2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷（含答案）

1 2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位 置上按要求涂黑．每小题 3分，共 42分） 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是 ( ) A B C D 2.央视新闻 2024 年 5 月 31 日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超 52 000 000 000 度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据 52 000 000 000 用科学记数法 表示为 ( ) A． 95.2 10 B． 110.52 10 C． 952 10 D． 105.2 10 3.将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中 1 的度数为 ( ) 第 3 题图 A．100 B．105 C．115 D．120 4.下列计算正确的是 ( ) A． 2 3 5a a a  B． 2 2 2( )a b a b   C． 6 3 2a a a  D． 3 2 6( )a a 5.在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是 ( ) A．为了解 1 000 只灯泡的使用寿命，从中抽取 50 只进行检测，此次抽样的样本容量是 50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人 10 次测试的平均分都是 96 分，且方差 2 2.5s 甲 ， 2 2.3s 乙 ，则发挥稳定的是甲 6.解不等式组 ( ) 3 2 2 2 1 1 x x x x ì - <ï í + -ïî ，① ，② 不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A B C D 7.如图，是正 n边形纸片的一部分，其中 l，m是正 n边形两条边的一部分，若 l，m所在的直线相交 形成的锐角为 60，则 n的值是 ( ) A．5 B．6 C．8 D．10 2 第 7 题图 第 10 题图 第 12 题图 8.某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取 200 名初中学生进行调查，整理样本数据如表．根据抽 样调查结果，估计该市 16 000 名初中学生中，视力不低于 4.8 的人数是 ( ) 视力 4.7 以下 4.7 4.8 4.9 4.9 以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6 960 D．9 600 9.等腰三角形的两边长分别是方程 2 10 21 0x x   的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A．17 或 13 B．13 或 21 C．17 D．13 10.如图，AD是 Oe 的直径，AB是 Oe 的弦，半径OC AB ，连接CD，交OB于点 E， 42BOC  ， 则 OED 的度数是 ( ) A． 61 B． 63 C． 65 D． 67 11.用 1 块 A 型钢板可制成 3 块 C 型钢板和 4 块 D 型钢板；用 1 块 B 型钢板可制成 5 块 C 型钢板和 2 块 D 型钢板．现在需要 58 块 C 型钢板、40 块 D 型钢板，问恰好用 A 型钢板、B 型钢板各多少块？ 如果设用 A 型钢板 x块，用 B 型钢板 y块，则可列方程组为 ( ) A. 3 2 40 4 5 58 x y x y ì + =ï í + =ïî B. 3 5 40 4 2 58 x y x y ì + =ï í + =ïî C. 3 5 58 4 2 40 x y x y ì + =ï í + =ïî D. 3 4 58 5 2 40 x y x y ì + =ï í + =ïî 12.如图，△ABC中， 1AB BC  ， 72C  ．将△ABC绕点 A顺时针旋转得到△AB’C’，点 B与点 B是对应点，点C与点C 是对应点．若点C恰好落在 BC边上，下列结论：①点 B在旋转过程中经 过的路径长是 1 5  ；②B’A∥BC；③ BD C D  ；④ AB B B AC BD   .其中正确的结论是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 13.数轴上点 A，M ， B分别表示数 a， a b ， b，那么下列运算结果一定是正数的是 ( ) A． a b B． a b C． ab D． | |a b 第 13 题图 第 14 题图 14.如图，正方形 ABCD的顶点 A，C在抛物线 2 4y x   上，点D在 y轴上．