) A． 1 6 000100 10x x + = - B．10 000 6 000100 10x x - = + C． 10 000 6 000 100 10x x = - - D． 10 000 6 000100 10x x - = - 9．（2021•鄂尔多斯）如图，在 Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 8AC  ， 6BC  ，将边 BC沿CN 折叠， 使点 B落在 AB上的点 B处，再将边 AC沿CM 折叠，使点 A落在CB的延长线上的点 A处，两条折 痕与斜边 AB分别交于点 N，M ，则线段 AM 的长为 ( ) A． 9 5 B． 8 5 C． 7 5 D． 6 5 10．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形 ABCD中， H 为CD边上的一点，点M 从点 A出发沿折线 AH HC CB  运动到点 B 停止，点 N 从点 A出发沿 AB 运动到点 B 停止，它们的运动速度都是 1 /cm s，若点M ， N同时开始运动，设运动时间为 (s)t ， AMN△ 的面积为 2(cm )S ，已知 S与 t之间 函数图象如图②所示，则下列结论正确的是 ( ) 图① 图② 第 10 题图 ①当 0 6t  时， AMN△ 是等边三角形；②在运动过程中，使得 ADM△ 为等腰三角形的点M 一共有 3 个；③当 0 6t  时， 23 4 S t ；④当 9 3t   时， ADH ABM△ ∽△ ；⑤当 9 9 3 3t   时， 3 9 3 3S t    ． A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤ 3 二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分） 11．（2021•鄂尔多斯）函数 4 2y x  的自变量 x的取值范围是 ． 12．（2021•鄂尔多斯）计算： 0 13 18 (2021 π) ( ) 3 -- + - + - = ． 13．（2021•鄂尔多斯）如图，小梅把一顶底面半径为 10 cm 的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展 平，得到一个圆心角为120的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 cm ． 第 13 题图 第 16 题图 14．（2021•鄂尔多斯）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇” 的个数，则第 30 个“龟图”中有 个“〇”． 第 14 题图 15．（2021•鄂尔多斯）下列说法不正确的是 （只填序号） ① 7 17 的整数部分为 2，小数部分为 17 4 ． ②外角为 60且边长为 2 的正多边形的内切圆的半径为 3 ． ③把直线 2 3y x  向左平移 1 个单位后得到的直线解析式为 2 2y x  ． ④新定义运算： 2* 2 1m n mn n   ，则方程 1* 0x  有两个不相等的实数根． 16．（2021•鄂尔多斯）如图，已知正方形 ABCD的边长为 6，点 F 是正方形内一点，连接CF ，DF， 且 ADF DCF   ，点 E是 AD边上一动点，连接 EB， EF ，则 EB EF 长度的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 8 题，共 72 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程. 17．（8 分）（2021•鄂尔多斯）（1）解不等式组 ( )4 3 2 4 1 1 1 5 2 x x x x ì - -ï í - +ï > - ïî ①， ②，  并把解集在数轴上表示出来． 第 17 题图 4 （2）先化简： 2 2 2 4 4 4(2 ) 2 x x xx x x x       ，再从 2 ，0，1，2 中选取一个合适的 x的值代入求值． 5 18．（9 分）（2021•鄂尔多斯）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调 查（每人只能选一项）: A -动物园；B -七星湖；C -鄂尔多斯大草原；D -康镇；E -蒙古源流，根 据收集的数据绘制了如图所示（图①、图②）的两幅不完整的统计图，其中 B 对应的圆心角为90， 请根据图中信息解答下列问题． 