若 A，C 两点的横坐 标分别为m， ( 0)n m n  ，下列结论正确的是 ( ) A． 1m n  B． 1m n  C． 1m  D． 1m n  3 二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题 3分，共 12分） 15.写出一个比 5 小的整数 ： ． 16.因式分解： 23 3ax a  ． 17.综合实践课上，航模小组用无人机测量古树 AB的高度．如图，点C 处与古树底部 A处在同一水平 面上，且 10AC  m，无人机从C 处竖直上升到达 D处，测得古树顶部 B的俯角为 45，古树底部 A的 俯角为 65，则古树 AB的高度约 m（结果精确到 0.1 m.参考数据：sin 65 0.906  ，cos65 0.423  ， tan 65 2.145)  ． 第 17 题图 18.编号为 A，B，C，D，E 的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时 间如表： 收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E 所需时间/h 23 19 20 22 18 则收割最快的一台收割机编号是 ． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤．共 8题，满分 96分） 19.（本题满分 12 分） （1）计算： 09 (π 1) 2sin 60 | 2 3 |+ + + °+ - . （2）已知 2 3 0a a   ，求代数式 2( 2) ( 1)( 3)a a a    的值． 4 20.（本题满分 10 分）如图，在△ABC中， D是 AB中点． （1）求作： AC的垂直平分线 l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若 l交 AC 于点 E，连接DE并延长至点 F ，使 2EF DE ，连接 BE ，CF ．补全图形，并证明 四边形 BCFE是平行四边形． 第 20 题图 5 21.（本题满分 10 分）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖 励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据： 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据 样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题： （1）表格中的 a  ；b  ； c  ； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为 成绩目标应定为 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 分； （3）学校要从 91 分的 A，B，C，D 四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用 画树状图法或列表法，求 A，B 两名队员恰好同时被选中的概率． 6 22.（本题满分 12 分）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天 修复公路比甲队平均每天修复公路多 3 km，且甲队单独修复 60 km 公路所需要的时间与乙队单独修 复 90 km 公路所需要的时间相等． （1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； （2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的 2 倍，那 么 15 天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 7 23.（本题满分 12 分）在平面直角坐标系中，对于点 1(M x ， 1)y ，给出如下定义：当点 2(N x ， 2 )y ， 满足 1 2 1 2x x y y   时，称点 N是点M 的等和点． （1）已知点 (1,3)M ，在 1(4,2)N ， 2 (3, 1)N  ， 3 (0, 2)N  中，是点M 等和点的有 ； （2）若点 (3, 2)M  的等和点 N在直线 y x b  上，求b的值； （3）已知，双曲线 1 ky x  和直线 2 2y x  ，满足 1 2y y 的 x取值范围是 4x  或 2 0x   ．若点 P在 双曲线 1 ky x  上，点 P的等和点Q在直线 2 2y x  上，求点 P的坐标． 8 24.（本题满分 12 分）如图，△ABC中， 90ACB  ， AC BC ， Oe 经过 B，C两点，与斜边 AB 交于点 E，连接CO并延长交 AB于点M ，交 Oe 于点 D，过点 E作 EF∥CD，交 AC于点 F ． （1）求证： EF 是 Oe 的切线； （2）若 4 2BM  ， 1tan 2 BCD  ，求OM 的长． 