图① 图② 第 18 题图 （1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图； （2）扇形统计图中m  ，表示 D 的扇形的圆心角是 度； （3）九年级准备在最喜欢 A 景区的 5 名学生中随机选择 2 名进行实地考察，这 5 名学生中有 2 名男 生和 3 名女生，请用画树状图或列表的方法求选出的 2 名学生都是女生的概率． 6 19．（8 分）（2021•鄂尔多斯）如图，矩形 ABCD的两边 AB，BC的长分别为 3，8，C，D在 y轴 上， E是 AD的中点，反比例函数 ( 0)ky k x   的图象经过点 E，与 BC交于点 F ，且 1CF BE  ． （1）求反比例函数的解析式； （2）在 y轴上找一点 P，使得 2 3CEP ABCD S S=△ 矩形 ，求此时点 P的坐标． 第 19 题图 7 20．（8 分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其 侧面结构示意图，托板长 115 m mAB = ，支撑板长 70 mmCD = ，板 AB固定在支撑板顶点C 处，且 35 mmCB = ，托板 AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动， 60CDE  ． （1）若 70DCB  时，求点 A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）； （2）为了观看舒适，把（1）中 70DCB  调整为 90，再将CD绕点 D逆时针旋转，使点 B落在直 线DE上即可，求CD旋转的角度（参考数据：sin 50 0.8  ，cos50 0.6  ，tan 50 1.2  ，sin 26.6 0.4  ， cos 26.6 0.9  ， tan 26.6 0.5  ， 3 1.7) ． 图① 图② 备用图 第 20 题图 8 21．（9 分）（2021•鄂尔多斯）如图，在 ABC△ 中， AB AC ，以 AB为直径的 O 交 AC于点 D， BC于点 E，直线 EF AC 于点 F ，交 AB的延长线于点H ． （1）求证：HF是 O 的切线； （2）当 6EB  ， 1cos 3 ABE  时，求 tanH 的值． 第 21 题图 9 22．（8 分）（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有 50 个房间供游客居住，每间房价不低于 200 元且不超过 320 元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用．已知每个房 间定价 x（元 )和游客居住房间数 y（间 )符合一次函数关系，如图是 y关于 x的函数图象． （1）求 y与 x之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； （2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？ 第 22 题图 10 23．（11 分）（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线 2 2 8y x x   与 x轴交于 A，B两点（点 A在 B左侧）， 与 y轴交于点C ． （1）求 A， B，C 三点的坐标； （2）连接 AC ，直线 ( 4 0)x m m    与该抛物线交于点 E，与 AC 交于点D，连接OD．当OD AC 时，求线段DE的长； （3）点M 在 y轴上，点 N在直线 AC上，点 P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ，使得以C， M ， N， P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 23 题图 11 24．（11 分）（2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以 通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰 Rt ABC△ 中， 90BAC  ， AB AC ，点M 是 BC上的一点， 1 cm BM = ， 2 cmCM = ，将 ABM△ 绕点 A旋转后得到 ACN ，连接MN ，则 AM  cm ； （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形 ABCD中， AB AD a  ，CB CD ， AB BC 于点 B， AD CD 于点 D，点 P，Q分别是 AB， AD上的点，且 PCB QCD PCQ    ，求 APQ△ 的周长 （结果用 a表示）； （3）拓展应用：如图③，已知四边形 ABCD， AD CD ， 60ADC  ， 75ABC  ， 2 2AB  ， 2BC  ，求四边形 ABCD的面积． 