第 24 题图 9 25.（本题满分 14 分）如图①，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题 进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图②，人从点 A处沿水滑道下滑至点 B处腾 空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为 x轴，过腾空点 B与 x轴垂直的直线为 y轴，O为坐标原 点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根 据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． 图① 图② 图③ 第 25 题图 （1）如图②，点 B与地面的距离为 2 m，水滑道最低点C与地面的距离为 7 8 m，点C到点 B的水平 距离为 3 m，则水滑道 ACB所在抛物线的解析式为 ； （2）如图②，腾空点 B与对面水池边缘的水平距离 12OE  m，人腾空后的落点 D与水池边缘的安全 距离DE不少于 3 m．若某人腾空后的路径形成的抛物线 BD恰好与抛物线 ACB关于点 B成中心对称． i.请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 BD的解析式； ii.此人腾空飞出后的落点 D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图③，水滑道已经有两条加固钢架，一条是 水滑道距地面 4 m 的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点 B之间连接支撑的钢架 BM ．现 在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 BM 平行，且与水滑道有唯一公 共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 10 26.（本题满分 14 分）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图 ①，在△ABC中， AB AC ，点 D是 AC上的一个动点，过点 D作DE BC 于点 E，延长 ED交 BA 延长线于点 F ． 请你解决下面各组提出的问题： （1）求证： AD AF ； （2）探究 DF DE 与 AD DC 的关系； 某小组探究发现，当 1 3 AD DC  时， 2 3 DF DE  ；当 4 5 AD DC  时， 8 5 DF DE  ． 请你继续探究： ①当 7 6 AD DC  时，直接写出 DF DE 的值； ②当 AD m DC n  时，猜想 DF DE 的值（用含m， n的式子表示），并证明； （3）拓展应用：在图①中，过点 F 作 FP AC ，垂足为点 P，连接CF，得到图②，当点D运动到 使 ACF ACB   时，若 AD m DC n  ，直接写出 AP AD 的值（用含m， n的式子表示）． 图① 图② 第 26 题图 11 2024年内蒙古赤峰市中考数学答案 1.A 2.D 3.B 4.D 5.D 6.C 7.B 8.D 9.C 10.B 11.C 12.A 13.A 14.B 【解析】如答图，分别过点 A和点C作 y轴的垂线，垂足分别为M 和 N .将 A，C两点的横坐 标代入 y=-x2+4，得点 A的坐标为 2( , 4)m m  ，点C 的坐标为 2( , 4)n n  ，∴ AM m ， 2 4MO m   ， CN n ， 2 4NO n   ． ∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ∴ AD CD ， 90ADC   ， ∴ 90CDN ADM ADM DAM       ， ∴ CDN DAM   ． 在 △CDN 和 △DAM 中 ， CND DMA CDN DAM CD DA ìÐ = Ð ïïÐ = Ðí ï =ïî ， ， ， ∴△CDN≌△DAM （ AAS ） ， ∴ DM CN n  ， DN AM m  ， ∴ MN DM DN m n    . 又 ∵ 2 2MN NO MO m n    ， ∴ 2 2m n m n   ， 即 ( )( )m n m n m n    .∵ 0m n  ，∴ 0m n  ，∴ 1m n  ．故选 B. 第 14 题答图 15.2（答案不唯一） 16.3 ( 1)( 1)a x x  17.11.5 【解析】由题意知 DM∥AC，DC AC ， 65MDA  ， 45MDB  ．如答图，过点 B作 BE DC ，垂足为 E． BE CD ，BA AC ，DC AC ， 90C BEA CAB      ，四边形 CABE 是 矩 形 ， 10BE AC   ， CE AB ． ∵DM∥AC∥BE ， 45MDB EBD     ， 65MDA DAC    ．