图① 图② 图③ 第 24 题图 12 2021 年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1．【解答】解： | 2 | 2  ， 1 0 | 2 |      ， 最小的数是 1 ， 故选：C． 2．【解答】解：此几何体的左视图有两列，左边一列有 2 个小正方形，右边一列有 1 个小正方形， 故选： B． 3．【解答】解： 70.00000012 1.2 10   ． 故选： A． 4．【解答】解： A、 2 2 22a a a  ，原计算错误，故此选项不符合题意； B、 6 2 4a a a  ，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 2( 3)( 3) 9a a a    ，原计算错误，故此选项不符合题意； D、 3 2 6( 3 ) 9a a  ，原计算正确，故此选项符合题意； 故选： D． 5．【解答】解：如图， 1 4 180    ， 1 146 33   ， 4 33 27   ， 3 4 A     ， 30A  ， 3 63 27   ， 直尺的对边互相平行， 2 3 63 27     ， 故选： B． 6．【解答】解：由折线图知：2021 年 3 月 1 日 ~ 3 月 6 日的用水量（单位：吨）依次是 4，2，7，10， 9，4， 从小到大重新排列为：2，4，4，7，9，10， 平均数是 1 (4 2 7 10 9 4) 6 6       ， 中位数是 1 (4 7) 5.5 2   ， 由 4 出现了 2 次，故其众数为 4． 13 方差是 2 2 2 2 2 2 1 [2 (4 6) (2 6) (7 6) (10 6) (9 6) ] 6 s            25 3  ． 综上只有选项 D正确． 故选： D． 7．【解答】解：由作法得OE平分 AOC ，则 AOF COF   ， 四边形 AOCD为平行四边形， / /AD OC ， AFO COF   ， AOF AFO   ， OA AF  ， 设 AF 交 y轴于H ，如图， (2,3)F ， 2HF  ， 3OH  ， 设 ( ,3)A t ， AH t   ， 2AO AF t    ， 在Rt OAH 中， 2 2 23 ( 2)t t    ，解得 5 4 t   ， 5( 4 A  ， 3) ． 故选： A． 8．【解答】解：设 2020 年每包口罩为 x元， 根据题意可得： 10000 6000 100 10x x    ， 故选：C． 9．【解答】解：由两次翻折知： 6CB CB  ， 8AC A C  ， A A   ， B BB C   ， 2A B   ， 90A B    ， 90A BB C    ， 90A A B M     ， A M AB  ， 14 90ACB   ， 8AC  ， 6BC  ， 由勾股定理得： 2 26 8 10AB    ， cos cos A M ACA A A B AB        ，  8 2 10 A M  ， 8 5 A M  ， 故选： B． 10．【解答】解：由图②可知：点M 、N两点经过 6 秒时， S最大，此时点M 在点H 处，点 N在点 B处并停止不动，如图， ①点M 、 N两点的运动速度为1 /cm s， 6AH AB   cm， 四边形 ABCD是矩形， 6CD AB   cm． 当 6t  s时， 29 3S cm ，  1 9 3 2 AB BC   ． 3 3BC cm  ． 当 6 9t  时， 9 3S  且保持不变， 点 N在 B处不动，点M 在线段HC上运动，运动时间为 (9 6) 秒， 3HC  cm，即点H 为CD的中点． 2 2 2 23 (3 3) 6BH CH BC cm      ． 6AB AH BH    cm， ABM 为等边三角形． 60HAB  ． 点M 、 N同时开始运动，速度均为 1 /cm s， AM AN  ， 当 0 6t  时， AMN 为等边三角形． 故①正确； ②如图，当点M 在 AD的垂直平分线上时， ADM 为等腰三角形： 15 此时有两个符合条件的点； 当 AD AM 时， ADM 为等腰三角形，如图： 当 DA DM 时， ADM 为等腰三角形，如图： 综上所述，在运动过程中，使得 ADM 为等腰三角形的点M 一共有 4 个． ②不正确； ③过点M 作ME AB 于点 E，如图， 由题意： AM AN t  ， 由①知： 60HAB  ． 