在 Rt△ACD中， tan DCDAC AC   ， tanDC DAC AC    tan 65 10  ≈ 21.45 ． 在 Rt△DBE 中 ， tan DEDBE BE   ， tanDE DBE AC    tan 45 10  10 ， AB DC DE   11.5 ． 第 17 题答图 18.C 【解析】∵A，B 所需时间为 23 h，B，C 所需时间为 19 h，∴C 比 A 快 4 h；∵B，C 所需时 间为 19 h，C，D 所需时间为 20 h，∴B 比 D 快 1 h；∵C，D 所需时间为 20 h，D，E 所需时间为 22 h，∴C 比 E 快 2 h；∵D，E 所需时间为 22 h，A，E 所需时间为 18 h，∴A 比 D 快 4 h.将 A，B，C， 12 D，E 的大小关系表示在数轴上如答图，∴C＞E＞A＞B＞D，收割最快的一台收割机编号是 C．故 选 C. 第 18 题答图 19.（1）解：原式 33 1 2 2 3 2       3 1 3 2 3     6 . （2）解：原式 2 24 4 3 3a a a a a       22 2 1a a   . 2 3 0a a   ， 2 3a a   . ∴原式 2 3 1 7= ´ + = ． 20.解：（1）如答图，直线 l即为所求. 第 20 题答图 （2）由作图可知 AE EC . AD DB ，∴DE∥BC， 2BC DE ， 2EF DE ， EF BC  . ∵EF∥BC，∴四边形 BCFE是平行四边形． 21.解：（1）5 2 75 （2）78 80 （3）根据题意列表如下. A B C D A — （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） — （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） — （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） — 由列表可知，共有 12 种等可能的结果，其中 A，B 两名队员恰好同时被选中的结果有 2 种， ∴A，B 两名队员恰好同时被选中的概率为 2 1 12 6  ． 22.解：（1）由题意，设甲队平均每天修复公路 x km，则乙队平均每天修复公路 ( 3)x  km. 由题意得 60 90 3x x   ， 6x  ． 经检验， 6x  是原方程的解，且符合题意 3 9x   ． 答：甲队平均每天修复公路 6 km，则乙队平均每天修复公路 9 km． 13 （2）设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为 (15 )m 天，15 天的工期，两队能修复公路 w km. 由题意得 6 9(15 ) 3 135w m m m      ． ∵ 2(15 )m m ， 10m  ．又∵ 3 0  ， w 随 x的增大而减小． 当 10m  时， w取得最大值，最大值为 3 10 135 105w      ． 答：15 天的工期，两队最多能修复公路 105 km． 23.解：（1）N1和 N3 【解析】由点 (1,3)M ， 1(4,2)N 得 1 2 1 2 5x x y y+ = + = ，点 1(4,2)N 是点 M 的等和点．由 (1,3)M ， 2 (3, 1)N  得 1 2 4x x  ， 1 2 2y y  ， 1 2 1 2x x y y    ， 2 (3, 1)N  不是点M 的等和点．由 (1,3)M ， 3 (0, 2)N  得 1 2 1 2 1x x y y     ，点 3 (0, 2)N  是点M 的等和点． （2）由题意，设点 N的横坐标为 a . 点 N是点 (3, 2)M  的等和点，点 N的纵坐标为3 ( 2) 5a a     ，点 N的坐标为 ( , 5)a a  ． 又点 N在直线 y x b  上， 5a a b    ， 5b  ． （3）由题意得 0k  ，双曲线分布在第一、第三象限． 如答图，设直线与双曲线的交点分别为点 A， B . ∵ 1 2y y ，∴ x的取值范围是 4x  或 2 0x   ， A 的横坐标为 4，点 B的横坐标为 2 ． 把 4x  代入 2y x  ，得 4 2 2y    ， (4,2)A ． 把 (4,2)A 代入 1 ky x  ，得 2 4 k  ，解得 8k = ，反比例函数的解析式为 8y x  ． 设 8( , )P m m ，点Q的横坐标为 n . 点Q是点 P的等和点，点Q的纵坐标为 8m n m   ， 8( , )Q n m n m    ． 点Q在直线 2 2y x  上， 8 2m n n m      ， 8 2 0m m     ，解得 1 4m = - ， 2 2m = ． 经检验，m=-4，m=2 是方程 8 2 0m m - + = 的根， ∴点 P的坐标为 ( 4, 2)  或 (2,4)． 第 23 题答图 24.（1）证明：如答图，连接OE . 