在 Rt AME 中， sin MEMAE AM   ， 3sin 60 2 ME AM t     cm， 16 2 21 1 3 3 2 2 2 4 S AN ME t t t cm       ． ③正确； ④当 9 3t   时， 3CM cm ，如图， 由①知： 3 3BC cm ， 2 3MB BC CM cm    ． 6AB  cm， 2 3 3tan 6 3 BMMAB AB      ， 30MAB  ． 60HAB   ， 90 60 30DAH      ． DAH BAM   ． 90D B     ， ADH ABM ∽ ． ④正确； ⑤当9 9 3 3t   时，此时点M 在边 BC上，如图， 此时 9 3 3MB t   ， 1 1 6 (9 3 3 ) 27 9 3 3 2 2 S AB MB t t            ． ⑤不正确； 综上，结论正确的有：①③④． 故选： A． 二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分） 11．【解答】解：根据题意得： 4 2 0x  ， 解得 2x ． 17 12．【解答】解：原式 2 1 3 4      ． 故答案为： 4 ． 13．【解答】解：设扇形纸片的半径为 x cm，由圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长可得： 1202 10 180 x   ， 解得 30x  ， 故答案为：30． 14．【解答】解：第 1 个图形中小圆的个数为1 4 5  ； 第 2 个图形中小圆的个数为1 5 1 7   ； 第 3 个图形中小圆的个数为1 6 4 11   ； 第 4 个图形中小圆的个数为1 7 9 17   ；  第 n个图形中小圆的个数为 21 ( 3) ( 1)n n    ． 第 30 个“龟图”中的“〇”的个数为 21 (30 3) (30 1) 1 33 841 875        ． 另一种解法：第 1 个图形中小圆的个数为 0 5 5  ； 第 2 个图形中小圆的个数为 2 5 1 2 5 7     ； 第 3 个图形中小圆的个数为 6 5 2 3 5 11     ； 第 4 个图形中小圆的个数为12 5 3 4 5 17     ；  第 n个图形中小圆的个数为 ( 1) 5n n   ． 第 30 个“龟图”中的“〇”的个数为 30 (30 1) 5 875    ． 故答案为：875． 15．【解答】解：① ) 4 17 5  ， 2 7 17 3    ， 7 17  的整数部分是 2，小数部分是小数部分为 5 17 ，故符合题意； ②解：设正多边形是 n边形． 由题意： 360 60 n   ， 6n  ， 这个正多边形的内切圆的半径为 3 ；故不符合题意； ③把直线 2 3y x  向左平移 1 个单位后得到的直线解析式为 2 1y x  ，故符合题意； ④根据题意得 2 2 1 0x x    ， △ 2( 2) 4 0    ， 方程有两个相等的实数根，故符合题意． 故答案为：①③④． 16．【解答】解： 18 四边形 ABCD是正方形， 90ADC  ， 90ADF FDC   ， ADF FCD   ， 90FDC FCD   ， 90DFC  ， 点 F 在以DC为直径的半圆上移动， 如图，设DC的中点为O，作正方形 ABCD关于直线 AD对称的正方形 AB C D  ，则点 B的对应点是 B， 连接 B O 交 AD于 E，交半圆O于 F ，则线段 B F 的长即为 BE EF 的长度最小值， 3OF  ， 90C   ， 6B C C D CD     ， 9OC  ， 2 2 2 26 9 3 13B O B C OC         ， 3 13 3B F   ， EB FE  的长度最小值为 3 13 3 ， 故答案为： 3 13 3 ． 三、解答题（本大题共 8 题，共 72 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程. 17．【解答】解：（1）由①得， 4 3 6 4x x   ， 2x  ； 由②得， 2( 1) 5( 1) 10x x    ， 2 2 5 5 10x x    ， 3 3x   ， 1x  ， 所以不等式组的解集是： 2 1x  ， 它们的解集在数轴上表示如下： 19 （2） 2 2 2 4 4 4(2 ) 2 x x xx x x x       2 2 2( 2) 2 4( ) ( 2) x x x x x x x        22 4x x x x      2 ( 2)( 2) x x x x x       1 2x    ， 0x  ，2， 2 ， 当 1x  时，原式 1 3   ． 18．【解答】解：（1） B 对应的圆心角为 90， B的人数是 50， 此次抽取的九年级学生共 9050 200 360   （人 )， C对应的人数是： 200 60 50 20 40 30     ， 补全条形统计图如图 1 所示： （2）D所占的百分比为 20 100% 10% 200   ， 10m  ， 表示 D的扇形的圆心角是 20360 36 200   ； 故答案为：10， 36； （3）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中选出的 2 名学生都是女生的结果数为 6， 选出的 2 名学生都是女生的概率为 6 3 20 10  ． 20 19．【解答】解：（1） E 是 AD的中点， 1 4 2 AE AD   ， 在 Rt ABE 中，由勾股定理得： 2 23 4 5BE    ， 1CF BE  ， 6CF  ， F 的横坐标为 6 ， 设 ( 6, )F m ，则 ( 4, 3)E m  ， E ， F 都在反比例函数图象上， 6 4( 3)m m    ， 解得 6m  ， ( 6,6)F  ， 36k   ， 反比例函数 36y x   ． （2） 2 3CEP ABCD S S  矩形 ，  1 24 8 3 2 3 CP     ， 8CP  ， (0,14)P 或 (0, 2) ． 20．【解答】解：（1）过点C 作 / /CG DE，过点 A作 AH CG 于H ，过点C 作CF DE 于点 F ， 则点 A到直线DE的距离为： AH CF ． 21 在Rt CDF 中， sin CFCDE CD   ， 3sin 60 70 35 3 59.5( ) 2 CF CD mm        ． 70DCB   ， 180 110ACD DCB     ， / /CG DE ， 60GCD CDE    ． 50ACH ACD DCG     ． 在Rt ACH 中， sin AHACH AC   ， sin (115 35) sin 50 80 0.8 64( )AH AC ACH mm           ． 点 A到直线DE的距离为 59.5 64 123.5 124( )AH CF mm     ． （2）如图所示，虚线部分为旋转后的位置， B的对应点为 B，C的对应点为C， 则 35B C BC    mm， 70DC DC   mm． 在 Rt△ B C D  中， 35tan 0.5 70 B CB DC DC           ， tan 26.6 0.5  ， 26.6B DC    ． CD 旋转的角度为 60 26.6 33.4CDC CDE B DC            ． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OE， 22 AB 为 O 的直径， 90AEB  ， AB AC ， BE CE  ， OB OA ， / /OE AC ， 又 HF AC ， OE HF  ， HF 是 O 的切线． （2）解：过点 E作 EG AH 于G， 90EGB  ， 6EB  ， 1cos 3 ABE  ， 2BG  ， 4 2EG  ， 90H HEG    ， 90GEO HEG   ， H GEO   ， 在 Rt BEA 中， 1cos 3 ABE  ， 6EB  ， 18AB  ， 1 9 2 OB AB   ， 7GO OB BG    ， 7 7 2tan tan 84 2 H GEO     ． 22．【解答】解：（1）由题意，设 y关于 x的函数解析式为 y kx b  ， 把 (280，40， )， (290,39) 代入得： 280 40 290 39 k b k b      ， 解得： 1 10 68 k b       ， 23 y 与 x之间的函数解析式为 1 68(200 320) 10 y x x     ； （2）设宾馆的利润为 w元， 则 2 2 1 1 1( 20) ( 20)( 68) 70 1360 ( 350) 10890 10 10 10 w x y x x x x x              ， 1 0 10   ， 当 350x  时， w随 x的增大而增大， 200 320x   ， 当 320x  时， w取得最大值，最大值为 10800 元， 答：当每间房价定价为 320 元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是 10800 元． 23．