90ACB   ， AC BC ， 45A ABC    ， 2 90COE ABC     . ∵EF∥CD， 180COE FEO\Ð +Ð = °， 90FEO   . OE 是 Oe 的半径， EF 是 Oe 的切线. （2）解：如答图，连接 BD，过点M 作MH BC 于点 H，则△BMH是等腰直角三角形. 14 4 2BM  ， 2 4 2 BH MH BM    ， 在 Rt△CHM中， 1tan 2 HMBCD CH Ð = = ， 2 8CH MH   ， 2 2 4 5CM CH MH    ， 12CB CH BH   . CD 是 O 的直径，BD⊥BC，∴MH∥BD，∴△CMH∽△CDB， B CM CH CD C = ，  4 5 8 12CD = ， 6 5CD\ = ， 1 3 5 2 OD CD   ， 5OM OD OC\ = - = ． 第 24 题答图 25.解：（1） 21 7( 3) 8 8 y x   【解析】由题意可知，水滑道 ACB所在抛物线的顶点 7( 3, ) 8 C  ，设抛物线为 2 7( 3) 8 y a x   ．∵抛 物线过点 (0,2)B ， 2 72 (0 3) 8 a    ，解得 1 8 a  ，∴抛物线的解析式为 21 7( 3) 8 8 y x   ． （2）i.抛物线 BD恰好与抛物线 ACB关于点 B成中心对称， 抛物线 BD的顶点与抛物线 ACB的顶点C关于点 B成中心对称． ∵ 7( 3, ) 8 C  ， (0,2)B ， BD段抛物线的顶点为 25(3, ) 8 ，此人腾空后的最大高度为 25 8 m． 此时可设抛物线 BD的解析式为 2 25( 3) 8 y a x   ， 将 (0,2)B 代入上式，得 2 25(0 3) 2 8 a¢ - + = ，解得 1 8 a   ， 抛物线 BD的解析式 21 25( 3) 8 8 y x    ． ii. 由 i.得 21 25( 3) 8 8 y x    ， 令 y= 21 25( 3) 8 8 x   =0，解得 1 8x = ， 2 2x = - （不符合题意，舍去）， 8OD  ． 又∵ 12OE  ， 12 8 4 3DE     ，∴落点 D在安全范围内． （3）如答图， EF 即为所求钢架． 由（1）得 ACB 所在抛物线的解析式为 21 7( 3) 8 8 y x   . 令 2 1 7( 3) 8 8 y x   =4，解得 1 8x = - ， 2 2x = （不符合题意，舍去）， ( 8,4)M  ． 15 又∵ (0,2)B ，直线 BM 的解析式为 1 2 4 y x   ． 设 EF 的解析式为 1 4 y x m   . 联立 2 1 4 1 7( 3) 8 8 y x m y x           ， ，  2 1 7 1( 3) 8 8 4 x x m     ，整理得 2 8 8 16 0x x m    ， ∴Δ 64 4( 8 16) 0m     ， 0m  ， 直线 EF 的解析式为 1 4 y x  ，过原点，即点 F 与点O重合． 令 8x   ，得 1 2 4 y x= - = ， 2OE  ， 8ON  ． 又∵ 90ENO  ， 2 22 8 2 17EF EO     （m）． 答：这条钢架的长度为 2 17 m． 第 25 题答图 26.（1）证明： AB AC ， B C   . DE BC ， 90BED CED    ， 90B F C EDC       ， F EDC   . ADF EDC   ， F ADF   ， AD AF  ． （2）解：①如答图①，过点 A作 AG∥CE，则 AG DF ，∴△AGD∽△CED， 7 6 GD AD DE DC   . AF AD ， GF GD  ， 72 3 DF GD DE DE    ． ②由答图①得 GD AD m DE DC n   . AF AD ， GF GD  ， 22DF GD m DE DE n    ． （3）解：设 ABC ACB ACF       . 在 Rt△FAP和 Rt△FCE中， 2FAP FCE     ， cos cosFAP FCE    ， AP CE AF CF  . AD AF ， AP CE AD CF  ． 方法一：如答图②，过点 F 作 FM∥BC交CA的延长线于点M . ACB ACF M     ， CF MF  . 同理可得 AM AF AD  ， 2 2 CE CE CD CD n CF MF MD AD m     ， 2 AP n AD m  ． 16 方法二：如答图③，过点 E作 EN∥AC交 FC延长线于点 N . 同方法一得CE CN ， CN DE CF DF  . 由（2）②得 2DF m DE n  ， 2 CN DE n CF DF m   ， 2 AP CE n AD CF m   ． 方法三：如答图④，过点 D作DE CF  于点 E ， 根据角平分线性质可得 DE DE ， 2 CED CFD S CE DE n S CF DF m   △ △ ， 2 AP CE n AD CF m   . 图① 图② 图③ 图④ 第 26 题答图