【解答】解：（1）在 2 2 8y x x   中，令 0y  ，得 2 2 8 0x x   ， 解得： 1 4x   ， 2 2x  ， ( 4,0)A  ， (2,0)B ， 令 0x  ，得 8y   ， (0, 8)C  ； （2）设直线 AC的解析式为 y kx b  ， ( 4,0)A  ， (0, 8)C  ，  4 0 8 k b b       ， 解得： 2 8 k b      ， 直线 AC的解析式为 2 8y x   ， 直线 ( 4 0)x m m    与该抛物线交于点 E，与 AC交于点 D， 2( , 2 8)E m m m   ， ( , 2 8)D m m  ， 2 22 8 ( 2 8) 4DE m m m m m          ， 设DE交 x轴于点 F ，则 ( ,0)F m ， OF m   ， ( 4) 4AF m m      ， 2 8DF m  ， OD AC ， EF OA ， 90ODA OFD DFA AOC        ， 90DOF COD OCD COD      ， DOF OCD   ， ACO DOF ∽ ，  OA DF OC OF  ， OC DF OA OF    ， 8(2 8) 4( )m m    ， 24 解得： 16 5 m   ， 2 216 16 644 ( ) 4 ( ) 5 5 25 DE m m           ； （3）存在， 如图 2， 2 22 8 ( 1) 9y x x x      ， 抛物线对称轴为直线 1x   ， 以C 、M 、 N、 P为顶点的四边形是菱形， 分三种情况：CM 为对角线或CN 为对角线或CP为对角线， ①当CP为对角线时， / /CM PN ，CM PN CN  ， N 点为直线 AC 与抛物线对称轴的交点，即 ( 1, 6)N   ， 2 2( 1 0) ( 6 8) 5CN        ， 5CM PN   ， 1(0, 8 5)M   ， 2 (0, 8 5)M   ； ②当CN 为对角线时， / /CM PN ，CM PN CP  ， 设CM a ，则 (0, 8 )M a  ， ( 1, 6 )P a   ， 2 2 2( 1 0) ( 6 8)a a        ， 解得： 5 4 a  ， 3 27(0, ) 4 M  ， ③当CM 为对角线时， PN 与CM 互相垂直平分，设 ( 1, )P b ，则 (1, )N b ， (0,2 8)M b  ， (1, )N b 在直线 2 8y x   上， 2 1 8 10b       ， 4 (0, 12)M  ， 综上所述，点M 的坐标为： 1(0, 8 5)M   ， 2 (0, 8 5)M   ， 3 27(0, ) 4 M  ， 4 (0, 12)M  ． 25 24．【解答】解：（1）如图①， 90BAC   ， AB AC ， 45B ACB    ， 由旋转得： 1CN BM  ， 45ACN B    ， 90MAN BAC    ， AM AN ， 45 45 90MCN ACB ACN         ， AMN 是等腰直角三角形， 2CM  ， 2 22 1 5MN    ， 2 10 ( ) 2 2 AM MN cm   ； 26 故答案为： 10 2 ； （2）如图②，延长 AB到 E，使 BE DQ ，连接CE ， AB BC ， AD CD ， 90ADC ABC    ， 90CBE CDQ    ， 在 CDQ 和 CBE 中， CD CB CDQ CBE DQ BE       ， ( )CDQ CBE SAS   ， DCQ BCE   ，CQ CE ， PCB QCD PCQ    ， PCB BCE PCQ PCE      ， 在 QCP 和 ECP 中， CQ CE QCP ECP CP CP       ， ( )QCP ECP SAS   ， PQ PE  ， APQ 的周长 2 2AQ PQ AP AQ PE AP AQ BE PB AP AQ DQ AB AB a               ； （3）如图③，连接 BD，由于 AD CD ，所以可将 BCD 绕点 D顺时针方向旋转 60，得到 DAB ， 27 连接 BB，延长 BA，作 B E BA  于 E， 由旋转得： BCD △ B AD ， BD B D  ， 60BDB  ， CBD AB D   ， ABCD BDB AS S  四边形 四边形 ， BDB 是等边三角形， 75ABC   ， 60ADC  ， 135BAB BDB AB D ABD          ， 45B AE   ， 2B A BC   ， 2B E AE    ， 2 2 2 3 2BE AB AE      ， 2 2( 2) (3 2) 2 5BB     ， 设等边三角形的高为 h， 则勾股定理得： 2 2(2 5) ( 5) 15h    ， 1 12 5 15 2 2 2 5 3 2 2 2BDB ABBABCD BDB A S S S S              四边形 四边形 ．